圆锥曲线求圆锥曲线方程

1、求曲线（或直线）的方程、基础知识:1 1、求曲线（或直线）方程的思考方向大体有两种，一个方向是题目中含几何意义的条件较多（例如斜率，焦距，半轴长，半径等），那么可以考虑利用几何意义求出曲线方程中的要素的值，从而按定义确定方程；另一个方向是若题目中没有明显的几何条件，主要依靠代数运算，那么就考虑先用待定系数法设出方程（未知的部分用字母代替），从而该方程便可参与题目中的运算，再利用题目条件求出参数的值，即可确定方程。可以说两个方向各有侧重，一个倾向于几何意义，另一个倾向于代数运算，下面将对两个方向涉及到的知识进行详细梳 理2 2、所学方程中字母的几何意义（1 1）直线：k:斜率；xo,y:直线所过

2、的定点（2 2） 圆：a,b: :圆心的坐标；r:圆的半径（3 3）椭圆：2a:长轴长，焦半径的和；2b:短轴长；2c:焦距（4 4） 双曲线：2a:实轴长，焦半径差的绝对值；2b:虚轴长；2c:焦距注：在椭圆和双曲线中，很多几何性质也围绕着a,b,c展开，通过这些条件也可以求出a,b,c的值，从而确定曲线方程。例如（椭圆与双曲线共有的）：c2b2离心率：e；通径（焦点弦长的最小值）： 等aa（5 5 ）抛物线：p：焦准距3 3、待定系数法中方程的形式：（1 1 ）直线与曲线方程通式：直线：y kx m，xmy t圆：x2y2DxEyF 0椭圆：2 2标准方程： 一2每ab1 ab 02 2y

3、x、，（或一221 a b 0，视焦点所在轴来决定）a b椭圆方程通式：mx22ny1 m0,n0双曲线:0C l 0即x2DxEy FAxBy 相同渐进线的双曲线系方程：与双曲线2x2a2yb21渐近线相同的双曲线系方程为:、典型例题:2x2a（2 2）曲线系方程：具有一类特征的曲线的集合，通常曲线方程中含有参数。曲线系方程的一大好处在于若根据题目条件设出合适的曲线系方程，则将问题转化为利用条件求解参数，让解题目标更为明确， 曲线系方程也是待定系数法求方程的一种方法。 常见的曲线系方程如下：的圆系方程为:一X2标准方程：a2y b21 a0,b02（或爲a双曲线方程通式：mx22ny1 mn

4、 0抛物线：标准方程：y2pxp 0等抛物线方程通式：2ymx，x2myx71 a 0，b 0，视焦点所在轴决定）I1Ci过相交直线11 A1%l2: A2xi20即Ax与直线Ax与直线Ax过相交两圆C20ByBy若直线l : AxRyCiC22:x2:xByByDyC10的交点的直线系方程为:C204x B2y C20平行的直线系方程为:0垂直的直线系方程为:2yD1x E1yF1y2D1X E0与圆C1: x（其为参数）AxBy0（其中为参数）BxAy0（其中为参数）0交点的圆系方程为:Fix22yD2x E2y F20DxEyF 0有公共点，则过公共点2原点的直线I与椭圆相交于M , N

5、两点，记直线PM , PN的斜率分别为k1,k2，且&k222X2即b 1，所以椭圆方程为y 14答案：D D(1(1)求椭圆 C C 的离心率方程及椭圆C的方程解：（1 1）由椭圆方程可得：A a,0 ,B 0.b ,F c,0AB Va2b2, BF| Jb2c2a2 2例 1 1 :已知椭圆C :訂爲1 aa2b2b 0的长轴长为 4 4,若点P是椭圆C上任意一点，过则椭圆的方程为()2 22 2A.x_ y_ 1B B. .x y116442思路：由已知可得a2， 所以只需利用条件M X1, y1，则NX, %。22y.2X2 /C.C.X1D.y 1441k1k2求出b的值即

6、可，设4P x）,y0，则k1y1y0,k2y1y0从而X1X0X1X0k1k2峑y。*y。2*22y。2X1X。X1X0X011，由分子分母平方差的特点及M,P在椭圆上联想42x_到点差法，得：4x|_42y_b22b212 2X1Xo412 2b?y1yo2 20，所以巴一2X| Xo2 2例 2 2:椭圆C :笃y2a b1 a b 0的右焦点为F，右顶点，上顶点分别为A,B，且AB.52BF(2)若斜率为2的直线I过点0,2，且I交椭圆C于P,Q两点,OPOQ，求直线I的2Q AB IBF75a2例 3 3:已知直线丨:kx 1，椭圆2XE :92y21 m 0，m（1 1）若无论k为

7、何值, 直线I与椭圆E均有公共点，试求m的取值范围及椭圆离心率e关于m的函数关系式10（2）当k-10时，直线I与椭圆E相交于A,B两点，与y轴交于点M，若AM13UULT2MB，b24b2a 2b2:1: .3.32(2)由（1 1） 可得椭圆方程为:2x4b22y_b2x24y24b2P Xi，% ,QX2,y2,QOPOQuuu uurOP OQX1X2y20由已知可得,直线的方程为2x联立方程:2x 24y24b2，消去y可得:22x 24b20,即:17x232x164b216X-|X24b217，X1322X122X2X2174X-|X24 x1X214 -174b216 4b2X

8、-|X2y2171 4b217经检验：当b满足直线与椭圆有两个交点, 所以符合条件求椭圆E的方程解：(1 1 )由l : y kx 1可知直线l过定点0,1Q l与E恒有公共点0,1在椭圆上或椭圆内02121 m 19 m2Q m 9 m3m的范围为m 1,3 U 3,若m291 m 3，则a29,b2m2ca2b29 m2若m29m3，则a2m2,b29ca2b2. m29c vm 9 ea 3设A X1,y1,B X2,y2uuuuAMX1,1uuiry1,MBX2,y21uuunUULTX12x2Q AM2MB1y12 y21联立直线与椭圆方程可得:a 3综上所述：e,1 m3(2(2)

9、由已知可得:1,M 0,1 m29厂,m 10联立并消元可得到：a23b2x28a2x 16a23a2b20， 所以x2x32y2m10 x2X1X2Q X11，消去6 10 xy可得：m9 1 m2輕,X1X2m2102x2可得:1 m22x210 x1x2x1x210X210m2109 1 m280,即m2109 1 m2109m2，整理后可得:10m49m290 x2y2椭圆方程为19622例 4 4 :过点A 4,0，向椭圆爲1 aab2VABC为正三角形， 贝U ab最大时椭圆的方程为2 , 222x 4y.A.A. 1x x B.B. 8y 143832 2m 6或m 15(舍)7

10、20m210解得:b 0引两条切线，切点分别为B,C，且()2xC.C.43y2142xD.D.83y218思路：由题意可知本题确定a,b值的关键在于ab达到最大值时，a,b的取值，那么需要得到关于a,b的关系（等式或不等式），作出图形可知，若VABC为正三角形，则AB,AC的斜率为于，进而能够得到AB,AC的方程。以AB为例：yx 4，与椭圆方程 10联立并消元可得到：a23b2x28a2x 16a23a2b20， 所以2 2 2 2a 3b，再结合a 3b 16即可求出a,b的值，从而确定椭圆方程解：依图可知:5 2a 3b 162 20 a23b216，则考虑利用均值不等式得到0 ab冬

11、仝，等号成立条件为3334222240即12a b 192a b 36a b 0由均值不等式可3b22、3a2b22 3ab2.3ab16ab（等号3b2)ab的最大值为2a2a3b23b216b2椭圆方程为:x23y28 85 2a 3b 16.3AB的方程为yx4，联立方程：3.3y4，消去2 212 2 2 2y:b x -a x 4 a b，整理后可得.2 2 2 22 23b x a ya b2 2 2a 3b x8a5x16a23a2b20Q AB与椭圆相切8a2 24 a23b216a23a2b2064a464a412a4b2192a2b236a2b4 10联立并消元可得到：a2

12、3b2x28a2x 16a23a2b20， 所以答案：D D（2 2）直线l与以AB为直径的圆0相切，并且被椭圆C截得的弦长的最大值为2、,3，求椭 圆C的标准方程例 5 5:已知点F是椭圆C的右焦点,代B是椭圆短轴的两个端点，且VABF是正三角形（1 1） 求椭圆C的离心率2max8km厲朴24 m2b21 4k22MN1 k2xi2X21 k22x1x24x1x2，整理可得:MN16 1k2b2m24k2b24k2Q l与圆x2y2b2相切bm2b21 k2代入到MN216b23k21 k212 24k216（等号成立条23k21k2MN2b3k2122 24 k2k224b22b 2、3

13、 b .32 2X y解：（1 1）设椭圆标准方程为221 a b 0，焦距为a2b2可得：a 2b，因为a2b2c2解得：a : b: c 2:1:-、3（2 2）由（1 1）可得椭圆的方程为：x24y24b2,设I与椭圆C的交点为M X1, y1, N x2, y2若I斜率不存在，可得弦长MNs/3b若I斜率存在，设I : y kx m，联立方程:y kx m22222224k 1 x 8kmx 4 m b 0 x24y24b22c,由VABF是正三角形.5X(1(1 )求E的离心率 e e5 2可解得：b 3a 3-、5椭圆方程为y1459a 2、3椭圆方程为：2X2y1123例 6 6

14、：设椭圆2 2E的方程为x2y21 ab 0，点0为坐标原点，点A的坐标为a,0，a5b6 7点B的坐标为0,b，点M在线段AB上，满足BM2 MA，直线OM的斜率为仝10(2(2)设点 C C 的坐标为0, b,N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐.5X标为7,求E的方程2uuuuimr解(1 1)由M在线段AB上和BM 2 MA可得：BM 2MAQ A a,0 , B 0,bKOMb3b5uuu1 uuu2 uuu2 12a10OM OB-OAa, 2a333 33a、一5ba:b: c5 :1: 2c 2e；52乜5依题意可得:5b2(2(2)由(1 1 )中a: b :c

15、.5:1：2，可设AB：由A a,0 ,C 0, b可得:，设N的对称点N7X0,2x2x例 7 7：已知椭圆E :二a2yb2的半焦距为c,原点0到经过两点c,0 , 0,b的直线的距离为c2(1(1 )求椭圆的离心率(2)如图，AB是圆M : x若椭圆E经过A,B两点，求椭圆E的方程5的一条直径,解：(c,0 , 0,b的bxcy bc 0dobcb2c2bc 1c2b22c可得:c23a24(2)由(1 1)可得:2:1: .32x椭圆方程为：r4b22yb2x24y24 b22由圆方程x 2 y5可得:2,1 ,r102设A X1，y1,B X22x1x22AB| 2r.10 x24A

16、B ,10X1设AB: y1，联立方程:y k x x24y21 4k2x12消去y可得:4b4b2，整理后可得:28k 1 2k x 4 1 2k4b20,b0的两个焦点为FnF2，其中一条渐近线方程为y x b N，P为双曲线上一点，且满足OP 5，若PFj, F1F2, PF2成等比数列,则双曲线C的方程为_解：Q PF1, F1F2, PF2成等比数列2 2F1F2IPF1PF24cPF|PF2b由渐近线方程y x b N可知：a 2，不妨设P在右支上2PF1PF22a 4229即PF1PF28c8168 2 2由中线定理可知：PF1PF22 OF2OPX28k 1 2k1 4k2X2

17、4 1 2k24b21 4k28k1 2k44k2X1X28 2 b2ABX2-212x-ix24X1X2Q AB10 b22,10b2b23x2椭圆方呈为：石2y32x例 8 8:已知双曲线aPF1PF222=PF12PF22 PF1PF21616 8c22 c22OP即OP28 3c28 3 a2b220 3b2OP20 3b225 b253由bN可知b 1双曲线方程为：专y21答案：x221Ty 1小炼有话说：中线定理：已知AD为VABC中底边BC的中线，则有可得:（1 1 ）求双曲线 E E 的离心率l分别交直线li,l2于A,B两点（A,B分别在第一、四象限），且VOAB的面积恒为

18、8 8,试探究：是否存在总与直线 有一个公共点的双曲线E若存在，求出双曲线E的方程； 说明理由解：（1 1）由双曲线方程可知，渐近线方程为y -xaABii: yAC2 ADBD2CD，即ABACADBD（20142014，福建） 已知双曲线2E：Xia2y_b20,b0的两条渐近线分别为2x，l2: y 2xAB2AC22AD2BDABADBD2 ADBD cosADB同理，在VADC中，有:ACADCD2 ADCD cosADCQ ADB ADC且由D是BC中点可知:BDCD（2 2）如图，O O 为坐标原点，动直线2由余弦定理可，证明如下：在VADB中,2 b 2ac2a2b25a2.5

19、(2(2)若直线l不与x轴垂直，设l : y mx t, A Xi, yi,BX2,y2联立方程:x my ty 2xXiyiti 2m2ti 2m，同理可得my t2xXiyiti 2m2ti2m设直线I与x轴交于C t,0S/OAB2 |OC| |yi1y2即2t2ti 2m2ti 2mt24m2由直线I与渐近线的交点A,B分别在第一、四象限可知:i 4m20t21 4m2由(i i)可得双曲线方程为:2x2a2土i4a联立I与双曲线方程:x my t4x2y24 a24m2i y28mty4 t2因为I与双曲线相切8mt2i6t24m2整理可得：4m1 4m24m2所以a24双曲线方程为: