二次不等式恒成立问题教程文件

1、基础梳理1一元二次不等式的解法(1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2 bx c 0(a 0)或 ax2 bxc0(a0)(2)求出相应的一元二次方程的根(3)利用二次函数的图象与x 轴的交点确定一元二次不等式的解集2 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表：判别式b2 4ac 0 00二次函数 y ax2bxc (a0)的图象一元二次方程 ax2有两相异实根有两相等实根bxc0 (a0)没有实数根x1， x2(x1x2)x1 x2b的根2aax2 bxc0 (a x|x x2 或 xx1bR0)的解集x|x 2aax2 bxc0 (a x|x1xx

2、2?0)的解集一个技巧一元二次不等式 ax2bx c 0(a 0)的解集的确定受 a 的符号、b2 4ac 的符号的影响， 且与相应的二次函数、 一元二次方程有密切联系， 可结合相应的函数 yax2 bx c(a 0)的图象，数形结合求得不等式的解集若一元二次不等式经过不等式的同解变形后，化为ax2bx c 0(或 0)(其中 a0)的形式，其对应的方程 ax2bx c0 有两个不等实根 x1，x2，(x1x2)(此时 b2 4ac0)，则可根据“大于取两边，小于夹中间”求解集两个防范(1)二次项系数中含有参数时，参数的符号影响不等式的解集；不要忘了二次项系数是否为零的情况；(2)解含参数的一

3、元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏二次不等式恒成立问题不等式 ax2bx c 0 的解是全体实数 (或恒成立 )的条件是当 a 0 时，b0，c0；当a 0 时，a0，不等式 ax2bx c 0 的解是全体实数 (或恒成立 )的条件是当 a0 时， b0；a 0，0，c 0；当 a0 时， 0.一、恒成立问题的基本类型：类型1：设 f ( x)ax2bxc(a0) ，（ 1 ） f ( x)0在 xR 上恒成立a 0且0；（2）f (x)0在 xR 上恒成立a0且0 。类型 2：设 f ( x)ax 2bxc(a0

4、)（ 1）当 a0时， f ( x)0在 x, 上恒成立bbb2a或2a或2a，f ( )00f ()0f (x)0在 x , 上恒成立f ()0f ()0（ 2）当 a0时， f ( x)0在 x, 上恒成立f ()0f ()0bbbf (x)0在 x , 上恒成立2a或2a或 2af ()00f ( )0类型 3：f (x)对一切 xI 恒成立f (x) minf ( x)对一切 xI恒成立f ( x) max。类型 4：f (x)g( x)对一切 xI 恒成立f ( x)的图象在 g( x)的图象的上方或 f ( x) ming(x)max(xI )二、恒成立问题常见的解题策略：策略一：

5、利用二次函数的判别式对于一元二次函数f ( x)ax2bxc0( a0, x R) 有：（ 1） f ( x)0在 xR 上恒成立a0且0 ；（ ） f ( x)0在 xR 上恒成立a0且02例 1. 若不等式 (m1) x2( m1) x20 的解集是 R，求 m的范围。解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m，所以要讨论m-1 是否是 0。（ 1）当 m-1=0 时，元不等式化为2>0 恒成立，满足题意；（ 2） m 10 时，只需m 10，所以， m 1,9) 。(m1) 28(m1)0策略二 : 利用函数的最值（或值域）（ 1） f ( x)

6、m 对任意 x 都成立f ( x) minm ；（ 2） f ( x)m 对任意 x 都成立mf ( x)max 。简单计作： “大的大于最大的，小的小于最小的”。由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。例 2.已知 f (x) x 2ax3a ，若 x2,2, f ( x)2恒成立，求a 的取值范围 .解析 本题可以化归为求函数f ( x) 在闭区间上的最值问题, 只要对于任意x 2,2,f (x)min2 . 若ax 2,2, f ( x)2 恒成立x2,2,f (x) min222f (x)minf ( 2) 7 3a2a2a2或2或2，即 a 的取值范围为 5, 22 2.f

7、( a )a22f ( x) min3a2f ( x) minf ( 2) 7 a 224策略三：利用零点分布例 3.已知 f (x) x 2ax3a ，若 x2,2, f ( x)0恒成立，求 a 的取值范围 .解析本题可以考虑f ( x) 的零点分布情况进行分类讨论，分无零点、零点在区间的左侧、零点在区间00a2 或a2，即 a 的取值范围为 -7 ， 2.的右侧三种情况，即0或22f ( 2)0f ( 2)0f (2)0f (2)0点评 对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于零的问题, 可以考虑函数的零点分布情况, 要求对应闭区间上函数图象在x 轴的上方或在x 轴上就行了 .变式：设

8、 f ( x) x22mx2，当 x 1,) 时， f ( x)m 恒成立，求实数 m 的取值范围。解：设 F ( x)x 22mx2m ，则当 x 1,) 时， F (x)0 恒成立当4(m1)(m2)0即时，F (x)0显然成立；2 m 1当0 时，如图，F ( x)0恒成立的充要条件为：0F ( 1)0解得3m2 。综上可得实数m 的取值范围为 3,1) 。yx-1 Ox2m21策略四：分离参数法若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：1） f ( x)g(

9、 a)( a为参数） 恒成立g (a)f (x) max2） f ( x)g( a)( a为参数） 恒成立g (a)f (x) max例 4. 函数 f (x)x 22xa , x1,) ，若对任意 x 1,) ， f (x) 0 恒成立，求实数a 的取值范x围。解：若对任意x1,) ， f ( x)0恒成立，即对 x1,)， f ( x)x22xa0恒成立，x考虑到不等式的分母x1,) ，只需 x 22xa 0 在 x1, ) 时恒成立而得x22x a0 在 x1, ) 时恒成立，只要 ax22x 在 x 1,) 时恒成立。而易求得二次函数 h(x)x22x 在 1,) 上的最大值为3 ，所

10、以 a3 。变式：已知函数f ( x)ax4xx 2 , x (0,4 时 f ( x)0 恒成立，求实数a 的取值范围。解： 将问题转化为 a4xx 2对 x (0,4 恒成立。x令 g ( x)4xx2g( x)minx，则 a由 g ( x)4xx241 可知 g (x) 在 (0,4 上为减函数，故 g(x)ming (4) 0xx a 0 即 a 的取值范围为 (,0) 。注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。策略五：确定主元在给出的含有两个变量的不等式中，学生习惯把变量 x 看成是主元（未知数） ，而把另一个变量 a 看成参数，在有些问题中这样的解题过程繁琐。如果

11、把已知取值范围的变量作为主元，把要求取值范围的变量看作参数，则可简化解题过程。例 5. 若不等式2x1m( x 21)对满足2 m2的所有 m 都成立，求x 的范围。解析：我们可以用改变主元的办法，将m视为主变元，即将元不等式化为：m( x 21)(2 x 1)0，；令f (m)m( x21)(2x 1)2m 2时 ， f (m)f ( 2)0， 则0恒成立，所以只需即f (2)02( x21)(2x1)0(17 , 13 )2( x2，所以 x 的范围是 x1) ( 2x1)022总结：利用了一次函数f ( x)kxb, x m, n 有：f (x)0恒成立f (m)0( x)0恒成立f (

12、 m)0f (n), ff ( n)00变式：对任意a1,1 ，不等式 x2(a 4) x42a0 恒成立，求 x 的取值范围。分析：题中的不等式是关于x 的一元二次不等式，但若把a 看成主元，则问题可转化为一次不等式(x 2)a x24x40在 a1,1上恒成立的问题。解：令 f (a)(x2)ax 24x4 ，则原问题转化为f ( a)0 恒成立（ a1,1 ）。当 x2时，可得 f (a)0 ，不合题意。当 x2f (1)0解之得 x1或x3。时，应有f ( 1)0故 x 的取值范围为 (,1)(3,) 。策略六：消元转化例 6.已知 f ( x) 是定义在 -1,1上的奇函数 , 且

13、f (1)=1,若m, n 1,1, m n 0时 f (m)f (n)0 ，若 f (x)t 22at1对于所有的 x 1,1, a1,1 恒成立，求实数mnt 的取值范围 .解析本题不等式中有三个变量，因此可以通过消元转化的策略，先消去一个变量，容易证明f ( x)是定义在 -1,1 上的增函数, 故 f ( x) 在 -1,1上的最大值为f (1)=1, 则 f ( x)t 22at1 对于所有的x 1,1, a 1,1 恒成立1t 22at1 对于所有的 a 1,1 恒成立，即 2ta t 20 对于所有的 a 1,1恒成立，令 g( a) 2ta t2 ，只要g( 1)0 ， t2或

14、t2或t0 g(1)0点评对于含有两个以上变量的不等式恒成立问题, 可以根据题意依次进行消元转化, 从而转化为只含有两变量的不等式问题, 使问题得到解决.以上介绍的几种常见不等式恒成立问题的求解策略，只是分别从某个侧面入手去探讨不等式中参数的取值范围。事实上，这些策略不是孤立的，在具体的解题实践中，往往需要综合考虑，灵活运用，才能使问题得以顺利解决。三、巩固练习1. （1）若关于x的不等式20a 的取值范围；（ ）若关xax a的解集为 (,) ，求实数2于 x 的不等式 x2axa3 的解集不是空集，求实数a 的取值范围 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m解：（1）设 f xx 2axa

15、 . 则关于 x 的不等式 x 2axa 0 的解集为 (, )f x 0 在,上恒成立f minx0 ,即 f min x4aa 20,解得 4a04（ 2 ） 设 f xx 2ax a . 则 关 于 x的 不 等 式 x 2ax a3的解集不是空集f x3在,上能成立f minx3 ,即 fmin x4aa23, 解得 a6或 a2 .42.若函数 ymx26mxm8 在 R上恒成立，求 m的取值范围。分析：该题就转化为被开方数mx26mxm 80 在 R 上恒成立问题，并且注意对二次项系数的讨论。略解：要使 ymx26mxm8 在 R上恒成立，即 mx26mx m8 0在R上恒成立。1

16、om0时， 80m0 成立2om0 时，m0， 0m136m24 m832m m10由 1o， 2o 可知， 0m13.r( x2 , xr(1x,t ), 若函数 f xab 在区间1,1上是增函数，求 t已知向量 a1),b的取值范围 .解：依定义f()2(1)(x1)32tx t,xxxtxx则 f( x)3x22xt .f x在区间1,1 上是增函数等价于 fx0 在区间1,1上恒成立 ;而 fx0 在区间1,1上恒成立又等价于 t3x22x 在区间1,1 上恒成立 ;设g x3x22,1,1x x进而 tgx 在区间1,1 上恒成立等价于 tg maxx , x1,1考虑到 gx3x

17、22x, x1,1 在1, 1 上是减函数 ,在1 ,1 上是增函数 ,33则 g max xg15 .于是 ,t的取值范围是 t5 .4.已知函数 fxx33ax1, g xfxax5 ，其中 f 'x 是 fx 的导函数 .对满足 1a1 的一切 a 的值，都有 gx0 ，求实数 x 的取值范围；解法1. 由题意 gx3x2ax3a5 ，这一问表面上是一个给出参数a 的范围，解不等式gx0 的问题，实际上，把以x 为变量的函数 g x ，改为以 a 为变量的函数，就转化为不等式的恒成立的问题，即令a3x a3x25，1a1 ，则对1a1，恒有 g x0 ，即a0 ，从而转化为对1a

18、1 ，a0 恒成立，又由a 是 a 的一次函数， 因而是一个单调函数，它的最值在定义域的端点得到. 为此103x2x20,只需即103x2x80.解得2x1.3故x2,1时，对满足1a1 的一切 a 的值，都有 g x0 .3解法 2. 考虑不等式 gx3x2ax3a5 0 .由 1a1 知,a236a600 , 于是 , 不等式的解为aa236a60xaa236a60 .66但是 , 这个结果是不正确的 , 因为没有考虑 a 的条件 , 还应进一步完善 .为此 , 设 gaaa236a60 , haaa236a60 .66不等式化为 gaxh a ,1a1恒成立 , 即ga maxxha m

19、in ,1a1 .由于 gaaa236a60 在1a1 上是增函数 , 则 ga maxg 12 ,63haaa236a60在 1a1 上是减函数 , 则 h a minh 11.所以 ,2x 1.63故 x2 ,1时，对满足1a1的一切 a 的值，都有 g x0 .35.若对任意的实数 x ， sin 2 x2k cos x2k20 恒成立，求 k 的取值范围。解法一：原不等式化为 cos2 x2k cos x2k10令 tcosx ，则 t1，即f (t )t22kt2k1t k2k22k在1,1上恒大于。1 t0若 k1 ，要使 f (t ) 0，即 f ( 1)0， k1k不存在2若 1k 1，若使 f (t )0，即f (k)k22k 1 01 2 k 1 21 2 k 1若 k1 ，要使 f (t)0 ，即 f (1)0 ， k 1由，可知，k12。解法二