椭圆综合测精彩试题含问题详解

1、椭圆测试题1、离心率为(A)(C)2、动点，长轴长为3295x2y2 彳13620P到两个定点F16的椭圆的标准方程是（(B)(D)(-4，0)、A.椭圆B.线段F1F22已知椭圆的标准方程X2 -1，10B. （0, _ 10）2 2 2 2乞丄=1或x_y_.i95592 22 2二丄=1或工=136 2020 36F2（ 4，0）的距离之和为8，则P点的轨迹为（C.直线F1F2则椭圆的焦点坐标为D.不能确定A.(一而0)2 2已知椭圆59A2.5 -32 2C.(0, -3)D.(-3,0)=1上一点P到椭圆的一焦点的距离为3，则P到另一焦点的距离是（B.2C.3D.6、选择题：（本大题

2、共12小题，每小题5分，共60分）a的取值范围为（D.任意实数如果笃* 1表示焦点在X轴上的椭圆，则实数aa +2A. (2, ： ：) B. I 2, 1 - 2,:-6、关于曲线的对称性的论述正确的是（）2 2A. 方程x xy y =0的曲线关于X轴对称B. 方程x3 y0的曲线关于Y轴对称C. 方程x2 -xyy2 =10的曲线关于原点对称33D. 方程x -y -8的曲线关于原点对称2 2 2 2xyxy7、方程22 =1 （a> b > 0,k > 0且k工1）与方程二 2 =1 （ a> b > 0）表示的椭圆（）kakbab8、A.有相同的离心率B

3、.有共同的焦点223已知椭圆C : X2=1（a>b>0）的离心率为 a 亠r2A、B两点若 AF =3FB，则 k =（B） C.有等长的短轴.长轴D.有相同的顶点.，过右焦点F且斜率为k（k> 0）的直线与C相交于(A) 1)(C)(D)9、 若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（）4 321A. B. C.D.-5 5552 210、 若点O和点F分别为椭圆 -1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，贝U的最43大值为（）A. 2B. 3C. 6D. 82 2X yP满足线段11、椭圆2 =1 a> b> 0的右焦点为F,其

4、右准线与x轴的交点为 A .在椭圆上存在点a bAP的垂直平分线过点 F，则椭圆离心率的取值范围是 （）V21,1（A）（ 0，（ B）（ 0，（ C）、.2 -1，1）（ D），1）2 2 212 若直线b与曲线y =3 - 4x -X2有公共点，则b的取值范围是（）A. 1 - 2迈，12 一2B. 1 _、2 ,3C.-1, 12.2D. 1 - 2、2 ,3、填空题：（本大题共5小题，共20分.）13若一个椭圆长轴的长度短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 x2 y214 椭圆1上一点P与椭圆两焦点F1, F2的连线的夹角为直角，贝U Rt F1F2的面积为492415 已知

5、F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D , 且BF| = 2FD，贝U C的离心率为2 2x2X）216 已知椭圆c:y =1的两焦点为 R,F2,点P（xo,y。）满足0 ：上0 y - 1 ,则I PR|+ PF?|的取2 2值范围为 三、解答题：（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. （10分）已知点M在椭圆MP'垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为p',并且M为线段P P'的中点，求P点的轨迹方程2 2e过中心。作直3x y18.（12分）椭圆1（0 ： m ： 45）的焦点分别是 F1和F2，已知椭圆

6、的离心率45 m线与椭圆交于 A, B两点，O为原点，若L ABF2的面积是20，求：（1） m的值（2）直线AB的方程2 2X y19 (12分)设Fi, F2分别为椭圆C:二 2 -1 (a b 0)的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C相交 a b于A, B两点，直线l的倾斜角为60：，Fi到直线I的距离为2、3 .(I)求椭圆C的焦距；I I(n)如果 AF2 =2F2B,求椭圆C的方程.2 2x y20 (12分)设椭圆C:二 2 =1(a b 0)的左焦点为F,过点F的直线与椭圆C相交于A, B两点,a b直线I的倾斜角为60o, AF =2FB.(I) 求椭圆C的离心率；15(II

7、) 如果|AB|=，求椭圆C的方程.421 (12分)在平面直角坐标系 xOy中，点B与点A (-1,1 )关于原点0对称，P是动点，且直线 AP与BP1的斜率之积等于3(I )求动点P的轨迹方程；(II )设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得APAB与APM”的面积相等？若存 在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。22(12分)已知椭圆2 2 x_. x_ a2b2,(a>b>0 )的离心率e= ,2连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.(I)求椭圆的方程;(I)设直线I与椭圆相交于不同的两点A、B,已知点A的坐标为(-a , 0)4暑若| AB

8、|=，求直线I的倾斜角;(ii)若点Q(0, yo)在线段AB的垂直平分线上，且QAQB=4求yo的值.椭圆参考答案1.选择题:题号123456789101112答案BBCCBCABBCDD8【命题意图】本试题主要考察椭圆的性质与第二定义作BE垂直于AAi与E,由第二定义得,弓，由寸存AA，得申F|【解析】设直线I为椭圆的有准线，e为离心率，过 A，B分别作AAi, BBi垂直于I, Ai，B为垂足，过B二曲AE二逅tan _BAE二心即k= ，故选B.9餐：设长轴为2宀短轴为訪，焦楚为2-则la+2c = 2xlba + c = 2b (j + c): = 4i: =4<d: -c1)

9、整霆得*+ lac-3a* =0 »+2« - 3 =0= -2e =选 B2 2 210【解析】由题意，F (-1，0)，设点P(Xo,yo)，则有=1,解得yo2=3(1 型)，434因为 FP =(x i,y。),OP=（Xo，yo），所以OP FP =Xo(Xo 1) y。22 2x0x0=OP FP =Xo（x。1） 3（ ） Xo 3，此二次函数对应的抛物线的对称轴为X0 =2，因为44-2空X。乞2，所以当X。= 2时，OP FP取得最大值 26，选C。4【命题意图】本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值 等，考查了同

10、学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力。11 解析：由题意，椭圆上存在点 P,使得线段AP的垂直平分线过点 F，即F点到P点与A点的距离相等而 | FA| =a2b2| PF| a c,a+ cb2于是 a c,a + c c即 ac c22<ac + c2ac -c2 _ a2 -c2 a2 _c2 乞 ac - c2又 e （0,1）故e J答案：D12 （2010湖北文数）9.若直线y =x b与曲线y=3-'. 4x-x2有公共点，则b的取值范围是A. 1 -2,12 2B. 1-2 ,3C.-1, 1 2 2D.1-2、2,3P.【答家】D【解析】曲连

11、方程可化简为（2）冷0-掰“（1刃M坯 耶ft示圆心为仁，3）半径为2 KE-依据数形结合.当直娃厂"3与此半團吕切时须荷足圆心* 3）H直线3=v-i距盅等于1,解得X1+2J5或】-2血、因为是T4®故可爵-i = 1+275 （舍），当直绽过（山3）时.解得bT做1-2£幼"所以D正确*、填空题：（本大题共4小题，共16分.）13若一个椭圆长轴的长度短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 x2 y214 椭圆1上一点P与椭圆两焦点Fi, F2的连线的夹角为直角，贝U RtFiF2的面积为 .492415 （2010全国卷1文数）（16）已知

12、F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段 BF的延长线交uuruirC于点D ,且BF =2FD，则C的离心率为、3 【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数形3的捷径.结合思想、方程思想，本题凸显解析几何的特点： 研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题【解析1】如图，|BF 、,b2 c2二a,uuruir作DDj y轴于点D1,则由BF =2FD，得Q二匹厶所以|DD1*0F Hc,|DD1| |BD| 322即Xd =3C,由椭圆的第二定义得22 a |FD Fe( c3c3c22a又由 |BF |=2|FD |,得 a = 2a -

13、3 c2ae【解析2】设椭圆方程为第一标准形式笃爲=1，设D X2,y2，F分BD所成的比为2，a bXc 无爭二 X2 二弓乂。=2c;yc 二1 2 2 2b 2仁 y3y-b3 O-b气，代入竺兮1，-"4 a2 4 b2316 (2O1O湖北文数)15.已知椭圆C2八1的两焦点为F1,F2,点 P(Xo,yo)满足。诗 y0 1,则I PFi|+PF2I的取值范围为【答案】2,22 ,0【解析】依题意知，点P在椭圆内部画出图形，由数形结合可得，当P在原点处时(| PR | I PF2 |)max = 2当P在椭圆顶点处时，取到(I PFl 1 ' 1 PF2 Dmax

14、为厂° =2 2 ,故范围为12,2 2 .因为(Xo,yo)在椭圆22X 2彳y =12的内部,则直线 2X X0 y y。=1上的点(x, y )均在椭圆外，故此直线与椭圆不可能有交点，故交点数为3131424515316三.解答题：.填空题:2,2 2 ,017.解：设p点的坐标为p(x, y)，m点的坐标为(x0, y0)，由题意可知X =X01X0 二Xy =2 y01y0 =2因为点2 22 2x0y。=1把代入得X . y25925362 2m在椭圆1上，所以有259=1，所以 P点的轨迹是焦点在 y轴上，标准方程为2 2x -1的椭圆.253618.解：(1)由已知所

15、以m(2 )根据题意SABF 二 SRF2B 二 20 设 B(x, y)，则 Sfb 冷肝问y ,F,F2 =2c = 10，所e, a = 45 = 3邛5，得 c = 5 ,a 32 2 2=b =a -c =4525 =202 2X y以y = ±4，把y = ±4代入椭圆的方程 + = 1，得x =二3，所以B点的坐标为(土3,± 4),所以直线452044AB的方程为八3x或yTx19 (2010辽宁文数)(20)(本小题满分12分)2 2设F1, F2分别为椭圆C: Ar -r =1 (a b 0)的左、右焦点，过F?的直线l与椭圆C相交于A, Ba

16、 b两点，直线I的倾斜角为60 , F1到直线l的距离为2、3 .(I)求椭圆C的焦距;(n)如果AF2 =2F2B,求椭圆C的方程.解：(I)设焦距为2c,由已知可得F1到直线|的距离、3c=2i3,故c=2.所以椭圆C的焦距为4.(n)设 A(x1, y1), B(x2, y2),由题意知 ： 0, y?0,直线 l 的方程为 y = -、3(x-2).y -、3(x-2),_联立x2y2得(3a2+b2)y2+4屈2y -3b4 =0.+ =12 , 2 1、ab解得-/3b2(2 +2a)_屈2(2 -2a)y122"2 二C 2 丄，23a bC 2 丄，23a b因为AF

17、2 B,所以-* =2汇帥，3b2(22a)- 3b2(2 -2a)C 2 丄，23a bc2.23a b即卩222得 a 二 3.而a2 -b2 =4,所以 b = 5.2 2故椭圆C的方程为=1.9520 （2010辽宁理数）（20）（本小题满分12分）设椭圆2 2C: -22 =1（a b - 0）的左焦点为F,过点F的直线与椭圆C相交于A, B两点，直线a b的倾斜角为60o, AF =2FB .(III)求椭圆C的离心率；(IV)15如果|AB|=，求椭圆C的方程.4解:设 A(xi,yd B(X2,y2)，由题意知 yi<0, y >0.(I)直线l的方程为yh*3(x

18、-c),其中ca2-b2.fy3(xc),_联立 x2y2 得(3a2 b2)y2 2、3b2cy-3b4=0|_十乞-1a2b2 _1解得-妊2(c+2a)y1 :3a2 b2，y2-、3b2(c-2a)2 23a2 b2因为AF =2FB ,所以=2y2.-3b (c 2a) i3b(c-2a)2 2 2 2 2 3a b3a b得离心率e-（n）因为4 3ab23a2 b21512分由2得b'a.所以§a，得a=3, a 3-2 2椭圆C的方程为=1.9521 （2010北京理数）（19）（本小题共14分）在平面直角坐标系 xOy中，点B与点A (-1,1 )关于原点0

19、对称，P是动点，且直线 AP与BP的斜率之积1等于-3(I )求动点P的轨迹方程； (II )设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得APAB与APM”的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。(I)解：因为点B与A(-1,1)关于原点0对称，所以点B得坐标为(1,-1).设点P的坐标为(x, y)由题意得y -1| y 11x Fx 一1 一 _3化简得2 2x 3y =4（x = _1）.故动点P的轨迹方程为x2 3y4(二1)(II)解法一：设点P的坐标为(xo,y°)，点M , N得坐标分别为(3, yM ), (3, yN ). 则直

20、线AP的方程为y-(x 1)，直线BP的方程为y令x -3得yMX。1xo -1于是 Lpmn得面积1PMN=2|yM yN（3 x）|x。y。I （3 x。2）Ix。2 -11又直线AB的方程为x 0, | AB尸2,点P到直线AB的距离dx。2% 1 .于是 Lpab的面积1SPAB = 2 1 AB Ld =| x0y0 1当 Spab-S_PMN时，得 | x。yo | =|Xo y。|（3-x。）2|xo2-1|5 所以（3 -沟）=|x。-1|，解得 |x0 ：3因为 x。2 Fy。2 =4，所以 y 339故存在点P使得L PAB与L PMN的面积相等，此时点 P的坐标为（-,_

21、3解法二：若存在点 P使得L PAB与L PMN的面积相等，设点 P的坐标为（x0,y0）1 1则 |PA|PB|s in. APB | PM |_| PN |s in. MPN .因为 sin/APB 二sin MPN ,所以迂型|PM | PB|2 2即（3 -X0）=|X0 -1|，解得 x0因为 x°2 3y°2 = 4，所以 y0' 339故存在点PS使得L PAB与L PMN的面积相等，此时点 P的坐标为（，一22（ 2010天津文数）（21）（本小题满分14分）2 2x y已知椭圆 二1 （ a>b>0 ）的离心率a be止，连接椭圆的四个

22、顶点得到的菱形的面积为4.2（I）求椭圆的方程;（n）设直线I与椭圆相交于不同的两点A、B,已知点 A的坐标为（-a, 0）.4伍|_QB=4 .求y的值.（i ）若I AB|=，求直线I的倾斜角;（ii）若点Q（ 0, y0）在线段AB的垂直平分线上，且 QA【解析】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、直线的倾斜 角、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查综合分析与 运算能力满分14分.C i 322222(I)解：由 e=，得 3a = 4c .再由 c = a -b，解得 a=2b.a 21 由题意可知2a 2b =4，即ab=2.2工a =2b, 解方程组得a=2 , b=1.、ab = 2,2所以椭圆的方程为y2