《直角三角形的性质与判定》教案北师大版

1、1 2直角三角形第 1 课时直角三角形的性质与判定1复习直角三角形的相关知识，归纳并掌握直角三角形的性质和判定；2学习并掌握勾股定理及其逆定理，能够运用其解决问题 (重点，难点 )一、情境导入古埃及人曾经用下面的方法画直角： 将一根长绳打上等距离的 13 个结，然后按如图所示的方法用桩钉钉成一个三角形， 他们认为其中一个角便是直角 你知道这是什么道理吗？二、合作探究探究点一：直角三角形的性质与判定【类型一】 判定三角形是否为直角三角形具备下列条件的ABC 中，不是直角三角形的是()A A B CB A B CC A B C 1 2 3D A B 3 C解析： 由直角三角形内角和为 180

2、76;求得三角形的每一个角的度数，再判断其形状A 中 A B C，即 2 C 180°， C 90 °，为直角三角形，同理，B ， C中均为直角三角形，D 选项中 A B3 C，即 7 C 180°，三个角没有90°角，故不是直角三角形故选D.方法总结： 在判定一个三角形是否为直角三角形时要注意直角三角形中有一个内角为 90° .【类型二】直角三角形的性质的应用如图， ABC 中， AD BC 于D ，CE AB 于 E.(1) 猜测 1 与 2 的关系，并说明理由(2) 如果 A 是钝角， 如图， (1) 中的结论是否还成立？解析： (1)

3、根据垂直的定义可得 ABD 和 BCE 都是直角三角形， 再根据直角三角形两锐角互余可得 1 B 90°， 2 B 90°，从而得解； (2) 根据垂直的定义可得 D E 90°，然后求出 1 4 90°， 2 3 90°，再根据 3、 4 是对顶角解答即可解： (1)1 2.AD BC，CE AB， ABD 和 BCE 都是直角三角形，1 B 90°， 2 B 90°，1 2；(2) 结论仍然成立理由如下： BD AC，CE AB， D E 90°， 1 4 90°， 2 3 90°，3 4(

4、对顶角相等 )， 1 2.方法总结： 本题考查了直角三角形的性质，主要利用了直角三角形两锐角互余， 同角或等角的余角相等的性质， 熟记性质是解第1页共4页题的关键探究点二：勾股定理【类型一】直接运用勾股定理已知：如图，在 ABC 中，ACB 90°， AB 13cm， BC 5cm ， CD AB于 D.求：(1)AC 的长；(2)S ABC ；(3)CD 的长解析： (1) 由于在 ABC 中， ACB 90°， AB 13cm ， BC 5cm ，根据勾股定理即可求出AC 的长； (2) 直接利用三角形的面积公式即可求出S ABC；(3) 根据 CD ·ABB

5、C ·AC 即可求出CD.解： (1)在 ABC 中， ACB 90°，AB 13cm，BC 5cm，AC AB2 BC212cm；12(2)S ABC CB· AC 30cm ；2(3) S ABC112AC· BC CD · AB ，2AC· BC60CD AB13cm.方法总结： 解答此类问题，一般是先利用勾股定理求出第三边， 利用两种方法表示出同一个直角三角形的面积， 然后根据面积相等得出一个方程，再解这个方程即可【类型二】 分类讨论思想在勾股定理中的应用在 ABC 中， AB 15，AC 13，BC 边上的高AD 12，试求

6、 ABC 周长解析：本题应分两种情况进行讨论：(1)当 ABC 为锐角三角形时，在Rt ABD 和Rt ACD 中，运用勾股定理可将 BD 和 CD 的长求出，两者相加即为 BC 的长，从而可将 ABC 的周长求出；(2)当 ABC 为钝角三角形时，在Rt ABD 和 Rt ACD 中，运用勾股定理可将 BD 和 CD 的长求出，两者相减即为 BC 的长，从而可将 ABC 的周长求出解： 此题应分两种情况进行讨论：(1) 当 ABC 为锐角三角形时，在Rt ABD 中，BDAB2 AD 2152 122 9，在 Rt ACD中，CDAC2AD2 132122 5， BC BD CD 5914，

7、 ABC 的周长为15 13 1442；(2) 当 ABC 为钝角三角形时，在Rt ABD 中， BDAB2 AD 2152 122 9.在 Rt ACD中，CDAC2AD2 132 122 5， BC 9 5 4， ABC的周长为 15 13 4 32.当 ABC 为锐角三角形时，ABC的周长为42；当 ABC 为钝角三角形时， ABC 的周长为 32.方法总结： 在题目未给出具体图形时，应考虑三角形是锐角三角形还是钝角三角形，凡符合题设的情况都要考虑，体现了分类讨论思想， 这是解无图几何问题的常用方法探究点三：勾股定理的逆定理【类型一】 判断三角形的形状如图，正方形网格中有ABC ，若小方

8、格边长为1 ，则 ABC 的形状为()A 直角三角形B锐角三角形C钝角三角形D以上答案都不对解析： 正方形小方格边长为1， BC 4262 2 13，AC 22 32 13，AB 1282 65.在 ABC 中， BC2AC2 52 13 65， AB2 65， BC 2 AC2第2页共4页AC2 AB2 BC2 82 62AB2， ABC 是直角三角形故选 A.方法总结： 要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较， 如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是【类型二】 利用勾股定理的逆定理证明垂直关系如图，在正方形ABCD 中，

9、 AE1EB ，AF4AD，求证： CE EF.证明： 连接 CF，设正方形的边长为4.四边形ABCD 为正方形， AB BCCD DA 4.点 E 为 AB 中点， AF 14AD ，AE BE 2， AF 1， DF 3.由勾股定理得 EF 2 12 225， EC2 22 42 20， FC242 32 25. EF2 EC2 FC2， CFE 是直角三角形，FEC 90°，即 EF CE.方法总结： 利用勾股定理的逆定理可以判断一个三角形是否为直角三角形， 所以此定理也是判定垂直关系的一个主要方法【类型三】 运用勾股定理的逆定理解决面积问题如图，在四边形ABCD 中， B 9

10、0°，AB 8，BC 6，CD 24，AD 26，求四边形 ABCD 的面积解析： 连接 AC，根据已知条件运用勾股定理的逆定理可证 ACD 为直角三角形，然后代入三角形面积公式将ABC 和 ACD 这两个直角三角形的面积求出， 两者面积相加即为四边形 ABCD 的面积解：连接 AC， B 90°， ABC为直角三角形 102，AC10.在 ACD 中， AC2 CD2 100 576 676， AD2 262 676， AC2 CD 2 AD 2， ACD 为直角三角形，且 ACD 90°， S 四边形 ABCD SABC SACD 12× 6

11、5; 8 12× 10× 24 144.方法总结： 此题将求四边形面积的问题转化为求两个直角三角形面积和的问题， 既考查了对勾股定理逆定理的掌握情况， 又体现了转化思想在解题时的应用探究点四：互逆命题与互逆定理写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题(1) 两直线平行，同旁内角互补；(2) 垂直于同一条直线的两直线平行；(3) 相等的角是内错角；(4) 有一个角是 60°的三角形是等边三角形解析：分别找出各命题的题设和结论将其互换即可解： (1)同旁内角互补， 两直线平行 真命题；(2) 如果两条直线平行， 那么这两条直线垂直于同一条直线 (在同一平面内 )真命题；(3) 内错角相等假命题；(4) 等边三角形有一个角是60° .真命题方法总结： 一个定理不一定有逆定理，只有当它的逆命题为真命题时， 它才有逆定理三、板书设计1直角三角形的性质与判定直角三角的两个锐角互余； 有两个角互余的三角