全国初中数学竞赛试题及答案

1、2005年全国初中数学联赛决赛试卷、选择题：(每题7分，共42分)1、化简：一. 1+ 1的结果是一。4 + 59+300 223 66 4042A、无理数 B、真分数C、奇数D、偶数 2、圆内接四条边长顺次为5、10、11、14;则这个四边形的面积为3、设r", a=:-击，2/福，A、78.5 B、97.5 C、90 D、102 c= J L ,则下列各式一定成立的是r(、. r+、，r+1)A、 a>b>c B、 b>c>a C、 c>a>b D、 c>b>a4、图中的三块阴影部分由两个半径为1的圆及其外公切线分割而成，如果中间一

2、块阴影的面积等于上下两块面积之和，则这两圆的公共弦 长是 OA、事 B、售 C、1J25一冗2D、*6冗222225、已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象如图所示，y n记 p |a b + c|+ |2a+ b|, q = |a+ b + c|+ |2a b|,则。A、p>qB、p = qC、p<q D、p、q大小关系不能确定二-x6、若 X1, X2, X3, X4, X5为互不相等的正奇数，满足(2005X1)(2005X2)(2005X3)(2005X4)(2005 X5)= 242,则 x2+x2+x2+x2+x5 的未位数字是A、1 B、3 C、5 D、7二、填

3、空题(共28分)1、不超过100的自然数中，将凡是3或5的倍数的数相加，其和为。2、J7x2+9x+13+ ,7x25x+13=7x ,则x=。3、若实数 X、y 满足 3X 3 + 3y 3=1, 3X3 + 3y 3 =1，贝U X + V =03 +43 +65 +45 +64、已知锐角三角形 ABC的三个内角 A、B、C满足：A>B>C,用a表示AB, BC以及90° A中的最小者，则a的最大值为。三、解答题（第1题20分，第2、3题各25分）1、a、b、c 为实数，ac<0,且 J2a+J3b+J5c=0 ,证明：一元二次方程 ax2+bx + c=0 有

4、大于4而小于1的根。2、锐角A ABC中，AB>AC, CD、BE分别是AB、AC边上的高，过 D作BC的垂线 交BE于F,交CA的延长线于P,过E作BC的垂线，交CD于G,交BA的延长线于 Q,证明：BC、DE、FG、PQ四条直线相交于一点。3、a、b、c为正整数，且a2+b3 = c4,求c的最小值。2005年全国联赛决赛试卷详解、选择题：（每题7分，共42分）1、化简：1+ 1的结果是。4 + 也9+30&3-V66 40我A无理数B、真分数C、奇数Dk4+759+301 _ +1 _4+V50+2V450 93-/50-2/80O 164+5应 33-572 47 + 5

5、727-5727-5 也 7 + 5立 1449 50所以选D2、圆内接四条边长顺次为5、10、11、14;则这个四边形的面积为78.5 B 97.5 C、90 D、102cos(180解：由题意得：52+ 142 2 X 5 X 14 X cos a = 102 + 112 2 X 10 X 11 X / /5. 221 140cos a = 221+ 220 cos a- cos a = 011- 9 = 90，四边形的面积为：5X7+ 5X 11 = 9010180，选C3、设 r > 4, a= 1 r1r+1c=r晨 r + r+1),则下列各式一定成立的是A、 a>b&

6、gt;c B 、 b>c>a C c>a>b D c>b>a解法1:用特值法，取r=4 ,则有a_111- 15 5 2 5 2 5 2 51.036a . b= 45 20 '25102020c=1 而 2 5 而21.184(2+ 5)42020c>b>a,选 D解法2： a = 11-1r r 1 r r 1c=r(r + . r+1)Q r 4, r r 1, r r 1, r 1 , r、r r 1 . r r 1.r r 1, r 1 , rr r 1, r r 1, r 1又 r r 1, r 1 . r r故bc,综上所述

7、:a bc,选D解法 3: ' r >4r , r 1. r . r 1c=、r 1、r . r 1 、“ r1_ ra<b<c,选 D1的圆及其外公切线分割而成，如果中间一块阴影的面4、图中的三块阴影部分由两个半径为积等于上下两块面积之和，则这两圆的公共弦长是A、堂B堂C 2反解：由图形割补知圆面积等于矩形冗2 H 1J16一冗 22ABCM面积2、12，选122AB, AB1622定 理得 公共 弦为16225、记A已知二次函数 f(x)= ax2+ bx+ c的图象如图所示,p = |a b + c| + |2a + b| , q = |a + b + c| +

8、 |2a b| ,则 p>q B、p = q C、p<q D、p、q大小关系不能确定解：由题意得：a<0, b>0, c=0p= |a b| + |2a + b| , q = |a + b| + |2a b|一 b又一1, b 2a, 2a b 0,从而 a b a 0 2a . p= |a b| + |2a + b| = b-a+2a+b=a+2b=2b+a ,0 1p<q,选 C6、若 Xi, X2, X3, X4, X5 为互不相等的正奇数，满足 (2005 Xi)(2005 X2)(2005 X3)(2005 222222X4)(2005 X5)=24 ,

9、贝U Xi+X2+X3+X4+X5 的未位数子是。A、1 B、3 C 5 D、7解：因为 Xi, X2, X3, X4, X5 为互不相等的正奇数，所以 (2005 XI)、(2005 X2)、(2005 X3)、 (2005 X4)、(2005 X5)为互不相等的偶数而将242分解为5个互不相等的偶数之积，只有唯一的形式：242= 2 (-2) 4 6 (-6)所以(2005 Xi)、(2005 X2)、(2005 X3)、(2005 X4)、(2005 X5)分别等于 2、(-2)、4、6、 (-6)所以(2005 Xi)2+(2005 X2) 2+(2005 X3) 2 + (2005

10、X4) 2+(2005 X5) 2= 22+(-2) 2 + 42 + 62+(-6) 2=96展开得：5 200于-40i0 x1+x2+x3+x4+x5 + X2+X2+X2+X2+X5961234512345222222xi +x2+x3+x4+x5=96-5 2005 +40I0 xi +x2 +x3+x4 +x5i modi0 ,选 A二、填空题(共28分)I、不超过I00的自然数中，将凡是 3或5的倍数的数相加，其和为。解：(3 X I+3X2 + 3X 33) + (5 X I+5X 2+5X 20)-(I5X I + I5X2 + I5X 6) = i683 + I050- 3

11、i5= 24I82、j7x2+9x+I3+，7x25x+I3=7x , WJx=。解：分子有理化得:I4x-7x2+9x+I3J7x2 5x+i3J7x2+9x+i3-j7x25x+i3=2,即，7x2+9x+i3,7x2 5x+i3 2两边平方化简得:7x 2 2 7x25x+i3再平方化简得：2ix2 8x 48=0,解之得x 号或x 4 （舍去） 733、若实数X、y满足1/ "i,贝U x+y = 53+63y= i33+4333+63 , 53 +43解法i：假设 x+ y = a,贝U y = ax333.3333.33、，6x+34a x3634,即6343x3343a

12、332334333634363333.3333.36x+5 4a x5654,即 63 43 x53 43 a53 2 53 43 53 63 43 632 1 得：5333 a53 233253334 3533363a 33 43 53 63=432解法2：易知33、53是关于t的方程x-r y-r 1的两根t 43 t 63一。QQQQ化间彳导:t x y 46 t 6 x 4 y 4 60由韦达定理得：33 53 x y 43 63x y 33 43 53 63 4324、已知锐角三角形 ABC的三个内角 A B、C满足：A> B> C,用a表示A B, B C以及90

13、76; A中的最小者，则a的最大值为。解：Q min A B,B C,90 AA B, B C, 90 AB C 3 90 A270 ABC 9015另一方面，当A BB C 90 A 15 时,有 A 75 , B60,C45满足题设条件，故可取得最大值15三、解答题（第1题20分，第2、3题各25分）ax2+ bx + c=0 有大1、a、b、c为实数，ac0,且J2a+J3b+J5c=0 ,证明：一元二次方程于3而小于1的根。4解：设 f x ax2 bx c则 f3 f 1abc abc41641 ,9a 12b 16c abc16Q . 2a+、3b+ 5c=0, b=6a15c39

14、a 12b 16c a b c9a 4,6a 4., 15c 16c,615a a c c,81.96 a,256,240 cDE与BC的延长线于交于 T,过RtABEC与RtBDC中，由射影定理得:c2、.而、.96 a .256 J通31 3-c3 c 3f 3 f 1 <04元二次方程 ax2+bx+c=0有大于3而小于1的根.42、锐角A ABC中，AB> AC, CD BE分另是AR AC边上的高,D作BC的垂线交BE于F,过E作BC的垂线交 CDT G,证明：F、G T三点共线。证法1:设过 口 E的垂线分别交 BC于M N,在C=CN- CB, BD2=BM- BCC

15、N CE22BM BD又 RtCNG sRHDCB RtABMF RtABECGN BD CN,FM CE BMCDBEGN BD BE CN BD BE CE2 BE CE2FM CD CE BM CD CE BD2 BD CD在RtABEC与RtBDC中，由面积关系得:BE- CE= EN- BC, BD- CD= DM- BC,BE CE EN TN 2BD CD DM TM由(2)得GNFMTNTM，又GN PFM ,F、G、T三点共线.证法2:设CD BE相交于点心，记DR EG AH与BC的交点分别为 M M RDM/ AR/ ENDF AH EGFM HR GN由 合 比 定 理

16、 得H,则H为 ABC的垂DM EN GN EN TNFM GN FM DM TM，故F、G、T三点共线.证法3:在 ABC中，直线DET分另I交 BG CA AB 于 T、E、D,由梅涅劳斯定理得:BT CE AD d 1TC EA DBH,则H为 ABC的垂心，AHL BC设CD BE相交于点DF1 BG EG± BCAH / DF / EG即可DFFMCE CG AD, EA GH DBHFFB由梅涅劳斯定理的逆定理得:BT CG HF d，代入1得1TC GH FBF、G T三点共线.证法4:连结FT交EN于G'为了证明S BDFBMFF、G T三点共线,易知DFFM

17、只需证明DFFMGNEG'G'N EG|BD BF sinABE；BM BF sin CBEBD sin ABEBM sin CBEEGS CEG CE CGsin ACD CE sin ACDGN S CMG 1CN CG sin BCD CN sin BCD CMG 2° BD BC CE BC ,BM BD CN CEDF BCsin ABE EG BCsin ACD 彳 ,1FM BDsin CBE GN CEsin BCD CDL AR BEX CA，B、D E、C 四点共圆，/ABE= /ACD (2)又一BD- BC CE-, BDsin CBE CEsin BCD (3) sin BCD sin CBE将(2) (3)代入(1)得：-DF 型，故f、G T三点共线. FM GN3、设a、b、c为正整数，且 a2+b3=c4,求c的最小值。解：显然c>1.由题设得：(c2-a)(c 2+a)=b3若取b b 1由大到小考察b,使为完全平方数，易知当 b=8时，c2=36,则c=6,从而a=28。c4 cx3(x 3<c4)c4-x 32161,817,83811,8,27,6480,73,54,1742561,8,27,64,125,21