全国高考数学卷文科卷及解析

1、10.已知函数f(x)2x 1 2,x 110g2(x 1),x 12015年全国高考数学卷文科卷1一、选择题1 .已知集合A xx 3n 2,n N, B 6,8,10,12,14,则集合AI B中的元素个数为()(A) 5 (B) 4 (C) 3 (D) 22 .已知点 A(0,1),B(3,2),向量uuruuuiAC ( 4, 3),则向量 BC ()(A) ( 7, 4) (B) (7,4) (C) ( 1,4) (D)(1,4)3 .已知复数z满足(z 1)i 1 i,则z ()(A) 2 i (B) 2 i (C) 2 i (D) 2 i4 .如果3个正整数可作为一个直角三角 形

2、三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数,从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为()(A) -3- (B) 1 (C),(D)工10510205 .已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为1, E的右焦点与抛物线C : y2 8x2的焦点重合，A,B是C的准线与E的两个交点，则AB| ()(A) 3 (B) 6 (C) 9 (D) 126 .九章算术是我国古代内容极为丰 富的数学名着，书中有如下问题：“今 有委米依垣内角，下周八尺，高五尺， 问：积及为米几何？”其意思为：”在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个 圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8 尺，米堆的高为5尺

3、，米堆的体积和堆 放的米各为多少？”已知1斛米的体积 约为立方尺，圆周率约为3,估算出堆放 的米有()(A) 14 斛(B) 22 斛(C) 36 斛(D) 66 斛7 .已知an是公差为1的等差数列，Sn为an的前n项和，若S8 4S4 ,则队()1719一(A)17(B)(C)10(D)12228.函数f(x) cos( x)的部分图像如 图所示，则f(x)的单调递减区间为()13(A)(k-,k-),kZ4413(B) (2k,2k),kZ441 3(C) (k , k ), k Z4413(D) (2k,2k), k Z449.执行右面的程序框图，如果输入的t 0.01,则输出的n (

4、)(A) 5 (B) 6 (O 10 (D) 12且 f (a)3 ,则 f (6 a)(),7531(A)-(B)-(C)3(D)-444411.圆柱被一个平面截去一部分后与半 球(半径为r )组成一个几何体，该几何 体的三视图中的正视图和俯视图如图所 示，若该几何体的表面积为16 20 ,则r ()(A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 812 .设函数y f(x)的图像与y 2xa的图像关于直线y x对称，且f( 2) f( 4) 1 ,则 a ()(A)1 (B) 1(0 2 (D) 4二、填空题13 .数列 为 中为2,an 1 2an,&为an的前n项和，若Sn 126

5、，则n .14 .已知函数f x ax3 x 1的图像在点1,f 1的处的切线过点2,7 ,则 a .x y 2 015 .若x,y满足约束条件 x 2y 1 0, 2x y 2 0则z=3x+y的最大值为.216 .已知F是双曲线C :x2工1的右8焦点，P是C左支上一点，A 0,6 66 , 当APF周长最小时，该三角形的面积 为.三、解答题17 .(本小题满分12分)已知a,b,c分别是ABC内角A,B,C的对边，.2sin B 2sin Asin C .(I )若 a b ,求 cosB;(H )若 B 90o,且 a 72,求 ABC 的 面积.18 .(本小题满分12分)如图四边形

6、ABCD 为菱形，G为AC与BD交点，BE 平面 ABCD,(I )证明：平面AEC 平面BED ；(H)若 ABC 120°, AE EC,三棱锥E ACD的体积为叵,求该三棱锥的3侧面积.19 .(本小题满分12分)某公司为确定 下一年度投入某种产品的宣传费，需了 解年宣传费x (单位：千元)对年销售量 y (单位：t)和年利润z (单位：千元)的影响，对近8年的宣传费为和年销售量yi i 1,2,L ,8数据作了初步处理，得1到下面的散点图及一些统计量的值M 1 8表中 Wi = Jx , w = w '8 i 1(I)根据散点图判断，y a bx与y c d x ,哪

7、一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型(给出 判断即可，不必说明理由)；(n)根据(I )的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；(III )已知这种产品的年利润z与x,y的关系为z 0.2y x,根据(H)的结果回答下列问题：(I )当年宣传费x 90时，年销售量及年利润的预报值时多少？(n)当年宣传费x为何值时，年利润的 预报值最大？附：对于一组数据(Ul,Vl) ,(U2,V2),:(Un,Vn),其回归线V U的斜率和截距的最小二乘估计分别为： n(Ui u)(Vi v) _艮二-1-n,三V u2 (Ui U)i 120.(本小题满分12分)已知过点A 1,0且斜率

8、为k的直线l与圆C:22x 2 y 31父于M, N两点.(I )求k的取值范围； uuuu uuir(II) OM ON 12,其中O为坐标原点,求 MN|.21 .(本小题满分12分)设函数f x e2x alnx.(I )讨论f x的导函数f x的零点的个数；(H)证明：当a 0时,c ，2f x 2a a In .a22 .(本小题满分10分)选修4-1 :几 何证明选讲如图AB是SO直径，AC是。0切线，BC(n)若OA V3CE ,求 ACB的大小.23 .(本小题满分10分)选修4-4:坐 标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线C1 : x 2 ,22圆C2 : x 1 y 2

9、1,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标 系.(I )求C3C2的极坐标方程.(n)若直线C3的极坐标方程为- R ,设C2,C3的交点为M , N , 4求C2MN的面积.24.(本小题满分10分)选修4-5:不 等式选讲已知函数fxx 1 2 x a ,a 0.(I )当a 1时求不等式f x 1的解集；(u)若f x图像与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.交。与点E.(I )若D为AC中点，求证：DE是。切线;试题分析：由五点作图知,14541. D【解析】试题分析：由条件知，当 n=2时，3n+2=8,当n=4时，3n+2=14,故 AH B=8,14,故选 D.考点

10、：集合运算2. A【解析】uuuuuuuuuuumuuuruuu试题分析：:ABOBOA=(3,1)，.二 BCACAB =(-7,-4),故选A.考点：向量运算3. C【解析】试题分析：.(z 1)i 1 i , .z=i (1 2i)( 1 2 i,故选 C.2 II考点：复数运算4. C【解析】试题分析：从1,2,3,4,5 1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有10种不 同的取法，其中的勾股数只有3,4,5 ,故3个数构成一组勾股数的取 法只有1种，故所求概率为,故选C.10考点：古典概型5. B【解析】试题分析：:抛物线C: y2 8x的焦点为(2,0),准线方程为x 2, 椭圆E

11、的右焦点为(2,0),22椭圆E的焦点在x轴上，设方程为 4 1(a b 0) , c=2,a b, e - 1 , a 4 , a b2 a2 c2 12, 椭圆 E方程为 a 222x y / 1 , 16 12将x2代入椭圆E的方程解得A(-2,3 ) , B (-2 , -3) ,|AB|=6 ,故选B.考点：抛物线性质；椭圆标准方程与性质6. B【解析】试题分析：设圆锥底面半径为r,则12 3r 8 ,所以r 16 ,所以 43米堆的体积为-3 ()2 5=空° ，故堆放的米约为 竺0 + = 22, 4 3399故选B.考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式7. B【解析】11

12、试题分析：.公差 d 1 , S8 4S4, 8a1 - 8 7 4(4al -43),22解得 a1 =，.二 a10 a19d 9 ,故选 B.222考点：等差数列通项公式及前n项和公式8. D【解析】f (x) cos( x 一),令 2k 4313x < 2k 3 , k Z ,故单调减区间为(2k 1 , 2k 3 ) , k Z ,444故选D.考点：三角函数图像与性质9. C【解析】试题分析：执行第 1 次，t=,S=1,n=0,m= -=,S=S-m=, m m=,n=1,S=22>t二,是，循环，执行第2次，S=S-m=,mm 2=,n=2,S= >t=,是

13、,循环，执行第3次，S=S-m=,mm 2=,n=3,S= >t=,是,循环，执行第4次，S=S-m=,mm 2=,n=4,S= >t=,是,循环，执行第5次，S=S-m=,mm 2=,n=5,S= >t=,是,循环，执行第6次，S=S-m=,mm 2=,n=6,S= >t=,是,循环，执行第7次，S=S-m=,m考点：程序框图m 2=,n=7,S= >t=,否,输出n=7,故选C10. A【解析】试题分析：: f(a) 3, 当 a 1 时，f(a) 2a 1 23,则2a1 1,此等式显然不成立，当 a 1 时，log2(a 1)3,解得 a 7,. f(6

14、a) f( 1) = 2 11 2/，故选 A.4考点：分段函数求值；指数函数与对数函数图像与性质 11. B【解析】试题分析：由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组 合体，圆柱的半径与球的半径都为r,圆柱的高为2r,其表面积为1 2_22.2-4 r r 2r r 2r 2r =5 r 4r =16+20 ,解得 r=2,故 选B.考点：简单几何体的三视图；球的表面积公式；圆柱的测面积公式 12. C【解析】试题分析：设(x,y)是函数y f(x)的图像上任意一点，它关于直线y x对称为(y, x),由已知知(y, x)在函数y 2xa的图像上，二x 2 y a,解得 ylog 2

15、( x) a ,即 f (x) log 2( x)a , . f( 2)f( 4)log22 alog24 a 1 ,解得 a2 ,故选 C.考点：函数对称；对数的定义与运算 13. 6【解析】试题分析：: a1 2,an 1 2an, .数列an是首项为2,公比为2的 等比数列，.Sn 2(1 2 ) 126 , . 2n 64n=6.1 2考点：等比数列定义与前n项和公式 14. 1【解析】试题分析：f (x) 3ax2 1 ,f (1) 3a 1 ,即切线斜率 k 3a 1 ,又 f（1） a 2, 切点为（1, a 2）,二切线过（2,7） ,a 2 7 3a 1,解得 a 1.1 2

16、考点：利用导数的几何意义求函数的切线；常见函数的导数；15. 4【解析】试题分析：作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线I： 3x y 0,x y 2=0平移直线lo,当直线l:z=3x+y过点A时，z取取大值，由x 2y 1=0解得A （1,1 ） ,. z=3x+y的最大值为4.考点：简单线性规划解法16. 12.6【解析】试题分析：设双曲线的左焦点为 E,由双曲线定义知，|PF| 2a 严|,.APF的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+ 2a | PF1 |+|AF|=|PA|+ |PF1 |+|AF|+ 2a ,由于2a |AF|是定值,要使 APF的周长最小，则|PA|+

17、|pf1 |最小,即P、A、Fi共线，, A 0,676 , F1 ( 3,0)，直线 AFi 的方程为2 = 1,即3 6； 62x y= 3 代入 x2 1 整理得 y2 676y 96 0,解得 y 276或y876（舍），所以P点的纵坐标为246 ,S apf S AFF1 SpFF1=1 6 66 ） 6 2-6=12.6. 22考点：双曲线的定义；直线与双曲线的位置关系；最值问题17. （ I） - （ n） 1 4【解析】试题分析：（I ）先由正弦定理将sin2 B 2sin AsinC化为变得关系, 结合条件a b,用其中一边把另外两边表示出来，再用余弦定理即 可求出角B的余弦

18、值；（H）由（I）知b2=2ac,根据勾股定理和 即可求出c,从而求出 ABC的面积.试题解析：（I）由题设及正弦定理可得 b2=2ac.又 a = b ,可得 b = 2c, a = 2c,222由余弦定理可得cosB = a +c=-.2ac4因为B =90° ,由勾股定理得a2+c2=b2.故 a2 +c2 = 2ac ,得 c = a = % 2 .(n)由(1)知b2 =2ac.所以DABC的面积为1.考点：正弦定理；余弦定理；运算求解能力18. （ I ）见解析（H） 3+2、5所以DEAC的面积为3, DEAD的面积与DECD勺面积均为辰.故三棱锥E-ACD的侧面积为3

19、+2 . 5 .由已知得，三棱锥E-ACD的体积Ve-acd = -Bl-AC GD?BE 立x3 = .故 x=2 3 2243从而可得AE=EC=ED=6 .(wi w)( yi y)i 18-/ 一、2(wi w)i 1108.8 =6816$ y $w =563-68 X =.【解析】试题分析：（I ）由四边形ABC师菱形知ACA BD由BEA平面ABCD 知A。BE,由线面垂直判定定理知 A。平面BED由面面垂直的判 定定理知平面AEC 平面BED ; （ H ）设AB=x ,通过解直角三角 形将AG GC GB GD用x表示出来，在 RtDAEC中，用x表示EG在RtDEBG中,用

20、x表示EB,根据条件三棱锥E ACD的体积为求3出x,即可求出三棱锥E ACD的侧面积.试题解析：（I）因为四边形 ABC师菱形，所以AS BD因为BP 平面ABCD所以A。BE,故A。平面BED.又AC i平面AEC所以平面 AE。平面BED（H）设 AB=x ,在菱形 ABCLfr,由 DABC=120 ,可得AG=GC=3 x,GB=GD±. 22因为AP EC,所以在RtDAEC中，可得EG=- x.2由BEA平面ABCD知DEB劭直角三角形，可得BE=2x.2考点：线面垂直的判定与性质；面面垂直的判定；三棱锥的体积与 表面积的计算；逻辑推理能力；运算求解能力19. （I）

21、y c djx适合作为年销售y关于年宣传费用x的回归方程类型（H） $ 100.6 68/x （m）【解析】试题分析：（I）由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数；（H ）令w 五，先求出建立y关于w的线性回归方程，即可y关于x的回归方程；（田）（i）利用y关于x的回归方程先求出年销售量y的预报值，再根据年利率z与x、y的关系为z=即可年利润z的预报值；（ii）根据（R ）的结果知，年利润 z的预报值, 列出关于x的方程，利用二次函数求最值的方法即可求出年利润取最 大值时的年宣传费用.试题解析：（I）由散点图可以判断，y c d五适合作为年销售y 关于年宣传费用x的回归方程类型.（H

22、 ）令w jx ,先建立y关于w的线性回归方程，由于y关于w的线性回归方程为y 100.6 68w,y关于x的回归方程为$ 100.6 68Vx.(m) 3)由(11)知，当x=49时，年销售量y的预报值y 100.6 68,49=,$ 576.6 0.2 49 66.32 .(ii)根据(R)的结果知，年利润 z的预报值$ 0.2(100.6 68Vx) x x 13.64 20.12,.当 豉=坐=6.8 ,即x 46.24时，$取得最大值. 2故宣传费用为千元时，年利润的预报值最大.12分考点：非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；应用意识20. (I) |r7,4-+

23、7 (H) 2 期33【解析】试题分析：(I)设出直线l的方程，利用圆心到直线的距离小于 半径列出关于k的不等式，即可求出k的取值范围；(H)设M(X,y)N(x2,y2),将直线l方程代入圆的方程化为关于x的一元二次方程，利用韦达定理将*2。1丫2用k表示出来，利用平面向量数uuuu uur量积的坐标公式及OM ON 12列出关于k方程，解出k,即可求出|MN|.试题解析：(I)由题设，可知直线l的方程为y = kx+1.因为l与C交于两点，所以12k-3 + 1| <1. .1 + k2所以k的取值范围是IF2,业33(R )设 M (x/), N%, y2).22将丫 = kx+1

24、代入万程(x- 2) +(y- 3) =1,整理得22(1 + k )x -4(k+1)x + 7=0,所以 x +x = 4(k +1) xx Xi + 乂2 -2 , XjX2 =2 .1+k1+kULon uult24k(1+k)OM ?ON x1x2 + y1y2=1+k x1x2+k x1+x2 +1=- +8,1+k由题设可得4k(1+k)+8=12,解得k=1,所以l的方程为y = x+1.1 + k2故圆心在直线l上，所以|MN |=2.考点：直线与圆的位置关系；设而不求思想；运算求解能力21. (I)当a£0时，f (x)没有零点；当a>0时，f(x)存在唯零

25、点.(H)见解析【解析】试题分析：(I)先求出导函数，分 a£0与a>0考虑f x的单调性及性质，即可判断出零点个数；(H)由(I)可设f (x)在(0,+ ¥)的唯一零点为X0,根据f x的正负，即可判定函数的图像与性质,求出函数的最小值，即可证明其最小值不小于2a+aln2,即证明了a所证不等式.试题解析：(I)f (x)的定义域为(0,+ ¥),f (X)=2e2X - - (x > 0).当a £0时，f (x)>0, f(x)没有零点;当a>0时，因为e2x单调递增,-a单调递增，所以f (x)在(0,+ ¥)

26、单调递增.又f伤)>0,当b满足0<b<3且b<1时，f (b)<0,故当 44a > 0时，f钱)存在唯一零点.(II)由(I ),可设f位)在(0,+¥)的唯一零点为x0 ,当x?(0, x0)时，f(x)<0； 当 x违(%,+ )时，f (x) >0.故£他)在(0, %)单调递减，在(x°,+¥)单调递增，所以当x = x0时, f(x)取得最小值，最小值为f(x°).由于 2e2x0 -旦=0 ,所以 f(x0)=- +2ax0 +aln-? 2a x02x0aaln- a2故当 a&

27、gt;0时，f(x)? 2a aln-.a考点：常见函数导数及导数运算法则；函数的零点；利用导数研究 函数图像与性质；利用导数证明不等式；运算求解能力 .22. ( I )见解析(H) 60°【解析】试题分析：(I)由圆的切线性质及圆周角定理知， AHBC, AC1 AB,由直角三角形中线性质知 DE=DCOE=OB利用等量代换可证/DEC+OEB=90 ,即/ OED=90 ,所以DE是圆。的切线；(H )设CE=1,由OA V3CE得，AB=2V3,设AE=x,由勾股定理得BE J12 x2 ,由直角三角形射影定理可得 AE2 CEgBE ,列出关于x的方程，解出x,即可求出/ ACB的大小.试题解析：(I)连结 AE,由已知得，AE! BC AC! AB,在 RtzXAEC中，由已知得 DE=DC/ DEC= DCE连结 OE /OBEW OEB./ACB它 ABC=90 , .DEC廿 OEB=90 ,；/OED=90 ,. DE是圆O的切线.(H)设 CE=1, AE=x,由已知得 AB=2V3 , BE，2 x2 ,由射影定理