解决含参数不等式的恒成立问题的基本方法--资料

1、解决“含参数不等式的恒成立”问题的基本方法天津四中李晖“含参数不等式的恒成立”的问题，是近几年高考的热点，它往往以函数、数列、三角函数、解析几何为载体具有一定的综合性， 解决这类问题，主要是运用等价转化的数学思想:即一般的，若函数f(x在定义域为D D，则当x xD D时，有f(x)工M恒成立二f(x)minM;f(X声M恒成立二f(Xhax afe 仮 对于X忘丄,丄1恒成立, ,求实数a a的取值范围. .L16 4分析：本题的第二问将不等式仮)f二(X卜a(a -坂)转化成为关于t t的一次函数g(t)=(1+at+1-a?在UU, ,1!恒成立的问题. .那么，怎样完成这个转化呢？转化

2、之后又应L4 2当如何处理呢?【解析】略解f f r rx x)=M)=Mx x( (o o a?a? - -a a坂,1-Jx1-Jx即O+aQ1-a? 0对于乂讳召恒成立.显然h h-1-1令 Z，由x彳16订可知t呛1则g(t )=(1+at+1 -a? 0对于t- U,11恒成立. .也？由于g(t )=(1 + a t +1 -a?是关于t t的一次函数. .(在t忘寸的条件下g(t )= (1 + at t + +1 - a?表示一条线段，只要线段的两个端点在x x轴上方就可以保证g(t)=(1+ai+1-a? 0恒成立)例一已知函数f(x) =).l lx x+ +1 1丿gf0

3、14丿-gS。I 12丿12-(1+a)+1 - a 051= 1 c a c A+ a)+1-a204例二 定义在R R上的函数f(x既是奇函数，又是减函数，且当8迂f (cos20 0+2msin9)+ f (-2m -2):0恒成立，求实数m m的取值范围. .分析：利用函数的单调性和奇偶性去掉映射符号f f,将“抽象函数”问题转化为常见的含参的 二次函数在区间(0(0,1)1)上恒为正的问题. .而对于f(x)工0 0在给定区间a a,b b上恒成立问题可以转化成为f(x)在a a,b b上的最小值问题，若f(x)中含有参数，则要求对参数进行讨论。【解析】由f (cos20 +2msi

4、ne片f (2m -2 )：0得到:因为f(x )为奇函数,故有f (cos + 2msin日)f(2m + 2恒成立,又因为f(X)为R减函数,2f兀、从而有cos 6 +2msin0v2m+2对9 9忘0, |恒成立I 2丿设sin9=t，贝U t2-2mt +2m+1 0对于t亡(0,1)恒成立,在设函数g(t )=t2-2mt +2m +1，对称轴为t = m.当t =mcO时，g(0 )=2m +1 0,1即m -,又m021m v0(如图1)当t =m亡0,1 ，即0m1时,QQi=4m 4m(2m+1 )v0,即卩m 2m1v0,172m C1+J2,又m迂0,1】, 0 m1时

5、，g(1 )=1 -2m+2m+1 =2 0恒成立. m 1(如图3)1综上所述，当k -1+22时，f(k)+ f(3x-9x-2)-.2例三 定义在R R上的单调函数f(x)f(x)满足f(3)=logf(3)=log23 3且对任意x x，y yR R都有f(x+y)=f(x)+f(y)f(x+y)=f(x)+f(y).求证f(x)f(x)为奇函数；若f (k 3x片f (3x-9x-2 )0 0对于任意t t0 0恒成立.对二次函数f(t)f(t)进行研究求解.【解析】 证明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x，yR)，令x=y=0，代入式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即f(

6、0)=0.令y=-x，代入式，得f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，则有O=f(x)+f(-x).即f(-x)=-f(x)对任意xR成立，所以f(x)是奇函数.(2)解：f(3)=log230,即f(3)f(0)，又f(x)在R上是单调函数, 所以f(x)在R上是增函数，又由 f(x)是奇函数.f (k ”3xk -f(3x-9x-2 )= f (3x+9x+2 ) k 3X0对于任意X迂R恒成立.令t=3x0,问题等价于t2-(1 +kl +2A0 对于任意t A0恒成立.令f (t ) = t2-(1 +k t +2，其对称轴为直线当匕土0,即卩k0恒成立，符合题意，故k0

7、时,2I 1 + k-20，解得-10,f(O0恒成立二1综上所述，当k -1+22时，f(k)+ f(3x-9x-2)0对于任意X-R恒成立.本题还可以应用分离系数法，这种解法更简捷. .分离系数，由k 3X+9X+2得k 3X+电1.3X由于X亡R,所以30,故U = 3X+7 1工2血-1，即u的最小值为22 1.3X要使对于x - R不等式34-1恒成立，只要k 0= t 3x2-2x在（-1,1） 上恒成立。由于g(x)的图象是对称轴为开口向上的抛物线， 故要使t 3x2-2x在(-1,即t 5。而当t 5时，f(X)在(-1，1)上满足f(x)0，即f (x)在(-1，1)上是增函数。故t的取值范围是t 3 5.数学思想方法是解决数学问题的灵魂，同时它又离不开具体的数学知识