函数定义域--抽象函数定义域的求法

1、抽象函数的定义域知识闯关考点明示：1、了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域2、会求一些较为复杂的函数的定义域；3、理解并初步掌握求定义域的逆向思维知识梳理已知函数的解析式，若未加特殊说明，则定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围。一般有以下几种情况：1、分式中的分母不为零；2、偶次方根下的数（或式）大于或等于零；3、指数式的底数大于零且不等于一；4、对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。5、正切函数y tanx x R,且x k 一，k 21. （2008 全国I理，1）函数y = jx（x 1）JX的定义域为A. x| x>0C. x| x> 1 U 0答案 CB.

2、 x| x>1D. x|0 <x< 12. （2009 河南新郑二中模拟）函数y=log2（x 1）的定义域是 .2 xA. 1,2B. (1,2)C. (2, +8)D.(-巴2)答案B3. (2008 湖北理，4)函数 f (x) =1ln ( 43x2xA. (-00, -4 U 2, +00)2x x 3x 4)的定义域为B. (-4 , 0) U (0, 1)C. -4 , 0) U ( 0, 1 答案 DD. -4 , 0) U ( 0, 1)4、(x 1)° .|x| x一 x 1 0x 1x解：由题思得，化简得，即|x | x 0| x| xx1.故

3、函数的定义域为x|x<0且xw-1.0难点突破或易错点明晰（此处结构为考查角度（知识点），单独成行。例题精析（例题+分析）变式训练（附答案及解析，也就是做成教师用书格式）考查角度：1、已知f（x）的定义域，求f g（x）的定义域2、已知f g（x）的定义域，求f（x）的定义域3、已知丁式月的定义域，求了附砌 的定义域4、求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域 5、应用题中的定义域除了要使解析式有意义外，还需考虑实际上的有效范围。例题精析：例1已知函数f(x)的定义域为15，求f(3x 5)的定义域.分析：若f (x)的定义域为a< x< b,则在f g(x)中，a &

4、lt; g(x) < b ,从中解得x的取值范围即为 f g(x)的定义域.本题该函数是由u 3x 5和f(u)构成的复合函数,其中x是自变量，u是中间变量，由于 f(x)与f(u)是同一个函数，因此这里是已知1&u&5,即 K 3x 505,求x的取值范围.410解：Qf(x)的定义域为1,5,1 < 3x 5< 5 ,- < x< 10 .33故函数f(3x 5)的定义域为 4,10 .3 3变式训练：1若函数y f(x)的定义域为 一,2，则f (log 2 x)的定义域为21 一 1分析：由函数y f(x)的定义域为 1,2可知：122x

5、2 ；所以yf (log 2 x)中有log2 x 2。解：依题意知：1一log 2 x 22解之，得： 2 x 4f (log 2 x)的定义域为x|J2 x 4例2已知函数f(x2 2x 2)的定义域为0,3 ,求函数f(x)的定义域.分析：若f g(x)的定义域为 m & x & n ,则由m & x & n确定的g(x)的范围即为f(x)的定义域.这种情况下，f (x)的定义域即为复合函数f g(x)的内函数的值域。本题中令 u x2 2x 2,则 f(x2 2x 2) f(u),由于f (u)与f (x)是同一函数，因此u的取值范围即为f(x)的定义域

6、.解：由 0 & x & 3 ,得 1 w x2 2x 2< 5 .令 u x2 2x 2,则 f(x2 2x 2) f(u) , 1< u<5.故f(x)的定义域为1,5 .变式训练：已知函数，二"鼠累+3的定义域为口贝心二八力的定义域为解：由 0,得 |1 4工+1£1口所以°«lg(14 1),故填0，1例3.函数下=J5 + D定义域是【-2,3，则=/(2工-1)的定义域是()A/"51.【-1，司 C.-5,5d.-久 7分析：已知/ 鼠工)的定义域，求，皿，)的定义域，可先由，式必定义域求得 的定

7、义域，再由，(月的定义域求得与"的定义域解：先求(K)的定义域二/S + D 的定义域是2，3 . -2 <z<3. l<x+ 1 <4|?0 x 5即人力的定义域是卜1，4，再求力入的定义域丁-1£ "-1£/一 "2“I)的定义域是电2故应选a变式训练：已知函数f(2 x)的定义域是-1 , 1,求f(log 2x)的定义域.分析：先求2x的值域为M则log 2X的值域也是 M,再卞据log 2X的值域求定义域。解 . y=f(2 )的定义域是-1 ，1,即-1 WxW1,2 <2X<2.函数 y=f(l

8、og 2x)中 2 w log 双w 2.即 log 2 2 & log 2x< log 24,2 < x<4.故函数f(log 2x)的定义域为72 , 4例4若f(x)的定义域为3,5 ,求(x) f( x) f (2x 5)的定义域.分析：求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，然后再求交集. 一 3< x<5）,一解：由f （x）的te义域为3,5 ,则（x）必有解得 4< x < 0 .3 0 2x 5 <5,所以函数 （x）的定义域为4,0 .变式训练：心巾11式工）=口）（也wo）已

9、知函数灯的定义域是（°，1，求2 的定义域。分析：分别求f（x+a）与f（x-a）的定义域，再取交集 解：由已知，有0 < + a < 1& < a0MLs Ml,即* Ml + s1函数的定义域由（-& i-q）ng, i+3确定二函数以X）的定义域是（-出1+©例3、某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为 x、y（单位：m）的矩形.上部是等腰直角三 角形.要求框架围成的总面积 8cm2.问x、y分别为多少（精 确到0.001m）时用料最省？分析：应用题中的定义域除了要使解析式有意义外， 还 需考虑实际上的有效范围。 实际

10、上的有效范围，即实际 问题要有意义，一般来说有以下几中常见情况：（1）面积问题中，要考虑部分的面积小于整体的面积；（2）销售问题中，要考虑日期只能是自然数，价格不能小于0也不能大于题设中规定的值（有的题没有规定）；（3）生产问题中，要考虑日期、月份、年份等只能是自然数，增长率要满足题设；（4）路程问题中，要考虑路程的范围。本题中总面积为口 12是一 x 8,即 x4“2。又 x 0,41 2S三角形 S矩形xy -x8,由于xy 0 ,于4x的取值范围是0 x 4炎。解：由题意得xy+1x2=8, .1.y=4-(0<x<4 . 2 ).4于是，框架用料长度为l=2x+2y+2(

11、x )=( + J2. )x+ >4 J6 4«2 . 22x,当(3 + '2)x= 16，即x=8 45时等号成立. 2x此时，x =2.343,y=2 72 =2.828.故当x为2.343m,y为2.828m时，用料最省.变式训练：短半轴长为r.计划将此钢板上.记CD=2x,梯形面积为S.13. (2007 北京理，19)如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为 2r,切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底 CD的端点在椭圆(1)求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域；(2)求面积S的最大值.解(1)依题意，以AB的中点。为原点建立直角坐标系 O

12、-xy (如图)， 则点C的横坐标为x,点C的纵坐标y满足方程2 x-2 r21(y > 0),y4r2一)1o o解得 y=2 Jr2 x2 (0<x<r).S= -(2x+2r) - 2<r2 x2=2(x+r) , vr2x2 ,其定义域为x0<x<r.(2)记 f(x)=4(x+r)2(r 2-x 2),0<x<r,则 f' (x)=8(x+r) 2(r-2x).令 f' (x)=0,得 x= r.因为当 0<x< 匚时，f' (x)>0;22当L<x<r时,f ' (x)&l

13、t;0 ,所以f (1r)是f(x)的最大值.22llJ因此，当x=1r时，S也取得最大值，最大值为Jf(1r)3r2.222即梯形面积S的最大值为3W3r2.2巩固训练(各专题题目数量尽量一致，各题均附答案及解析)1.设函数一启的定义域为【°，I，则(1)函数的定义域为。(2)函数八而一2)的定义域为分析：做法与例题1相同。解：(1)由已知有| 口匕/51|,解得|-1工1故了()的定义域为I，I(2)由已知，得口,解得4Mx，g由第-2) 的定义域为4 92、已知函数刀=/1献海+1)】的定义域为0 4犬，9|,则尸=/5)的定义域为分析：做法与例题2相同。解：由 0 WxEP ,得 1 W/+1E1。所以。1虱元+ 1，=1,故填。，口3、已知函数y=力1虱升+川的定义域为<9|,则y=f(3x-5)的定义域为0分析：做法与例题3相同。解：由,得 1 Wk+1 = 1。所以 ° ' 1或了 + 1) M 1 ,所以 ow 3x-