气体动理论习的题目解答

1、习题8-1设想太阳是由氢原子组成的理想气体，其密度可当成是均匀的。若此理想气体的压强为1.35 XW14 Pa。试估计太阳的温度。(已知氢原子的质量 m = 1.67 XO-27 kg，太阳半径 R = 6.96 X8 m,太阳质量 M = 1.99 X30 kg)解:P Mn =m VmM3(4/3) nR mTk(4/3)二 R3mMk=1.15 107K8-2目前已可获得1.013 X0-10 Pa的高真空，在此压强下温度为27 C的1cm3体积内有多少个气体分子？40解：N 二nV V 1.013 J 10 = 2.45 1 04/cm3kT1.38"0汉 3008-3 容积

2、V = 1 m3的容器内混有N1= 1.0 >1023个氢气分子和 2 =4.0 1023个氧气分子，混合气体的温度为400 K，求：(1) 气体分子的平动动能总和；(2)混合气体的压强。解: ( 1)；tkT(N1 N2)1.38 10400 5 10 =4.14 10 J2 2_ 3233(2) p 八 口灯=1.38 10400 5 10=2.76 10 Pa8-4 储有1mol氧气、容积为1 m3的容器以v=10 m/s的速率运动。设容器突然停止，其中氧气的80%的机械运动动能转化为气体分子热运动动能。问气体的温度及压强各升高多少？(将氧气分子视为刚性分子)解：1mol氧气的质量

3、M =32 10Sg, i=51 252由题意得Mv2 80% R T =.汀=6.2 10 K2 2pV = ' RT = V = . R. ：T：.p =：-8.31 6.2 10 0.52paV8-5 一个具有活塞的容器中盛有一定量的氧气，压强为1 atm。如果压缩气体并对它加热，使温度从27 C上升到177 C，体积减少一半，则气体的压强变化多少？气体分子的平均平动动能变化多少？分子的方均根速率 变化多少？解：已知 =1atm、T1 = 300KV2 二乂/2、T2 =450K卩 o2 =32"0kg/mol根据pV二.RT二也=座二.T1T2p2 = 3p3atm.

4、打1.38 10尤 150=3.11 10J2 28-6温度为0 C和100 C时理想气体分子的平均平动动能各为多少?欲使分子的平均平动动能等于1 eV，气体的温度需多高?33解：(1)；t1 =3口 二3 1.38 10'3 273.15 =5.65 10，J223303_21；t2kT21.38 10373.15 = 7.72 10 J2219 3(2) 1ev =1.6 10 J = ；tkT22；t3k2 1.6 10"3 1.38 103= 7729.5K8-7 一容积为10 cm3的电子管，当温度为 300 K时，用真空泵把管内空气抽成压强为 5X10-4 mmH

5、g的高真空，问此时(1)管内有多少空气分子？(2) 这些空气分子的平均平动动能的总和是多少？( 3)平均转动动能的总和是多少？ ( 4)平均动能的总和是多少？(将空气分子视为刚性双原子分子，760mmHg = 1.013X 105 Pa)解:彳 u1.013 005 133Pa1mmHg133Pa760(1) N =nV = PV =1.61 1014 个kT3336(2) ' 厲=N kT RT pV ： 1 10 J222(3) 刀；=N2kT zRT = pV =6.65 10”J2(4) '；- ' 亠二：r = 5 pV = 165 10 J、 18-8水蒸气

6、分解为同温度的氢气和氧气，即H2O H 2+ 022也就是1mol水蒸气可分解成同温度的1mol氢和1/2mol的氧。当不计振动自由度时，求此过程的内能增量。解：E =丄.RT ,=1mol2A 55 163E RT RT RT RT22 224若水蒸气温度是100 c时：E 二3 8.31 373 =2325J48-9已知在273 K、1.0氷0-2 atm时，容器内装有一理想气体，其密度 为1.24 XI0-2 kg/m3。求：(1)方均根速率；(2)气体的摩尔质量，并确定 它是什么气体；(3)气体分子的平均平动动能和转动动能各为多少？ (4)容器单位体积内分子的总平动动能是多少？(5)若

7、该气体有0.3 mol，其内能是多少？解：(1) pv =3494m/sv23RT-p-3RTv2:. 28g3p所以此气体分子为 CO或N23(3) ；tkT =5.65 10，1J2 2_21；r kT =3.77 10 J2(4) : ；t =n kT = P =1.52 10 Jt 2 25(5) E RT =1701J28-10 一容器内储有氧气，其压强为1.01 X05 Pa,温度为27.0C，求:（1）分子数密度；（2）氧气的密度；（3）分子的平均平动动能；（4）分子 间的平均距离。（设分子间均匀等距排列）解：(1) -k< 2.44 1025/m33RT呻RT3=1.29

8、7kg/m；= 3kT =6.21 101J2(4) d =1= d - 3.45 10m n8-11设容器内盛有质量为 M1和M2的两种不同的单原子理想气体,此混合气体处在平衡态时内能相等，均为E，若容器体积为 V。试求：（1）两种气体分子平均速率 v1与v2之比；（2）混合气体的压强。解:（ 1）3 M12 7RTMgM1A2M2(2) p 八nkTkT NV VkT JkTV有内能为6.75 102 J的刚性双原338-12 在容积为2.0 XO- m的容器中, 子分子理想气体。（1 ）求气体的压强；（2）设分子总数为5.4 1022个，求分 子的平均平动动能及气体的温度。解：（1）E=

9、RT=LpV= p=i.35 105pa22iV5QT pV 1.35 105 2 10I 2223Nk 5.4 101.38 10=3kT =7.5 10，J28-13已知f（v）是速率分布函数，说明以下各式的物理意义:Vp（1）f （v）dv ；（2）Nf （v）dv ；（3）0 f （v）dv解：（1）v-v，dv范围内的粒子数占总粒子数的百分比;（2）v -v dv范围内的粒子数（3）速率小于vp的粒子数占总粒子数的百分比8-14图中I、II两条曲线是两种不同气体（氢气和氧气）在同一温度 下的麦克斯韦速率分布曲线。试由图中 数据求：（1）氢气分子和氧气分子的最 概然速率；（2）两种气体

10、所处的温度。解：（1）由习题8-14图可知：（vp）H2 =2000m/s一 （2RT1=（Vp）°2 FPM=500m/s= 481.3KUp2_ 5002 32 10"2R 一 2 8.318-15 在容积为3.0 X0'2 m3的容器中装有2.0 >10-2 kg气体，容器内气 体的压强为5.06 104 Pa，求气体分子的最概然速率。解：由 pV 二 M RT = RT 二 pVJJ M2RT2pV -389.6m/sM_148-16 质量m=6.2 10 g的微粒悬浮在27C的液体中，观察到悬浮粒子的方均根速率为 1.4 cm/s,假设粒子服从麦克斯

11、韦速率分布函数，求阿伏伽德罗常数。3kT3RTmNA? Na3RT236.15 10/mol2mv8-17有N个粒子，其速率分布函数为C（V。启 V A 0）i 0 （VAV。）(1)作速率分布曲线；(2)由v0求常数C；(3)求粒子平均速率。”?01解：（2）| cdv =1= c -右V0（3） VJ vf（v）dv = .rV0V0CV =028-18有N个粒子，其速率分布曲线如图所示，当V 2v0时f(V)= 0。求：（1）常数a; （2）速率大于v0和小于Vo的粒子数；（3）求粒子平均速率。解：（1）由速率分布函数的归一化条件可得v av0 a =：1 ： a =223v0(2)v

12、: v0 时:N1 =1av° N1N23二 Nvv(）时：N2=N -N13(3)f (v)2kv 2 v v _ v03vo=<a =3vo0v0 _ v _ 2v0v v°:'v°2v°v = o vf(v)dv vf(v)dv 亠 i vf (v)dv2233Io2V0 2 vdvv。vo 3v098-19质点离开地球引力作用所需的逃逸速率为v=$2gr，其中r为地球半径。（1）若使氢气分子和氧气分子的平均速率分别与逃逸速率相等，它们各自应有多高的温度；（2）说明大气层中为什么氢气比氧气要少。（取r=6.40 X06 m)2gr沁8

13、R又 畑=32 10kg/mol=2 10kg/mol.TO2 -1.9 105KTh2 -1.18 104K(2)根据上述分析，当温度相同时，氢气的平均速率比氧气的要大(约为4倍)，因此达到逃逸速率的氢气分子比氧气分子多。按大爆炸理论，宇 宙在形成过程中经历了一个极高温过程。在地球形成的初期，虽然温度已大大降低，但温度值还是很高。 因而，在气体分子产生过程中就开始有分子逃 逸地球，其中氢气分子比氧气分子更易逃逸。另外，虽然目前的大气层温度不可能达到上述计算结果中逃逸速率所需的温度，但由麦克斯韦分子速率分布曲线可知，在任一温度下，总有一些气体分子的运动速率大于逃逸速率。 从分布曲线也可知道在相

14、同温度下氢气分子能达到逃逸速率的可能性大于 氧气分子。衣8-20试求上升到什么高度时大气压强减至地面的75% ?设空气温度为0C,空气的摩尔质量为 0.0289 kg/mol。解：由 p = p0 exp(坐)=z = - RT In P0RT也 pP038-21 (1)求氮气在标准状态下的平均碰撞次数和平均自由程；(2)若温度不变，气压降低到1.33 >10-4 Pa,平均碰撞次数又为多少？平均自由程为多少？(设分子有效直径为10-10 m)、/1kT解：8.38 10-7 mZ2 叱2n、'2 兀d2pZ =V/7； =5.42 108 次 /s8-22真空管的线度为10-2

15、 m,真空度为1.33 XO-3 Pa,设空气分子有效 直径为3X1O-10 m，求27C时单位体积内的空气分子数、平均自由程和平均碰撞频率。解:p 1.33 1023kT 1.38 10300173= 3.21 10/m3当容器足够大时,取 d =3 10_10m.r v 1kT田二.Z J2id2n *2id2p代入可得彊=7.8m102m （真空管线度）所以空气分子间实际不会发生碰撞，而只能与管壁碰撞，因此平均自由程就是真空管的线度，即=10 ° m4691 10,= 4.69 104/s8-23在气体放电管中，电子不断与气体分子碰撞。因电子速率远大于 气体分子的平均速率， 所

16、以可以认为气体分子不动。 设气体分子有效直径为d，电子的“有效直径”比起气体分子来可以忽略不计，求：（1）电子与气体分子的碰撞截面；（2）电子与气体分子碰撞的平均自由程。 （气体分子数 密度为n）解：（1） ；- （d -生）2 ：二224（2） = 2 亘 其中U为电子相对于分子的平均相对速率Znu由于ve >> V分子，所以u ve142二 n: d n* 8-24在标准状态下，氦气（He）的内摩擦系数=1.89 X05 Pas，求:（1）在此状态下氦原子的平均自由程；（2）氦原子半径。解：标况：p =1.01 105pa、T =273.15K"出=4 10”kg/m

17、ol11(1)nmvv 二33-p3把0.18kg/m_，8RTv1202m/s 代入TtP得=2.62 10m1一2二d2nkT- 2 二 d2 pkT.2 二p 220 2d =3.2 10 m衣8-25热水瓶胆的两壁间距d h.79 10 "mL = 4 XI0'3 m,其间充满温度为27C的氮气，氮分子的有效直径为d = 3.1 X0-10 m,问瓶胆两壁间的压强降低到多大 数值以下时，氮的热传导系数才会比它在一个大气压下的数值小?1 _ 解：热传导系数K cVv 3由于=nm,1- 2 二d 2n，所以与压强无关，即热传导系数与压强无关。然而在抽真空的容器中当压强降到一定程度时,平均自由程会大于容器本身的线度，这时取为容器的线度不变，当真空度进一步提高时，因不变，所以p 时，则K .，于是热传导系数就小于一个大气压下的数值了。因此当kT2 = L时传导系数开始发生变化。2 二 d pkT；2kT1.38 1023 300.2：d2L 2- (3.1 100)2 4 10=2.42pa* 8-26由范德瓦耳斯方程 （p a V2）（V -b RT，证明气体在临界状态下温度Tk、压强pk及体积Vk为8a26bRPk27b2 'Vk =3b并且在理论上有如下的关系3PM 匚kTk