《锐角三角函数》导学案

1、实用标准文案第七章锐角三角函数（ 1）正切函数学习目标1、认识锐角的正切的概念。2、会求一个锐角的正切值。3、经历操作观察思考求解等过程，感受数形结合的数学思想方法。学习重点：锐角的正切的概念学习难点：锐角的正切的概念，感受数形结合的数学思想方法知识要点在 Rt ABC中， C=90°， A的对边与邻边的比值是 A 的正切，记作一、情境创设问题 1.我们从家到学校，免不了要爬坡，有些坡好爬，有些坡爬起来很累，这是为什么？观察斜坡的倾斜程度，你有什么发现？如何刻画斜坡的倾斜程度？如上图，这两个直角三角形中， C= C =90°，且有一条直角边相等，但斜边不相等，哪个坡更陡？本

2、节课我们研究两直角边的比值与锐角的关系，因此同学们首先应思考：当锐角固定时，两直角边的比值是否也固定？给出正切概念：如图，在Rt ABC中，把 A 的对边与邻边的比叫做A 的正切，记作： tan A .二、典型例题例 1根据下列图中所给条件分别求出下列图中A、 B 的正切值。BAC1133A2CC1BB5A通过上述计算，你有什么发现？互余两角的正切值例 2如图，在 Rt ABC中， ACB=90°， CD是 AB 边上的高， AC=3,AB=5，求 ACD 、 BCD的正切值。文档实用标准文案结论：等角的正切值例 3 如图（ 1）， A=30°， C=90°，根据

3、三角函数定义求出30°、 45°、 60°的正切值BAC（1）（2）（3）例 4 如图， A=15°， C=90°，求出 15°正切值BAC随堂演练1. （ 1）在直角三角形中， =90°， =9,a=12, 则tan A =， tanB=。ABCCb（ 2）如图， ABC的三个顶点分别在正方形网格的格点上，则tan A 的（ 3）在 Rt ABC中 , C=90° ,AC=12,tanA=2 ，则 BC长为。2. 如图， A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将ACB绕着点 A 逆时针旋转得到 ACB，则 ta

4、nB 的值为（） A 1B 1C 1D22344BCCAB3 Rt ABC中， C=90°，若3AC3BC ，则 tanA=。4在 Rt ABC中, C90 ，若将各边长度都扩大为原来的2 倍，则 A 的正切值（）A扩大 2 倍B缩小 2 倍C扩大 4 倍D不变5. 在 Rt ABC中 A=75°， C=90°，求出 75°正切值9等腰三角形ABC的底边为 10cm，周长为36cm，求 tanC.A全品中考网BC文档实用标准文案§ 7.2 正弦、余弦 (1)学习目标： 1、认识锐角的正弦、余弦的概念。2、会求一个锐角的正弦、余弦值。3、经历操作

5、观察思考求解等过程，感受数形结合的数学思想方法。教学重点：锐角的正弦、余弦的概念教学难点：锐角的正弦、余弦的概念，感受数形结合的数学思想方法知识要点：1、正弦的定义如图，在Rt ABC中， C 90°，我们把锐角A 的对边 a 与斜边 c 的比叫做 A 的 _，记作 _，即： sinA _=_.2、余弦的定义如图，在Rt ABC中， C 90° , 我们把锐角A 的邻边 b 与斜边 c 的比叫做 A 的_ ，记作 =_，即： cosA=_=_。（你能写出 B 的正弦、余弦的表达式吗？）试试看_.教学过程一、情景创设1、问题 1：如图，小明沿着某斜坡向上行走了13m后，他的相

6、对位置升高了5m，如果他沿着该斜坡行走了20m，那么他的相对位置升高了多少？行走了a m 呢？2、问题 2：在上述问题中，他在水平方向又分别前进了多远？20m13m3、在 ABC中 , C=90°.锐角 A 的对边 a 与斜边 c 的比叫做 A 的正弦 ,B记作 sinA.AC锐角 A 的邻边 a 与斜边 c 的比叫做A的余弦 ,记作 cosA.二、典型例题例 1.根据图中数据 , 分别求出 A,B 的正弦 ,余弦.文档实用标准文案练习：在 ABC中， A、 B、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ，且 a5 ， b 12 ， c16 ，下面四个式中错误的有 ()5353sin

7、A； cos A； tan A； sin B164124A1 个B2 个C3 个D4 个例 2、 如图，在 Rt ABC中， C=90°， A、 B、 C的对边分别是 a 、 b 、 c ， a ： b =2：3，求 sinA 与 sinB 的值。例 3、如图，在 Rt ABC中 ， ACB=90°， BC=6， CD AB于 D，AC=8。试求： sinA 的值； cos ACD的值； CD的长。练习：1、 如图，在Rt ABC中， C 90°， AC 12，BC 5，则 sinA _，cosA _， sinB _， cosB _。2、 在 Rt ABC中， C

8、 90°， AC 1，BC3 ，则 sinA _，cosB=_,cosA=_,sinB=_.3、如图，在Rt ABC中， C 90°， BC 9a， AC12a， AB15a，则 tanB=_,cosB=_,sinB=_4、比较： sin30 °与 sin60 °的大小 ; cos30 °与 cos60 °的大小 ?随堂演练：1、在 Rt ABC中， C=90°， AC=2， BC=1，则 sinA=。2如图， P 是的边 OA上一点，且 P 点坐标为（ 3,4 ），则 sin =，cos .(第2题)3如图 ABC中， C

9、=90°， sinA=3 ，则 BC： AC=()5A3： 4B4： 3C3： 5D4： 54在 Rt ABC中， C=90°， AC=4， BC=3，则 cosB=()A 4B 3C 4D 3(第 3题)5534文档实用标准文案§7.2正弦、余弦 (2)学习目标：1、认识锐角的正弦、余弦的概念。2、会求一个锐角的正弦、余弦值。3、经历操作观察思考求解等过程，感受数形结合的数学思想方法。教学重点：利用正弦余弦的有关概念解决问题。教学难点：利用正弦余弦的有关概念解决问题。一复习导入二三如图 , 在 Rt ABC中 , C=90o , AC=12, BC=5.求 :

10、sinA、 cosA 、sinB 、 cosB 的值 .你发现 sinA 与 cosB 、 cosA 与 sinB 的值有什么关系吗?结论：二、典型例题1. 比较大小 sin40 cos40 sin80 cos30sin45 cos452已知为锐角:（ 1） sin =1，则 cos =_,tan =_,2（ 2） cos = 1，则 sin =_,tan =_,2（ 3） tan = 1，则 sin =_,cos =_,2三典型例题例 1、如图， BCAD于 C，DF AB于 F， SAFD:S EFB=9， BAE=，求 sin+cos的值；分析由已知易证Rt AFD Rt EFB，再根据

11、 S AFD：S EFB=9，可得 AF：EF=3，AF=3EF；由勾股定理可求出 AE= 10 EF，从而容易求得sin，cos的值。文档实用标准文案例 2、如图，在梯形 ABCD中，AD/BC，AC AB，AD=CD cos DCA4 ，BC=10，则 AB的值是（）A95B8C6D3例 3、如图，在菱形ABCD中， AE BC于点 E， EC=1， cosB= 5 ，求这个菱形面积。13随堂演练1 ABC中， C=90°，若 tanA1。，则 sinA=22 ABC中， C=90°， AC= 5 AB，则 sinA=， tanB=。133. 在 Rt ABC中, C=

12、90o , 且锐角 A 满足 sinA=cosA,则 A 的度数是()A.30 oB.45oC.60oD.90o4. 在 Rt ABC中, C=90o ,sinA=1 , 则 BC:AC:AB 等于()2A. 1:2:5B.1:3 : 5C.1: 3:2D.1: 2:35.如图 , 在 Rt ABC中 ,CD 是斜边 AB上的高 , 则下列线段的比中不等于sinA的是( )CDDBDBA.B.ACCBC. CBD.CDACABCB6如图，自动扶梯AB段的长度为20 米，倾斜角 A 为，高度 BC为米 ( 结果用含的三角函数表示 ) 。(第6题)7 ABC中， C=90°， BC=2，

13、 AB=3，则下列结论正确的是( )。A sin A5B cos A22D tan A533C sin A337.3 4特殊角的三角函数及由三角函数值求锐角学习目标文档实用标准文案1. 熟记 30°、 45°、 60°特殊角的三角函数值，并利用其进行求值计算。2. 会根据特殊角的正弦、余弦、正切值求该锐角的大小。3. 经历操作观察思考求解等过程，感受数形结合的数学思想方法。学习重点利用三角函数有关概念解决问题教学过程一、复习、归纳1分别说出30°、 45°、 60°角的三角函数值。2. 完成下列表格三角函数值三角函数sin cos t

14、an 二、典例分析30°45°60°例 1求下列各式的值。（ 1） 2sin30 ° -cos45 ° （ 2） sin60 °· cos60 °（ 3） sin 230° +cos 230°练习：计算 .（1） cos45 ° sin30 °（ 2）sin 260° cos 260°cos2 450(3)tan45° sin30 °· cos60 °(4)tan2 300例 2. 求满足下列条件的锐角。3 =1 (

15、3)2sin 2 =0 (4)3 tan 1=0(1) cos =(2)2sin2练习： 1.若 sin =2, 则锐角 =_. 若2 cos =1, 则锐角 =_.22. 若 A 是锐角，且 3tanA=3 , 则 cosA=_.3. 已知为锐角, 当2无意义时 , 求 tan( +15° )-tan( -15 ° ) 的值 .1 tan三、小结随堂演练：1 sin30 o 的值等于.的补角是 120° , 则 =_,sin =_ _.2下列计算错误的是( )A sin 60sin30sin30B sin2 45cos2 451文档实用标准文案sin 60cos

16、30C tan 60D cos30cos 60sin 303. 求满足下列条件的锐角 :(1)cos -3 =0(2)-3 tan +3 =02(3) 2 cos -2=0(4)tan（ +10°） =34计算122(1)sin2 60 tan45(2)(31)2sin 60 3tan 303315已知 tan 2（ 1+3 ） tan +3 =0，求锐角的度数6 已知：如图，在Rt ABC 中，C 90 ，AC3 点 D 为 BC 边上一点，且BD 2AD ，ADC 60求 ABC 周长（结果保留根号）ABDC7已知锐角ABC中， A， B， C 的对边分别是a， b， c（ 1）

17、试说明： S ABC=1absinC ；2（ 2）若 a=30cm， b=36cm， C=30°，求 ABC的面积7.5 解直角三角形文档实用标准文案学习目标： 1. 理解直角三角形中 5 个元素的关系，会运用“勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、锐角三角函数”解直角三角形。2. 通过综合运用“勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、锐角三角函数” 解直角三角形提高分析问题、解决问题的能力。3. 培养学生对图形的转化能力。重点： 边角关系的灵活应用难点： 如何通过添加辅助线构造直角三角形，把问题转化为直角三角形中的问题来解决问题。知识点：1解直角三角形的定义：任何一个三角形都有六个元素，

18、三条边、三个角，在直角三角形中，已知有一个角是直角， 我们把利用已知的元素求出未知元素的过程， 叫做解直角三角形。2解直角三角形的所需的工具。(1) 两锐角互余 A B 90°222(2) 三边满足勾股定理 a bcabab(3) 边与角关系 sinA cosBc， cosA sinB c，tanA b， tanB a。3一个直角三角形当已知或已知，这个直角三角形就是可解的直角三角形4解直角三角形的四种类型和解法如下表：类型已知条件解法两直角边 a, bc=a 2b 2 ， tanA= a ， B=90° -A两边b一直角边 a，斜边 ca 2 ， sinA= a ， B=

19、90° -Ab=c 2c一直角边 a，锐角 AB=90°-A ， b=atanB ， c=a一边一锐角sin A斜边 c，锐角 AB=90°-A ， a=c· sinA ， b=c· cosA5解直角三角形时需要注意的几个问题：（ 1）尽量使用原始数据，少用有误差的近似值，使计算更加准确。（ 2）非直角三角形问题，通过添加恰当的辅助线转化为解直角三角形问题。（ 3）恰当使用方程可使一些较复杂的解直角三角形问题化繁为简、化难为易。（ 4）在选用三角函数时，尽可能做乘法，避免除法，以使运算简便。典型例题：例 1 在 Rt ABC中， C=90

20、76;， A、 B、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ，由下列条件解直角三角形。 已知a10，° 已知 a4 6 ， b 12 2B=60（ 3）已知 ab 33， A=60°文档实用标准文案配套练习：根据下列条件解直角三角形(1) 在 Rt ABC中， C 90o， c 10， A 30o.(2）在 RtABC中， C 90o， a 50， c 50 2 .例 2. 如图，已知在 ABC中， B=60°， AD=14，CD=12， S ADC=303 ，求 BD的长。ABDC随堂演练：1在 Rt ABC中， C=90°， A=30°，

21、AB=18，则 AC=， BC=。2在 Rt ABC中， C=90°， a62 ， c12 ，则 A=， b=。3在 Rt ABC中， C=90°， c6， b4，则 tanB=，面积 S=。4在 Rt ABC中， C=90°， AC： BC=1:3 ， AB=6， B=， AC=BC=。5在下列直角三角形中不能求解的是（）A已知一直角边一锐角B已知一斜边一锐角C已知两边D已知两角6.中， 90O,cos3 ，则 sin ，若c10, 则aABCABA5B7. 解直角三角形在 Rt ABC中（1） a3，b 3（2） b5， c 5 2（3） a6， A 300（

22、4） B300，C 5 38. 为测量松树 AB的高度， 一个人站在距松树15 米的 E 处，测得仰角 ACD=52o , 已知人的高度是1.72 米，求树高（精确到 0.01 米）（ tan52 o =1.2799 ）ACo52DE图6-22B9某块绿地的形状如图所示，其中BAD=60°， AB BC， AD CD， AB=200 m， CD=100m，求 AD、BC的长。( 参考数据： 2 1.414,3 1.732, 精确到 1m)文档实用标准文案§7.6 锐角三角函数的简单应用（1）学习目标：1. 经历探索实际问题的求解过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用

23、。2. 能把实际问题转化为数学问题，能进行有关三角函数的计算并能对结果的实际意义进行说明。3. 正确理解“旋转角、仰角、俯角、视线、方位角”从而正确理解实际问题，解决实际问题。重点：灵活应用“锐角三角函数、勾股定理”解直角三角形难点：发现、构造可解的直角三角形和需解的直角三角形重要概念：B北偏北东30度1OA南东2旋转角： AOB1 是俯角， 2 仰角偏西60方向角 1：北偏东30 度。度 2：南偏西 60 度解题要领：把实际问题抽象为几何问题，画出几何图形，明确已知量和未知量，通过添加适当辅助线，构造直角三角形，解决实际问题。A问题引入：30长为 90 CM 的单摆 AB 旋转 30

24、6;后，最低点B升高了多少？典型例题B例 1.国庆长假，小明和同学一起到游乐场游玩，游乐场大型摩天轮的半径为20 米，旋转一周需要 12分钟。小明乘坐最底部的车厢（离地面约0.5 米）开始一周的观光。（ 1） 2 分钟后，小明离地面的高度是多少（精确到0.1米）？（ 2）摩天轮启动多长时间后，小明和地面的高度将首次达到9m ? ( 提示 cos55° =0.575)(3)小明将有多长时间连续保持在离地面9 m 以上的高度？OBC例 2升国旗时，某同学站在离旗杆底部A处行注目礼，当国旗升至旗杆端时，该同学视线的仰角恰为20m40°，若双眼离地面 1.5m，则旗杆高度为多少m?

25、（ sin40 ° =0.64, tan40° =0.84 ）文档实用标准文案例 3某商场为缓解我市“停车难”问题，拟建造地下停车库，图 6 是该地下停车库坡道入口的设计示意图，其中， ABBD， BAD 18o，C 在 BD上， BC 0.5m根据规定，地下停车库坡道入口上方要张贴限高标志，以便告知驾驶员所驾车辆能否安全驶入小明认为CD 的长就是所限制的高度，而小亮认为应该以 CE的长作为限制的高度 小明和小亮谁说的对？请你判断并计算出正确的结果 （结果精确到 0.1m ） 参考数据： sin18 ° =0.31, cos18 ° =0.95 ， ta

26、n18 ° =0.32（图 6）随堂演练：1小明站在A 处放风筝， 风筝飞到C处时的线长为20 米，这时测得 CBD=60°，若牵引底端B 离地面 1.5 米，求此时风筝离地面高度。( 计算结果精确到0.1 米，31.732 )2汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去A、 B 两个村庄抢险，飞机在距地面450 米上空的 P 点，测得 A村的俯角为30，B村的俯角为60（如图）求 、两个村庄间的距离A B（结果精确到米，参考数据21.414， 31.732 ）3水平地面上的甲、乙两楼的距离为 30 米，从甲楼顶部测得乙楼顶部的仰角为 30°，测行乙楼底部的俯角为 45&

27、#176;求甲、乙两楼的高度文档实用标准文案§7.6 锐角三角函数的简单应用（2）学习目标：1. 经历探索实际问题的求解过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用。2. 能把实际问题转化为数学问题，能进行有关三角函数的计算并能对结果的实际意义进行说明。3. 正确理解“旋转角、仰角、俯角、视线、方位角”从而正确理解实际问题，解决实际问题。重点：借助列方程灵活应用锐角三角函数解直角三角形难点：几个可解的直角三角形和需解的直角三角形之间的联系解题要领：把实际问题抽象为几何问题，画出几何图形，通过添加适当辅助线构造直角三角形，注意抓住几个直角三角形之间的公共边角，灵活应用锐角三角函数借助

28、列方程解直角三角形。问题引入：我校九年级某班在测量校内旗杆高度的数学活动中，同学们设计了两种测量方案，并根据测量结果填写了如下数学活动报告中的一部分请你把下表中计算过程和结果填写完整课题测量校内旗杆高度目的运用所学数学知识及数学方法解决实际问题测量旗杆高度方案方案一方案二DD示意图ACACBBMNG测量工具M皮尺、测角仪N皮尺、测角仪测量数据：AM1.5m ， AB10mAMh ， ABm30 ，60DAB， DBA解：解：计算过程（结果保留根号）测量结果DNDN典型例题例 1小明为了测量停留在空中的气球的高度，他先在地面上找一点，站在这点测得气球的仰角为27°，然后向气球方向走了5

29、0 米，测得气球的仰角为40°。这时他就能算出气球的高度了。他是如何求得气球的高度呢？（小明的身高是16 米）（ tan27 ° =0.51,tan40 ° =0.84, 结果精确到 01 米）CE270F400GABD文档实用标准文案例 2 如上图所示，已知：在ABC中， A=60°， B=45°， AB=8.求： ABC的面积 ( 结果可保留根号).例 3如图，小唐同学正在操场上放风筝，风筝从A 处起飞，几分钟后便飞达C处，此时，在AQ延长线上B 处的小宋同学，发现自己的位置与风筝和旗杆PQ的顶点 P 在同一直线上 .（ 1）已知旗杆高为

30、10 米，若在 B 处测得旗杆顶点 P 的仰角为 30°，A处测得点 P 的仰角为 45°，试求 A、 B 之间的距离；（ 2）此时，在 A 处背向旗杆又测得风筝的仰角为 75°，若绳子在空中视为一条线段， 求绳子 AC约为多少？（结果可保留根号）随堂演练：图1 如图，塔AB和楼 CD的水平距离为80 米，从楼顶C 处及楼底 D处测得塔顶A 的仰角分别为 45°和 60°，试求塔高和楼高。2. 如图，飞机沿水平方向（ A、 B两点所在直线）飞行，前方有一座高山，为了避免飞机飞行过低，就必须测量山顶 M到飞行路线AB的距离 MN.飞机能够测量的数

31、据有俯角和飞行的距离（因安全因素， 飞机不能飞到山顶的正上方N处才测飞行距离） ，请设计一个距离的方案，要求：MN(1) 指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出) ；(2) 用测出的数据写出求距离 MN的步骤 .ABNM文档(2题图)实用标准文案§7.6 锐角三角函数的简单应用（3）学习目标： 1. 正确理解“坡度、坡角、倾斜角”等在实际问题中的意义。2.能综合运用解直角三角形的知识解决实际问题，进一步培养 “把实际问题转化为数学问题”的能力重点：用三角函数有关知识解决工程中的相关实际问题难点：根据解决问题的需要，正确添加辅助线，从而利用解直角三角形的方法解决实际问题知识点：

32、坡度的概念，坡度与坡角的关系。如下图，这是一张水库拦水坝的横断面的设计图，坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度( 或坡比 ) ，AC记作 i ，即 i BC，坡度通常用 l ： m的形式，例如下图中的1：2 的形式。坡面与水平面的夹角叫做坡角。从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是i tanB ，显然，坡度越大， 坡角越大， 坡面就陡。（一）与（二）比较：（一）中坡度小，坡角A 小，坡面平缓；（二）中坡度大，坡角 A大，坡面陡尝试练习：如图 3，一个小球由地面沿着坡度 i1: 2的坡面向上前进。若小球升高了 10m，此时小球沿坡面向上前进米；若小球沿坡面向上前进10m，此时小球升高米。(图 3)典例剖析：例 1 某数学活动小组组织一次登山话动。他们从山脚下A 点出发沿斜坡AB 到达 B 点再从 B 点沿斜坡BC到达山巅 C 点，路线如图所示斜坡AB