年挑战中考数学压轴题(全套)

1、实用标准第一部分函数图象中点的存在性问题§ 11 因动点产生的相似三角形问题 §12 因动点产生的等腰三角形问题 §13 因动点产生的直角三角形问题 § 14 因动点产生的平行四边形问题§ 15 因动点产生的面积问题§ 1 6 因动点产生的相切问题§ 17 因动点产生的线段和差问题第二部分图形运动中的函数关系问题§21由比例线段产生的函数关系问题第三部分图形运动中的计算说理问题§ 31代数计算及通过代数计算进行说理问题§ 32几何证明及通过几何计算进行说理问题第四部分图形的平移、翻折与旋转

2、67;41图形的平移§ 42图形的翻折§ 43图形的旋转§ 44 三角形§ 45 四边形§ 46 圆§ 47 函数的图象及性质§11 因动点产生的相似三角形问题课前导学 相似三角形的判定定理有 3 个，其中判定定理 1 和判定定理 2 都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等判定定理 2 是最常用的解题依据， 一般分三步： 寻找一组等角， 分两种情况列比例方程，解方程并检验 如果已知 A D，探求 ABC与 DEF相似，只要把夹 A 和 D的两边表示出来，按照对应边成比例，分A

3、BDE和ABDF 两种情况列方程ACDFACDE应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）还有一种情况， 讨论两个直角三角形相似，如果一组锐角相等， 其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的，那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题求线段的长，要用到两点间的距离公式，而这个公式容易记错理解记忆比较好如图 1，如果已知 、两点的坐标，怎样求、两点间的距离呢？A BA B我们以 AB为斜边构造直角三角形，直角边与坐标轴平行，这样用勾股定理就可以求斜边 AB的长了水平距离 BC的长就是 A、B 两点间的水

4、平距离， 等于 A、B 两点的横坐标相减；竖直距离 AC就是 A、 B 两点间的竖直距离，等于 A、 B 两点的纵坐标相减图1图1图2例 1湖南省衡阳市中考第28 题二次函数y a2 b c（ a 0）的图象与x轴交于 ( 3, 0)、 (1, 0)两点，与y轴xxAB交于点 C(0, 3m)（ m 0），顶点为 D（ 1）求该二次函数的解析式（系数用含m的代数式表示）；（ 2）如图1，当 m 2 时，点 P为第三象限内抛物线上的一个动点，设APC的面积为，试求出S与点P的横坐标x之间的函数关系式及S的最大值；S文档实用标准（ 3）如图 2，当 m取何值时，以A、 D、 C三点为顶点的三角形与

5、OBC相似？动感体验请打开几何画板文件名“14 衡阳 28”，拖动点P 运动，可以体验到，当点P运动到 AC的中点的正下方时， APC的面积最大拖动 y 轴上表示实数 m的点运动，抛物线的形状会改变，可以体验到， ACD和 ADC都可以成为直角思路点拨1用交点式求抛物线的解析式比较简便2连结 OP， APC可以割补为：AOP与 COP的和，再减去AOC3讨论 ACD与 OBC相似，先确定 ACD是直角三角形，再验证两个直角三角形是否相似 4直角三角形 ACD存在两种情况图文解析（ 1）因为抛物线与x 轴交于 A( 3, 0)、B(1, 0)两点，设 y a( x3)(x 1) 代入点 (0,3

6、 )，得 3 3 解得a Cmmam所以该二次函数的解析式为2y m( x 3)( x1) mx 2mx 3m（ 2）如图 3，连结当 2时， (0,6) ，y 22 4x 6，那么(, 2x24 OPmCxP xx6) 由于 AOP1324 6)326 9， COP1OC ( xP ) SOA ( yP ) (2 xxxxS222 3x， S AOC 9，所以 S SAPC SAOPS COP S AOC 3x2 9x 3( x3) 227 24所以当 x3 时， S 取得最大值，最大值为27 24图 3图 4图 5图 6（ 3）如图 4，过点D作y轴的垂线，垂足为过点A作x轴的垂线交于 E

7、DE F由 y m( x 3)( x1) m(x 1) 2 4m，得 D( 1, 4m) 在 Rt OBC中， OB OC 13m如果与相似，那么是直角三角形，而且两条直角边的比为1 3 ADCOBCADCm如图 4，当 ACD 90°时， OAOC 所以 33m 解得 m 1ECEDm1此时 CAOC3， OC3 所以 CAOC 所以 CDA OBCCDEDOBCDOB如图 5，当 ADC 90°时， FAFD 所以 4m2 解得 m2 EDEC1m2此时 DAFD222，而 OC3m3 2 因此 DCA与 OBC不相似DCECmOB2综上所述，当 m 1 时， CDA

8、OBC考点伸展 第（ 2）题还可以这样割补：如图 6，过点 P作 x 轴的垂线与 AC交于点 H由直线 AC： y 2x 6，可得 H( x, 2x 6) 又因为 P( x, 2 x2 4x 6) ，所以 HP 2x2 6x因为 PAH与 PCH有公共底边 HP，高的和为 A、C两点间的水平距离 3，所以文档实用标准S SAPC S APH S CPH 3( 2x2 6x) 3( x3)227 224例 22014年湖南省益阳市中考第21 题如图 1，在直角梯形ABCD中， AB/ CD， AD AB， B 60°， AB 10， BC 4，点 P 沿线段 AB从点 A 向点 B 运

9、动，设 AP x 2· 1· c· n· j · y（ 1）求 AD的长；（ 2）点 P 在运动过程中，是否存在以A、P、 D为顶点的三角形与以 P、 C、 B 为顶点的三角形相似？若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由；图1（ 3）设 ADP与 PCB的外接圆的面积分别为S1、S2，若 S S1 S2，求 S的最小值 .动感体验请打开几何画板文件名“14 益阳 21”，拖动点P 在 AB上运动，可以体验到，圆心O的运动轨迹是线段BC的垂直平分线上的一条线段观察S随点 P 运动的图象，可以看到，S有最小值，此时点P 看上去象是 AB的中点，

10、其实离得很近而已思路点拨 1第（ 2）题先确定 PCB是直角三角形，再验证两个三角形是否相似2第（ 3）题理解的外接圆的圆心O很关键，圆心O在确定的BC的垂直平分线PCB上，同时又在不确定的 BP的垂直平分线上 而 BP与 AP是相关的， 这样就可以以 AP为自变量，求 S 的函数关系式 图文解析（ 1）如图 2，作 CH AB于 H，那么 AD CH在 Rt BCH中， B 60°， BC4，所以 BH 2， CH 2 3 所以 AD 23 （ 2）因为 APD是直角三角形，如果 APD与 PCB相似，那么 PCB一定是直角三角形如图 3，当 CPB 90°时， AP 1

11、0 2 8所以AP8 43，而 PC3 此时 APD与 PCB不相似AD2 33PB图 2图 3图 4如图 4，当 BCP 90°时， BP 2BC 8所以 AP 2所以AP2 3 所以 APD 60°此时 APD CBPAD233综上所述，当x 2 时， APD CBP（ 3）如图 5，设 ADP的外接圆的圆心为G，那么点 G是斜边 DP的中点设 PCB的外接圆的圆心为O，那么点 O在 BC边的垂直平分线上，设这条直线与BC交于点 E，与 AB交于点 F设 AP2m作 OM BP于 M，那么 BM PM5m在 Rt BEF中， BE 2， B 60°，所以 BF

12、 4在 Rt OFM中， FM BF BM 4 (5 ) 1，30°，所以31) m mOFMOM( m3222m)21 (m22222所以 OB BM OM (51)2 在 Rt ADP中，DP AD AP12 4m所以 GP32223 m2(5 m) 21 (m1)2 3 m于是 S S1 S2 (GP OB) 3文档实用标准(7 m232m 85) 所以当 m16 时， S 取得最小值，最小值为113 377图 5图 6考点伸展 关于第（ 3）题，我们再讨论个问题问题 1，为什么设 AP 2m呢？这是因为线段 AB AP PM BM AP 2BM10这样 BM5 m，后续可以减

13、少一些分数运算这不影响求S的最小值问题 2，如果圆心 O在线段 EF的延长线上， S 关于 m的解析式是什么？如图 6，圆心 O在线段 EF的延长线上时，不同的是FMBM BF(5 m) 4 1 m此时222m)212这并不影响 S关于 m的解析式OB BMOM (5(1m)3例 32015年湖南省湘西市中考第26 题如图 1，已知直线 y x 3 与 x 轴、 y 轴分别交于A、B 两点，抛物线 y x2 bxc经过 A、 B两点，点 P 在线段 OA上，从 点 O出发，向点A 以每秒 1 个单位的速度匀速运动；同时，点 Q在线段 AB上，从点 A 出发，向点 B以每秒2 个单位的速度匀速运

14、动，连结PQ，设运动时间为t秒（ 1）求抛物线的解析式；（ 2）问：当 t 为何值时， APQ为直角三角形；（ 3）过点 P作 PE/ y 轴，交 AB于点 E，过点 Q作 QF/ y 轴，交抛物线于点F，连结 EF，当 EF/ PQ时，求点 F 的坐标；（ 4）设抛物线顶点为M，连结 BP、 BM、 MQ，问：是否存在t 的值，使以 B、Q、 M为顶点的三角形与以O、 B、 P 为顶点的三角形相似？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由图 1 动感体验请打开几何画板文件名“ 15 湘西 26”，拖动点 P 在 OA上运动，可以体验到，APQ有两个时刻可以成为直角三角形，四边形EPQF有

15、一个时刻可以成为平行四边形，MBQ与BOP思路点拨有一次机会相似1在 APQ中， A45°，夹 A 的两条边 AP、AQ都可以用 t 表示，分两种情况讨论直角三角形 2先用含t的式子表示点、的坐标，进而表示点、F的坐标，根据APQP QEPEQF 列方程就好了 3 MBQ与 BOP都是直角三角形，根据直角边对应成比例分两种情况讨论 图文解析 （ 1）由 y x 3，得 A(3, 0) ， B(0, 3)将 A(3, 0) 、 B(0,3)分别代入 y x2 bx c，得9 3bc0, 解得 b2,c3.c3.所以抛物线的解析式为y2 2 3xx（ 2）在中， 45°，3，2

16、 t分两种情况讨论直角三角形：APQPAQAPtAQAPQ当 90°时，解方程 3 2，得t 1（如图 2）PQAAP2 AQtt当 90°时，解方程2 t2(3 t) ，得t1.5 （如图 3）QPAAQ2 AP文档实用标准图 2图3图4图 5（ 3）如图4，因为 PE/ QF，当 EF/PQ时，四边形EPQF是平行四边形所以 EPFQ所以 y y y y 因为 x t ，x 3 t ，所以 y 3 t ，y t ，y (3EPFQPQEQF t ) 2 2(3 t ) 3 t2 4t 因为 yE yP yF yQ，解方程 3t ( t 2 4t ) t ，得 t 1，或

17、 t 3（舍去）所以点 F 的坐标为 (2, 3) （ 4）由 x2 23 (x 1)2 4，得 (1, 4) yxM由 A(3, 0)、 B(0,3)，可知 A、 B两点间的水平距离、竖直距离相等，AB 32 由 B(0, 3)、 M(1,4)，可知 B、 M两点间的水平距离、竖直距离相等，BM2所以 MBQ BOP90°因此 MBQ与 BOP相似存在两种可能：当 BMOB 时，3223 解得 t9 （如图 5）BQOP2tt4当 BMOP 时，322t 整理，得 t 2 3t 3 0此方程无实根BQOB2t3考点伸展第（ 3）题也可以用坐标平移的方法：由P tE t, 3tt,t

18、) ，按(,0)，() ， Q(3照 P E 方向，将点 Q向上平移，得 F(3 t , 3)再将 F(3 t , 3) 代入 y x2 2x 3，得t 1，或 t 3 §12因动点产生的等腰三角形问题课前导学1已知线段2已知线段我们先回顾两个画图问题：AB 5 厘米，以线段 AB为腰的等腰三角形 ABC有多少个？顶点 C的轨迹是什么？AB 6 厘米，以线段 AB为底边的等腰三角形 ABC有多少个？顶点 C的轨迹是什么？已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，圆上除了两个点以外，都是顶点C已知底边画等腰三角形，顶角的顶点在底边的垂直平分线上，垂足要除外在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要

19、先分类如果 ABC是等腰三角形，那么存在ABAC， BA BC， CA CB三种情况解等腰三角形的存在性问题， 有几何法和代数法， 把几何法和代数法相结合， 可以使得解题又好又快几何法一般分三步：分类、画图、计算哪些题目适合用几何法呢？如果 ABC的 A（的余弦值） 是确定的， 夹 A 的两边 AB和 AC可以用含 x 的式子表示出来，那么就用几何法如图1，如果 AB AC，直接列方程；如图2，如果 BA BC，那么1AC AB cos A ；如图3，如果CACB1AB AC cosA 2，那么2代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验如果三角形的三个角都是不确定的， 而三个顶

20、点的坐标可以用含 x 的式子表示出来， 那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来文档实用标准图 1图 2图 3图 1例 92014年长沙市中考第26 题如图 1，抛物线 y ax2bx c（ a、b、c 是常数， a 0）的对称轴为 y 轴，且经过 (0,0)和 (a,1) 两点，点 P在该抛物线上运动，以点P 为圆心的 P 总经过定点 A(0, 2) 16（ 1）求 a、 b、c 的值；（ 2）求证：在点P 运动的过程中，P始终与 x 轴相交；（ 3）设 P与x轴相交于 (1, 0)、 (2, 0)两点，当为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标M xN xAMN动感体验 请打开几何

21、画板文件名“14 长沙 26”，拖动圆心 P在抛物线上运动，可以体验到，圆与 x 轴总是相交的，等腰三角形AMN存在五种情况思路点拨 1不算不知道，一算真奇妙，原来P 在 x 轴上截得的弦长MN 4 是定值2等腰三角形 AMN存在五种情况，点P的纵坐标有三个值，根据对称性，MA MN和 NA NM时，点 P的纵坐标是相等的图文解析 （ 1）已知抛物线的顶点为(0,0) ，所以 y ax2所以 b 0， c 0将 (a , 1 ) 代入 yax2，得 1a2 解得 a1 （舍去了负值） 16164（ 2）抛物线的解析式为y1 x2 ，设点 P 的坐标为 ( x, 1 x2 ) 44已知(0, 2

22、)，所以PAx2122)214412A( x16x4x 14而圆心 P 到 x 轴的距离为x2 ，所以半径 PA圆心 P 到 x 轴的距离4所以在点 P 运动的过程中，P始终与 x 轴相交（ 3）如图 2，设的中点为，那么垂直平分MNHPHMN在 Rt PMH中，PM2PA21x44， PH21x)2142 416(16x ，所以MH4所以 MH 2因此 MN 4，为定值等腰AMN存在三种情况：如图3，当 AM AN时，点 P 为原点 O重合，此时点P的纵坐标为 0图 2图3图4图 5如图 4，当 MA MN时，在 Rt AOM中， OA2， AM4，所以OM2 3此时 x OH 2 3 2

23、所以点 P 的纵坐标为 1x21(2 32) 2(31)24 2344如图 5，当 NANM时，根据对称性，点 P的纵坐标为也为423如图 6，当 NA NM 4 时，在 Rt AON中， OA 2， AN4，所以ON 23 文档实用标准此时x 2 32 所以点P的纵坐标为12122OHx(23 2)(31) 42344如图7，当 4 时，根据对称性，点P的纵坐标也为 42 3 MN MA图 6图 7考点伸展 如果点 P 在抛物线 y1x2 上运动，以点P 为圆心的 P总经过定点B(0, 1)，4那么在点 P 运动的过程中， P 始终与直线 y 1 相切这是因为：设点 P 的坐标为 ( x,1

24、x2 ) 已知 B(0,1) ，所以 PBx2( 1 x21)2( 1 x21)21 x21 4444而圆心 P 到直线 y 1 的距离也为124x 1 ，所以半径 PB圆心 P 到直线 y 1 的距离所以在点P 运动的过程中，P始终与直线 y 1 相切例 102014年湖南省张家界市中考第25 题如图 1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线 y ax2bx c（a 0）过 O、 B、 C三点， B、C坐标分别为 (10, 0)和 (18,24) ，以 OB为直径的 A 经过 C点，55直线l垂直x轴于B点（1）求直线的解析式；（ 2）BC求抛物线解析式及顶点坐标；（ 3）点 M是 A

25、上一动点（不同于 O、B），过点 M作 A 的切线，交 y 轴于点 E，交直线 l 于点 F，设线段 ME长为 m，MF长为 n，请猜想 mn的值，并证明你的结论；（4）若点 P 从 O出发，以每秒 1 个单位的速度向点B作直线运动，点 Q同时从 B 出发，以相同速度向点C作直线运动，经过t （ 0 t 8）秒时恰好使BPQ为等腰三角形，请求出满足条件的t 值图 1动感体验 请打开几何画板文件名“14 张家界25”，拖动点M在圆上运动，可以体验到， EAF保持直角三角形的形状， AM是斜边上的高拖动点Q在 BC上运动，可以体验到，BPQ有三个时刻可以成为等腰三角形思路点拨 1从直线 BC的解析

26、式可以得到OBC的三角比，为讨论等腰三角形BPQ作铺垫 2设交点式求抛物线的解析式比较简便3第（ 3）题连结 AE、 AF容易看到 AM是直角三角形 EAF斜边上的高 4 第（ 4）题的 PBQ中， B 是确定的，夹 B 的两条边可以用含 t 的式子表示分三种情况讨论等腰三角形图文解析 （ 1）直线 BC的解析式为 y3 x15 （2）因为抛物线与x 轴交于 O、B(10, 0)42两点，设 y ax( x10) 代入点 C 1824，得 241832)解得5 ( ,)5a(a555524文档实用标准所以 y5x( x 10)5x225x5(x 5)2125 抛物线的顶2424122424点为

27、 (5,125) （3）如图2，因为 EF 切 A 于 M，所以 AM EF由24， ，可得 Rt RtAEAEAO AMAOEAME所以 1 2同理 3 4于是可得 EAF 90°所以 5 1由 tan 5 tan 1，得 MAME MFMA所以· 2，即 25ME MF MAmn图 2（ 4）在 BPQ中， cos B 4 ，BP 10t ， BQ t 分三种情况讨论等腰三角形BPQ：5如图 3，当时， 10tt解得t 5BP BQ如图 4，当 PB PQ时， 1BQBP cosB 解方程 1t4(10t) ，得 t80 22513 如图 5，当时， 1BPBQ cos

28、B 解方程1(10t)450QB QP22t ，得 t135图3图4图5图6考点伸展 在第（ 3）题条件下，以EF为直径的 G与 x 轴相切于点A如图 6，这是因为 AG既是直角三角形EAF斜边上的中线， 也是直角梯形EOBF的中位线，因此圆心 G到 x 轴的距离等于圆的半径，所以G与 x 轴相切于点A例 112014年湖南省邵阳市中考第26 题在平面直角坐标系中， 抛物线 yx2( m n) xmn（ m n）与 x 轴相交于 A、B 两点（点 A 位于点 B的右侧），与 y 轴相交于点 C（ 1）若 m 2，n 1，求 A、 B 两点的坐标；（ 2）若 A、 B 两点分别位于 y 轴的两侧

29、， C点坐标是 (0, 1) ，求 ACB的大小；（ 3）若 m 2， ABC是等腰三角形，求 n 的值 动感体验请打开几何画板文件名“14 邵阳 26”，点击屏幕左下方的按钮（2），拖动点A 在 x 轴正半轴上运动，可以体验到，ABC保持直角三角形的形状点击屏幕左下方的按钮（3），拖动点B在x轴上运动，观察的顶点能否落在对边的垂直平分线上，可以体验到，等腰ABC三角形 ABC有 4 种情况 思路点拨1抛物线的解析式可以化为交点式，用，表示点、 、的坐标m nA B C2第（ 2）题判定直角三角形ABC，可以用勾股定理的逆定理，也可以用锐角的三角比3第（ 3）题讨论等腰三角形ABC，先把三边长

30、（的平方）罗列出来，再分类解方程图文解析 （ 1）由 y x2 ( mn) x mn( x m)( x n) ，且 m n，点 A 位于点 B 的右侧，可知 A( m, 0) ， B( n, 0) 若 m 2， n 1，那么 A(2, 0) ， B(1, 0) 文档实用标准（ 2）如图1，由于 C(0,mn) ，当点 C的坐标是 (0, 1) ， mn 1， OC 1若 A、 B两点分别位于 y 轴的两侧，那么OA· OB m( n) mn 1所以 OC OA· OB所以 OCOB 2OAOC所以 tan 1 tan 2所以 1 2又因为 1 与 3 互余，所以2与3互余所

31、以 ACB 90°（ 3）在 ABC中，已知 A(2, 0)， B( n, 0) ， C(0, 2n) 讨论等腰三角形ABC，用代数法解比较方便：由两点间的距离公式，得22AB ( n 2) ，25 2，24 42当时，解方程 (n2)2 4 4 2，得n4（如图 2）BCnACnABACn34 4 252，得当时，解方程n 2（如图 3），或2（ 、重合，舍CACBnnnA B去）当时，解方程 (2)2 52，得n51（如图 4），或 n51（如图5）BABCnn22图 1图 2图3图4图 5考点伸展 第（ 2）题常用的方法还有勾股定理的逆定理由于 C(0,mn) ，当点 C的坐标

32、是 (0, 1) ， mn 1由(,0)， (, 0)， (0,1)，得2() 222 2 2 22，A mB nCAB m nm mn n m n2222222BC n 1， AC m 1所以 AB BCAC于是得到 Rt ABC， ACB 90°第（ 3）题在讨论等腰三角形时，对于的情况，此时、两点关于y轴对ABCCA CBA B称，可以直接写出 B( 2,0) ， n 2例 122014年湖南省娄底市中考第27 题如图 1，在 ABC中， ACB 90°， AC 4cm，BC 3cm如果点 P 由点 B出发沿 BA方向向点 A 匀速运动， 同时点 Q由点 A出发沿 A

33、C方向向点 C匀速运动， 它们的速度均为 1cm/s 连结 PQ，设运动时间为 t （ s）（ 0 t 4），解答下列问题： （ 1）设 APQ的面积为 S，当 t 为何值时， S取得最大值？ S的最大值是多少？（ 2）如图 2，连结 PC，将 PQC沿 QC翻折，得到四边形 PQP C，当四边形 PQPC为菱形时，求 t 的值；（ 3）当 t 为何值时， APQ是等腰三角形？图1图2图3图4动感体验请打开几何画板文件名“14 娄底 27”，拖动点Q在 AC上运动，可以体验到，当点 P 运动到 AB的中点时， APQ的面积最大，等腰三角形APQ存在三种情况还可以体文档实用标准验到，当 QC 2HC时，四边形 PQP C是菱形思路点拨1在 APQ中， A 是确定的，夹A的两条边可以用含t 的式子表示2四边形PQP C的对角线保持垂直，当对角线互相平分时，它是菱形，图文解析（ 1）在 RtABCACBCABAA4 中， 4， 3，所以5， sin3 ，cos55作 QD AB于 D，那么 QDAQsin A 3 t 所以 S S APQ 1 AP QD 1 (5 t)3 t 52