教学：高一数学人教A版必修四教案：1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图象(一)Word版含答案

1、1.5 函数 y=Asin（ ax+（|）的图象一、教学分析本节通过图象变换，揭示参数3、 A变化时对函数图象的形状和位置的影响，讨论函数y=Asin（3X+<f）的图象与正弦曲线的关系，以及A、。的物理意义，并通过图象的变化过 程 , 进一步理解正、余弦函数的性质,它是研究函数图象变换的一个延伸,也是研究函数性质的一个直观反映.这节是本章的一个难点.如何经过变换由正弦函数y=sinx来获取函数 y=Asin（x+（）的图象呢？通过引导学生对函数y= sinx到y= Asin（co x+（）的图象变换规律的探索，让学生体会到由简单到复杂、由特殊到一般的化归思想；并通过对周期变换、相位变换

2、先后顺序调整后,将影响图象变换这一难点的突破，让学生学会抓住问题的主要矛盾来解决问题的基本思想方法；通过对参数3、A 的分类讨论,让学生深刻认识图象变换与函数解析式变换的内在联系.本节课建议充分利用多媒体,倡导学生自主探究,在教师的引导下,通过图象变换和“五点”作图法，正确找出函数y= $访*到y= Asin（co x+（j）的图象变换规律，这也是本节课的重点所 在.二、教学目标：1、知识与技能借助计算机画出函数 y = Asin（ cox+（f）的图象，观察参数，« , A对函数图象变化的 影响；引导学生认识 y=Asin（ cox+j）的图象的五个关键点，学会用“五点法”画函数

3、y = Asin（ 3 x+。）的简图；用准确的数学语言描述不同的变换过程2、过程与方法通过引导学生对函数 y = sinx至Uy=Asin（x+（）的图象变换规律的探索，让学生体会研究问题时由简单到复杂, 从具体到一般的思路, 一个问题中涉及几个参数时，一般采取先“各个击破”后“归纳整合”的方法 .3、情感态度与价值观经历对函数y = sin x到y =Asin（ co x+e）的图象变换规律的探索过程，体会数形结合以及从特殊到一般的化归思想; 培养学生从不同角度分析问题，解决问题的能力.三、教学重点、难点：重点：将考察参数A、（）对函数 y=Asin（ co x+e）图象的影响的问题进行分

4、解，找 出函数y = sin x到y = Asin（ w x+（）的图象变换规律.学习如何将一个复杂问题分解为若干 简单问题的方法.；会用五点作图法正确画函数 y = Asin（x+巾）的简图.难点： 学生对周期变换、相位变换顺序不同，图象平移量也不同的理解四、教学设想：函数 y=Asin（ w x+（|）的图象（一）（一） 、导入新课思路1.（情境导入）在物理和工程技术的许多问题中 ，都要遇到形如y=Asin（w x+（H的函数 （其中A、。是常数）.例如，物体做简谐振动时位移 y与时间x的关系，交流电中电流强度 y 与时间 x 的关系等,都可用这类函数来表示.这些问题的实际意义往往可从其函

5、数图象上直观地看出，因此，我们有必要画好这些函数的图象.揭示课题：函数y=Asin（co x+（）的图象.思路2.（直接导入）从解析式来看，函数y=sinx与函数y=Asin（co x+（）存在着怎的关系？ 从图象上看，函数y=sinx与函数y=Asin（co x+（）存在着怎样的关系？接下来，我们就分别探索 （）、A对y=Asin（x+（）的图象的影响.(二)、推进新课、新知探究、提出问题观察交流电电流随时间变化的图象，它与正弦曲线有何关系？你认为可以怎样讨论参数4、a a A对y=Asin( 3 x+4 )的图象的影响？分别在y=sinx和y=sin(x+§)的图象上各恰当地选取

6、一个纵坐标相同的点，同时移动这两点并观察其横坐标的变化，你能否从中发现，力对图象有怎样的影响？对。任取不同的值，作出y=sin(x+4 )的图象，看看与y=sinx的图象是否有类似的关系？你概括一下如何从正弦曲线出发，经过图象变换得到 y=sin(x+<f)的图象.你能用上述研究问题的方法，讨论探究参数对 y=sin(co x+(j)的图象的影响吗？为了作图的方便，先不妨固定为。=目,从而使y=sin(cox+(H在变化过程中的比较对象固定为 y=sin(x+ ).类似地，你能讨论一下参数A对y=sin(2x+)的图象的影响吗？为了研究方便，不妨令33=2, 4 =目.此时，可以对A任取

7、不同的值，利用计算器或计算机作出这些函数在同一坐标系中 的图象，观察它们与y=sin(2x+ )的图象之间的关系.3可否先伸缩后平移？怎样先伸缩后平移的？活动：问题，教师先引导学生阅t课本开头一段，教师引导学生思考研究问题的方法.同时引导学生观察y=sin(x+)图象上点的坐标和y=sinx的图象上点的坐标的关系，获得。对y=sin(x+e )的图象的影响的具体认识.然后通过计算机作动态演示变换过程，引导学生观察变化过程中白不变量，得出它们的横坐标总是相差一的结论.并让学生讨论探究.最后共同总结 出:先分别讨论参数()、 A对y=Asin(cox+()的图象的影响，然后再整合.图1问题，由学生

8、作出()取不同值时，函数y=sin(x+(j)的图象，并探究它与y=sinx的图象的关 系，看看是否仍有上述结论.教师引导学生获得更多的关于。对y=sin(x+e )的图象影响的经验为了研究的方便，不妨先取。=3,利用计算机作出在同一直角坐标系内的图象 ，如图1,分别在 两条曲线上恰当地选取一个纵坐标相同的点A、B,沿两条曲线同时移动这两点，并保持它们的纵坐标相等，观察它们横坐标的关系.可以发现，对于同一个y值,y=sin(x+)的图象上的点的横3坐标总是等于y=sinx的图象上对应点的横坐标减去一.这样的过程可通过多媒体课件，使得图 中A、B两点动起来(保持纵坐标相等，在变化过程中观察 A、

9、B的坐标、x&xa、|AB|的变化情 况,这说明y=sin（x+5）的图象，可以看作是把正弦曲线 y=sinx上所有的点向左平移 三个单位长 度而得到的，同时多媒体动画演示 y=sinx的图象向左平移 一使之与y=sin（x+一）的图象重合的 过程，以加深学生对该图象变换的直观理解 .再取。=n，用同样的方法可以得到 y=sinx的图 象向右平移 一后与y=sin（x 一）的图象重合.如果再变换。的值，类似的情况将不断出现，这时。对y=sin（x+。）的图象的影响的铺垫已 经完成，学生关于（）对y=sin（x+（）的图象的影响的一般结论已有了大致轮廓问题，引导学生通过自己的研究认识。对

10、 y=sin（x+（H的图象的影响，并概括出一般结 论：y=sin（x+（|）（其中小*0）的图象，可以看作是把正弦曲线上所有的点向左（当小0时）或向右（当日0时）平行移动|小|个单位长度而得到.问题，教师指导学生独立或小组合作进行探究，教师作适当指导.注意提醒学生按照从具体到一般的思路得出结论，具体过程是：（1）以y=sin（x+ ）为参照，把y=sin（2x+）的图象与y=sin（x+1）的图象作比较，取点A、B观察.发现规律：产KiniN+与 r= sina 十号）图2如图2,对于同一个y值,y=sin（2x+&）的图象上点的横坐标总是等于y=sin（x+&）的图象上对应

11、1点的，倍.教学中应当非常认真地对待这个过程，展示多媒体课件，体现伸缩变换过程，引导学2生在自己独立思考的基础上给出规律.（2）取=1，让学生自己比较y=sin（- x+）的图象与223y=sin（x+J图象.教学中可以让学生通过作图、观察和比较图象、讨论等活动，得出结论：把y=sin（x+）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）,就得到y=sin（'x+ ）的323图象.当取为其他值时，观察相应的函数图象与y=sin（x+&）的图象的关系，得出类似的结论.这时对y=sin（co x+4 ）的图象的影响的铺垫已经完成，学生关于对 y=sin（w x+（）的图象的影响

12、的一般结论已有了大致轮廓.教师指导学生将上述结论一般化，归纳y=sin（« x+4）的图象与y=sin（x+（）的图象之间的关系，得出结论：函数y=sin（x+小）的图象可以看作是把y=sin（x+（|）的图象上所有点的横坐标 缩短（当1时）或伸长（当0必1时）到原来的1倍（纵坐标不变）而得到.图3问题，教师点拨学生，探索A对图象的影响的过程，与探索3、。对图象的影响完全一致， 鼓励学生独立完成.学生观察y=3sin（2x+）的图象和y=sin（2x+§）的图象之间的关系 如图3, 分别在两条曲线上各取一个横坐标相同的点A、B,沿两条曲线同时移动这两点，并使它们的横坐标保持

13、相同，观察它们纵坐标的关系.可以发现对于同一个x值，函数y=3sin（2x+ ）的图象上的点的纵坐标等于函数y=sin（2x+号）的图象上点的纵坐标的3倍.这说明，y=3sin（2x+g）的图象,可以看作是把y=sin（2x+ ）的图象上所有的点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变）3而得到的.通过实验可以看到,A取其他值时也有类似的情况.有了前面两个参数的探究，学生 得出一般结论：函数y=Asin（x+小）（其中A>0,>0）的图象，可以看作是把y=sin（x+小）上所 有点的纵坐标伸长（当A>1时）或缩短（当0<A<1时）到原来的A倍（横坐标不变）而 得到，从

14、而，函数y=Asing x+小）的值域是卜A,A,最大值是A,最小值是-A.由此我们得到了参数4、A对函数y=Asin（co x+力）（其中A>0,co >0）的图象变化的影响情况.一般地，函数y=Asin（cox+。）（其中A>0,co>0）的图象，可以看作用下面的方法得到：先画出函数y=sinx的图象;再把正弦曲线向左（右）平移|小|个单位长度彳马到 函数y=sin（x+（|）的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的 倍得到函数 y=sin（x+小）的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍，这时的曲线就是函数y=Asin（x+小）的图象.引导学生类比得出.其

15、顺序是：先伸缩横坐标（或纵坐标，再伸缩纵坐标（或横坐标，最后 平移.但学生很容易在第三步出错，可在图象变换时，对比变换，以引起学生注意，并体会一些细 节.由此我们完成了参数力、3、 A对函数图象影响的探究.教师适时地引导学生回顾思考 整个探究过程中体现的思想：由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想.（三）、讨论结果：把从函数y=sinx的图象到函数y=Asin（co x+（j）的图象的变换过程，分解为先分别考察参 数4、A对函数图象的影响，然后整合为对y=Asin（cox+（H的整体考察.略略.图象左右平移，力影响的是图象与 x轴交点的位置关系.纵坐标不变，横坐标伸缩，3影响了图象的形状.横坐标

16、不变，纵坐标伸缩，A影响了图象的形状.（四）、规律总结：先平移后伸缩的步骤程序如下得y=sin（x+（）的图象向左（0）或向右（0）y=sinx的图象 平移| |个单位长度横坐标伸长（01）或缩短（1 .到原来（纵坐标不变）1)得 y=sin( w x+()的图象纵坐标伸长（A 1）或缩短（0 A 为原来的A倍（横坐标不变）1)得 y=Asin(wx+()的图象.先伸缩后平移（提醒学生尽量先平移，但要注意第三步的平移.y=sinx的图象纵坐标伸长（A 1）或缩短（0 A 1）这原来的A倍（横坐标不变） 得y=Asinx的图象横坐标伸长（01）或缩短（1）一一，.一 1 到原来的一（纵坐标不变）

17、得y=Asin(co x)的图象向左（0）或缩短（1)平移|个单位得 y=Asin（ w x+（）的图象.（五）、应用示例例1画出函数y=2sin（lx - ）的简图. 3 6活动:本例训练学生的画图基本功及巩固本节所学知识方法（1）引导学生从图象变换的角度来探究，这里的-,«= 1 ,A= 2,鼓励学生根据本节63所学内容自己写出得到y=2sin（1x-）的图象的过程：只需把y=sinx的曲线上所有点向右平3 6行移动g个单位长度，得到y=sin（x-1）的图象；再把后者所有点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变，得到y=sin（lx-）的图象；再把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原

18、来的2倍（横3 6坐标不变）而得到函数y=2sin（1 x-）的图象，如图4所示.3 6图4(2)学生完成以上变换后，为了进一步掌握图象的变换规律，教师可引导学生作换个顺序的图象变换，要让学生自己独立完成，仔细体会变化的实质.(3)学生完成以上两种变换后，就得到了两种画函数y=2sin(1x- - )，简图的方法，教师再进3 6一步的启发学生能否利用“五点法”作图画出函数y=2sin(1x)的简图，并鼓励学生动手按3 6“五点法”作图的要求完成这一画图过程.解:方法一：画出函数y=2sin(1 x)简图的方法为3 6右移_个单位y=sinxy=sin(x)6纵坐标不变1横坐标不变横坐标伸长到原

19、来的3倍尸"")纵坐标伸长到原来的2倍y=2sin(1x-).36方法二：画出函数y=2sin(1x)简图的又一方法为36纵坐标不变1y=sinx横坐标伸长到原来的3倍y=sin- x3横坐标不变, 右移一个单位y=2sin( - x- - )=2sin - (x- 363_12纵坐标伸长到原来的2倍y=2sin3x2).方法三：(利用“五点法”作图作一个周期内的图象)令 X=x- ，贝U x=3(X+ ).歹U表:366X02冗322冗X22冗725冗132Y020-20描点画图，如图5所示.图5点评:学生独立完成以上探究后，对整个的图象变换及“五点法”作图会有一个新的认

20、识但教师要强调学生注意方法二中第三步的变换，左右平移变换只对“单个” x而言，这点是个难点，学生极易出错.对于“五点法”作图，要强调这五个点应该是使函数取最大值、最小值以 及曲线与x轴相交的点.找出它们的方法是先作变量代换，设X=3 x+4，再用方程思想由 X取0,兀，3-,2兀来确定对应的 x值.22（六）、课堂小结1 .由学生自己回顾总结本节课探究的知识与方法，以及对三角函数图象及三角函数解析式的新的认识，使本节的总结成为学生凝练提高的平台.2 .教师强调本节课借助于计算机讨论并画出y=Asin（cox+§）的图象，并分别观察参数小、3、A对函数图象变化的影响，同时通过具体函数的

21、图象的变化，领会由简单到复杂、特殊到一般的化归思想.（七）、作业以下为赠送文档：选彳4_5 不等式选讲课 题： 第01课时不等式的基本性质目的要求： 重点难点：教学过程：一、引入：不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。列子？汤问中脍炙人口的“两小儿辩日”：“远者小而近者大”、“近者热而远者凉”，就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛 存在；日常生活中息息相关的问题，如“自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢？”、“电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮？”、“用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子。要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？”等，都属于不等关系的问题，需要借助不等式的相关知识才能得到解决。而且， 不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。本专题将介绍一些重要的不等式(含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序 不等式等)和它们的证明，数学归纳法和它的简单应用等。人与人的年龄大小、 高矮胖瘦，物与物的形状结构， 事与事成因与结果的不同等等都表 现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的