专训2-三角形的三种重要线段的应用.

1、专训 2 三角形的三种重要线段的应用名师点金： 三角形的高、中线和角平分线是三角形中三种重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起到了很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度认识这三种线段三角形的高的应用类型 1：找三角形的高1如图， 已知 AB BD 于点 B ，AC CD 于点 C，AC 与 BD 交于点 E，则 ADE 的边 DE 上的高为 _，边 AE 上的高为 _(第1题)类型 2：作三角形的高2 (动手操作题】画出图中ABC 的三条高 (要标明字母，不写画法)(第 2题)类型 3：求与高相关线段的问题3如图，在ABC 中， BC 4， AC

2、5，若 BC 边上的高AD 4.求：(1) ABC 的面积及 AC 边上的高 BE 的长；(2)AD BE 的值(第 3题)类型 4：证与高相关线段和的问题4 如图，在 ABC 中， AB AC ， DEAB ， DF AC ， BG AC ，垂足分别为点E， F，G.求证： DE DF BG.(第 4题)类型 5：求与高有关的面积15【 2016 ·淄博】如图， ABC 的面积为16，点 D 是 BC 边上一点，且BD 4BC ，点 G 是 AB 边上一点，点H 在 ABC 内部，且四边形 BDHG 是平行四边形则图中阴影部分的面积是()21 教育网A 3 B4 C5 D6(第 5

3、题)(第6题)(第 7题)三角形的中线的应用类型 1：求与中线相关线段的问题6 如图， AE 是 ABC 的中线，已知EC4， DE 2，则 BD 的长为 ()A 2 B3 C4 D67如图，已知 BE CE， ED 为 EBC 的中线， BD 8， AEC 的周长为24，则 ABC 的周长为 ()【版权所有： 21 教育】A 40B 46C 50D568在等腰三角形ABC 中， AB AC ，一腰上的中线 BD 将这个三角形的周长分成15 cm 和 6 cm 两部分，求这个等腰三角形的三边长21*cnjy*com类型 2：求与中线相关的面积问题9操作与探索：在图中，ABC 的面积为a.(第9

4、题)(1)如图，延长ABC 的边 BC 到点 D，使 CD BC，连接 DA ，若 ACD 的面积为S1，则 S1 _(用含 a 的式子表示 )； 2· 1· c· n· j · y(2)如图，延长ABC 的边 BC 到点 D，延长边CA 到点 E，使 CD BC ，AE CA ，连接 DE，若 DEC 的面积为 S2，则 S2 _(用含 a 的式子表示 )，请说明理由；(3)如图，在图的基础上延长 AB 到点 F，使 BF AB ，连接 FD ， FE，得到 DEF ，若阴影部分的面积为S3，则 S3 _(用含 a 的式子表示 )三角形的角平

5、分线的应用类型 1：三角形角平分线定义的直接应用10(1)如图，在 ABC 中， D，E，F 是边 BC 上的三点，且1 2 3 4，以 AE 为角平分线的三角形有 _ ；【(2)如图，已知AE 平分 BAC ，且 1 2 4 15°，计算 3 的度数，并说明AE 是 DAF 的角平分线 2(第 10 题)类型 2：三角形的角平分线与高相结合求角的度数11如图，在ABC 中， AD 是高， AE 是 BAC 的平分线，B 20°， C 60°，求 DAE 的度数(第 11 题)类型 3：求三角形两内角平分线的夹角度数12如图，在ABC 中， BE， CD 分别为其

6、角平分线且交于点O.(1)当 A 60°时，求 BOC 的度数；(2)当 A 100 °时，求 BOC 的度数；(3)当 A 时，求 BOC 的度数(第 12 题)答案1AB ；DC2 解： 如图(第 2题)3 解： (1)S ABC 1BC·AD 1× 4× 4 8.22因为 SABC1AC·BE1× 5× BE 8，2216所以 BE5.16 5(2)AD BE 4 5 4.4 证明 ：连接 AD ，因为 S ABC S ABD S ADC ，所以111AC·BGAB·DE AC·

7、DF.222又因为 AB AC ，所以 DE DF BG.点拨： “等面积法”是数学中很重要的方法，而在涉及垂直的线段的关系时，常将线段的关系转化为面积的关系来解决5 B点拨： 设 ABC 的边 BC 上的高为 h， AGH 的边 GH 上的高为 h1， CGH 的边 GH 上的高为 h2，则有 h h h ABC1BC·h16，S阴影 SCGH1 1 1 h2)1GH·h.12.S2S AGHGH·h1GH·h22GH·(h1222四边形 BDHG 是平行四边形，且BD 114BC ， GH BD 4BC.S阴影 1 ×11 4.4

8、2BC·h 4SABC故选 B.6 A7 A点拨： 因为 AEC 的周长为24，所以 AE CE AC 24.又因为 BE CE，所以 AE BE AC AB AC 24.又因为 ED 为 EBC 的中线，所以 BC 2BD 2× 8 16.所以 ABC 的周长为AB AC BC 2416 40.故选 A.8 解： 设 AD CD x cm，则 AB 2x cm，BC (21 4x) cm.依题意，有AB AD 15 cm 或 AB AD 6 cm，则有 2x x15 或 2x x 6，解得 x 5 或 x 2.当 x5 时，三边长为 10 cm，10 cm，1 cm；当

9、x2 时，三边长为 4 cm， 4 cm， 13 cm，而 4 413，故不成立所以这个等腰三角形的三边长为10 cm， 10 cm，1 cm.9 解： (1)a(2)2a理由：连接 AD ，由题意可知 S ABC S ACD S AED a，所以 S DEC 2a，即 S22a.(3)6a10 解： (1) ABC 和 ADF(2)因为 AE 平分 BAC ，所以 BAE CAE.又因为 1 2 15°，所以 BAE 1 215° 15° 30°.所以 CAE BAE 30°，即 CAE 4 3 30°.又因为 4 15°

10、，所以 3 15°.所以 2 3.所以 AE 是 DAF 的角平分线11 解：在 ABC 中， B 20°， C 60°，所以 BAC 180° B C 180° 20° 60° 100°.又因为 AE 是 BAC 的平分线，所以 BAE 1 BAC 1× 100° 50°.22在 ABD 中， B BAD BDA 180°.又因为 AD 是高，所以 BDA 90°，所以 BAD 180° B BDA 180° 20°90°

11、70°.所以 DAE BAD BAE 70° 50° 20°.点拨： 灵活运用三角形内角和为180°，结合三角形的高及角平分线是求有关角的度数的常用方法12 解： (1) 因为 A 60°，所以 ABC ACB 120°.因为 BE ，CD 为 ABC 的角平分线，所以 EBC 12ABC ， DCB 12 ACB.111°，所以 EBC DCB ABC ACB ( ABC ACB) 60222所以 BOC 180° ( EBC DCB) 180°60° 120°.(2)因为 A 100 °，所以 ABC ACB 80°.因为 BE ，CD 为 ABC 的角平分线，所以 EBC 1ABC ， DCB 1 ACB.22111 ACB) 40°，所以 BOC 180 ° ( EBC DCB)所以 EBC DCB ABC ACB ( ABC222 180° 40° 140°.21(3)因为 A ，所以 ABC ACB 180° .因为 BE ，CD 为 ABC 的角平分线，所以 EBC