7-1二重积分概念及性质

1、一、二重积分的概念攸！|1求由2 = /（兀）（0且连续）二=0，兀=1，y =1所围成的立体图形的体积iy0X柱体体积=低面咼ftV =佝）兄tO心1例2设有界闭区域）内有一张平面薄片（不计厚度）面密度沏（3）（连续），求其质量m =为 f （$州）人6兄一0 f=i定义设门兀鳧定义在区域D上的二元函数V分害IJD: AorvV取点(乙，心)£ 叭m ”作和工 丫lAcr. Ii=i >1求极限 HmXA a. (rf =maxrf.)1=1 j=iiJJ若此极限存在，则称之为门兀)在n上的二重积分(常数) 记为JJ f(x,y)da直角坐标系下，记做dJf f(x,y)dx

2、dyDX积分变量被积函数E积分区域积分和 、面积元素 被积表达式在直角坐标系下用平当f(x,y)在闭区域上连续或分片连续时，定 义中和式的极限必存在，即二重积分必存在.行于坐标轴的直线网来划 分区域D,则面积元素为dcr = dxdy故二重积分可写为DD二重积分的几何意义： 设门工)在D上连续 (l)/(x9j)>09 f(x,y)da=Vz = f(x,y)设b为D的面积，口=DD卩-/（兀）db=yD此时JJ/（工，刃-VDz = -f（x,y）zz=m）二重积分的几何意义： 设门工）在D上连续（1）/（x9j）09 f（x,y）da=VD（2）/（兀）0, -/（兀，刃AO（3）般

3、情况：JJ7（工）db = "i-DIII即曲面与xoy面之间上下方体积之差02DD对区域具有可加性(D = 0 +。2 )二、二重积分的性质前提设下列函数在D上可积 性质1：若/*(*) =1,D的面积为CT。,则D性质2(线性性质)Vs卩已RJf of(x,y)±/3g(x,y)daD=町“ (x)db±0jj g(x,y)daD性质3J“( x,y)da = JJ f(x,y)da + JJ/(x,j>ZcrDDD.性质4若在D上f(x,y) <0(兀)则有 dD推论 1)若在D上/(x,j)<0 (/(x,j)>0)则有 JJ/(兀

4、Wb<0 (JJ/(x,y)dbnO)DDf(x,y)da < jj|/(x,j)|rfcr（3） 设门工）在上的最值为M、m贝InibS jJ/（x,jMcr <McrD（二重积分估值不等式）性质5（二重积分中值定理）设/* （兀）在£>上连续至少日一点（g，9）wD,使得 f（x,y）da =/（g,?7）bD<M=/（仙）bD中值定理的几何意义:曲顶柱体的体积可以用平顶柱体的体积代替z = f（x.v2 2 DD:与 + 真 <1 (0<b <a) a bab7r< JJe(xW)db <ab7Ka解m<j<

5、;<M(jD0<x2 + j2a2m =1 = e° < +J < ea =Ma = abn例 判断Jf ln(x2 + j2)的符号(r>0)r<|x|+|j|<l解 0< x2 +y2 < (|x| + |j|)2 < 1ln(x2 +j2) < 0当X| + |y|vl时，ln(x2+j2)<0故fj Yn(x2 + y2)dxdy <0r<x+y<l例 比较 JJ In(兀 + y)dxdy 与JJ ln(x + y)dxdyDD的大D：兀nl,y、O,兀+ y<2解 l<x +J<2 <e0<