2026年秋北师大版九年级上册数学《二次函数》公开课教案

2026年秋北师大版九年级上册数学《二次函数》公开课教案一、教材分析（一）内容定位1.本节课是北师大版九年级上册第二章《二次函数》的第一课时，属于初中数学数与代数领域的函数主题内容，是学生在学习了变量、函数概念，掌握了一次函数、反比例函数的图象与性质之后，学习的又一类新的初等函数，既是对之前函数研究方法的延续和巩固，也为后续学习二次函数的图象性质、解决实际问题以及高中阶段学习更复杂函数打下基础，在整个初中函数知识体系中起到承上启下的核心作用。2.本节课对接2026版义务教育数学课程标准要求，侧重发展学生的符号意识、模型观念、抽象能力等核心素养，强调从实际情境中抽象出数学概念，体会函数是刻画现实世界变化规律的重要模型，符合新课标“教-学-评”一体化的要求。（二）编写特点1.北师大版教材从学生熟悉的实际问题出发，引导学生通过列关系式、观察对比、概括特征得到二次函数的概念，符合学生从具体到抽象的认知规律，突出了数学与生活的联系，注重学生的探究过程，符合新课标的教学理念。二、学情分析（一）已有基础1.知识基础（1）九年级学生已经系统学习了一次函数、反比例函数的相关知识，能够准确识别变量、自变量、因变量，掌握了函数的一般表示方法，具备了从实际问题中列函数关系式的基本能力。（2）学生已经掌握了整式的化简、整理，能够正确识别多项式的次数和系数，为学习二次函数概念打下了知识基础。2.能力基础（1）学生已经经历过从实际问题抽象出函数概念的过程，具备初步的类比、归纳、抽象能力，能够通过对比旧知识发现新知识的特征。（二）认知障碍1.学生容易忽略二次函数概念中“二次项系数不为0”的隐含条件，判断函数类型时容易出错，遇到需要先化简再判断的题型经常混淆。2.在解决实际问题时，学生往往能列出函数关系式，但容易忽略自变量的实际意义，不能准确确定自变量的取值范围，这是学生认知的主要难点。三、教学目标（一）知识与技能1.能结合具体实例说出二次函数的意义，理解二次函数的概念，掌握二次函数的一般形式。2.能准确判断一个给定关系式是不是二次函数，能正确说出二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项。3.能根据实际问题中的数量关系，列出二次函数的解析式，并结合实际意义确定自变量的取值范围。（二）过程与方法1.经历从实际问题抽象出二次函数概念的过程，提升学生的抽象概括能力和符号意识。2.通过类比一次函数、反比例函数的研究方法总结二次函数的特征，发展学生的类比归纳能力和模型观念。（三）情感态度价值观1.感受二次函数在刻画现实生活变化规律中的作用，体会数学与生活的紧密联系，提升学生学习数学的兴趣。2.在小组合作探究过程中，养成主动思考、合作交流的学习习惯，增强学生学习数学的自信心。四、教学重点（一）理解二次函数的概念，掌握二次函数的一般形式。（二）能结合实际问题列出正确的二次函数解析式。五、教学难点（一）从实际问题中抽象出二次函数的数量关系，准确确定自变量的取值范围。（二）理解二次函数概念中二次项系数不为零的隐含条件，能正确判断二次函数。六、课前准备（一）教师准备1.制作多媒体互动课件，收集投篮轨迹、拱桥轮廓、喷泉曲线等生活中与抛物线相关的图片和短视频，设计探究任务单和课堂练习卡。2.提前将班级学生按照异质分组原则分成6个小组，每组4-5人，准备好展示用的板书卡片和互动教具，调试教室的多媒体展示设备。（二）学生准备1.提前复习一次函数、反比例函数的概念和一般形式，整理之前学习的函数相关知识框架。2.预习教材中本节课的内容，提前观察生活中曲线变化的实例，思考对应的数量关系。七、课时安排（一）本节课为《二次函数》章节的起始新授课，安排1课时，共45分钟。八、教学过程（一）导入1.情境引入（1）多媒体播放三段生活短视频：第一段是篮球运动员投篮后篮球的运动轨迹，第二段是城市公园拱桥的侧面轮廓，第三段是广场喷泉喷出水流的形状，播放结束后提问：这些线条和我们之前学过的一次函数的直线、反比例函数的双曲线形状不一样，那它们对应的函数是什么样的呢？今天我们就一起来研究这类新的函数。（2）接着出示三个学生熟悉的实际问题，引导学生列出y和x的关系式：问题1：学校生物社团要用长20m的围栏围一个矩形的种植园，设矩形种植园的长为xm，面积为ym²，请写出y与x的关系式。学生独立思考后可以得到：y=x(10-x)，整理后为y=-x²+10x。问题2：某品牌笔记本电脑去年售价为6000元，每年的平均降价率为x，两年后的售价为y元，请写出y与x的关系式，学生整理后可以得到y=6000(1-x)²=6000x²-12000x+6000。问题3：已知一个圆的半径为x，面积为y，请写出y与x的关系式，学生很容易得到y=πx²。（3）教师把三个得到的关系式写在黑板上，引导学生观察，这三个式子都有什么共同特点，由此进入新授环节。（二）新授1.对比观察，概括概念（1）提问引导回顾：我们之前学习过哪些函数？它们的一般形式是什么？学生集体回答：一次函数y=kx+b（k≠0），正比例函数y=kx（k≠0），反比例函数y=k/x（k≠0）。（2）引导学生对比黑板上的三个关系式和之前学的一次函数，找相同点和不同点：相同点都是含有两个变量的等式，都是一个变量随着另一个变量的变化而变化，都是函数关系；不同点在于，之前学的一次函数自变量的最高次数是1，这三个关系式中自变量的最高次数都是2。（3）师生共同概括得到二次函数的概念：一般地，形如y=ax²+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。其中x是自变量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。（4）重点强调概念中的关键条件：为什么要求a≠0呢？引导学生思考，如果a=0，那么ax²这一项就没有了，式子就变成了y=bx+c，当b≠0的时候就是一次函数，当b也等于0的时候就是常数函数，都不是二次函数，所以a≠0是二次函数必不可少的条件。那b和c可以等于0吗？引导学生结合黑板上的三个例子看：y=πx²中b=0，c=0；y=-x²+10x中c=0，它们都是二次函数，所以b和c可以是任意常数，只需要满足a≠0就可以，加深学生对概念的理解。（三）小组合作探究1.布置探究任务每个小组分发探究任务单，给大家5分钟的讨论时间，完成两个探究任务：（1）任务一：判断下列式子哪些是二次函数，说明理由：①y=5x-3；②y=5x²；③y=2x³+x²；④y=3x²-2x+1；⑤y=1/x²；⑥y=(x+2)²-x²。（2）任务二：结合生活实际，每个小组举出一个可以用二次函数表示的实际问题，写出对应的函数解析式，并说一说自变量的取值范围是什么，为什么。2.小组成果展示5分钟讨论结束后，每个小组派代表上台分享探究成果，教师针对学生的分享进行点评总结：对于任务一，重点点评第六题，很多学生第一眼看到有(x+2)²，就觉得是二次函数，化简之后发现y=x²+4x+4-x²=4x+4，最高次数是1，是一次函数，所以强调判断二次函数的时候，一定要先化简整理，再根据定义判断，避免出错；对于任务二，学生举的例子比如“正方形边长为x，面积为y”“竖直上抛小球，初速度为v0，高度h和时间t的关系”，教师引导学生分析自变量的取值范围，比如正方形边长肯定大于0，所以自变量不能取全体实数，必须符合实际意义，强化学生对自变量取值范围的理解。（四）课堂练习1.基础巩固练习（1）下列函数中，哪些是二次函数？如果是，请分别说出它的二次项系数、一次项系数和常数项：y=3x+2，y=-4x²，y=2x²+3x-1，y=1/2x²+5x。（2）当m为何值时，函数y=(m-2)x^{m²-2}+3x是二次函数？学生独立完成后，同桌交换批改，教师抽查几位学生的答案，针对错误率高的地方进行讲解，第二题需要同时满足两个条件：m²-2=2，且m-2≠0，所以得到m=-2，强化学生对a≠0和最高次数是2两个条件的理解。2.能力提升练习用长为40m的篱笆，一面靠墙围一个矩形的养鸡场，墙的最大长度为18m，设垂直于墙的一边长为xm，养鸡场的面积为ym²，写出y关于x的函数解析式，并求出自变量x的取值范围。这个题目让学生上台板演，做完后师生共同点评，得到y=x(40-2x)=-2x²+40x，自变量x需要满足x>0，且40-2x≤18，40-2x>0，所以得到11≤x<20，强调结合实际条件确定自变量范围的方法，突破本节课的难点。（五）课堂小结1.学生自主小结引导学生回顾本节课内容，提问：今天我们学习了什么新知识？你有什么收获？还有什么疑问？请2-3位学生分享自己的收获。2.师生共同梳理师生一起整理本节课的知识框架：①二次函数的概念，②二次函数的一般形式和注意事项（a≠0），③从实际问题列二次函数解析式的方法，④确定自变量取值范围的依据，帮助学生建立清晰的知识体系，对比一次函数、反比例函数，完善初中函数的知识网络。（六）作业布置1.基础必做题：完成教材课后习题第1、2、3题，巩固二次函数的概念和列解析式的方法，全体学生完成。2.实践选做题：自己尝试投一次篮球，记录篮球出手点的高度、篮球落地时距离出手点的水平距离、最高点的高度，尝试写出篮球运动轨迹对应的二次函数解析式，下节课和同学们分享。3.拓展预习作业：思考二次函数的图象是什么形状，试着用描点法画出y=x²的图象，预习下节课二次函数y=ax²的图象和性质。九、板书设计（一）主板书（黑板左侧）1.二次函数概念：一般地，形如y=ax²+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数2.注意条件：a≠0，b、c可为任意常数3.实例：y=-x²+10x；y=6000x²-12000x+6000；y=πx²（二）副板书（黑板右侧）记录学生练习过程、小组探究成果，方便课堂点评和总结。十、教学反思（一）核心素养落实情况本节课按照2026新课标的要求，从实际情境出发抽象数学概念，全程渗透模型观念和抽象能力的培养，学生经历了完整的概念形成过程，核心素养得到了落实，但是对于基础较弱的学生，在提问的时候需要给更多的思考时间，关注全体学生的参与度。（二）环节设计的优缺点本节课环节清晰，从导入到新授、探究、练习、小结循序渐进