角平分线（2）

1、第一章第一章 三角形的证明三角形的证明第四节第四节 角平分线（角平分线（2）店头中学店头中学 赵展景赵展景发现：三角形的三个内角的角平发现：三角形的三个内角的角平分线交于一点这一点到三角形三分线交于一点这一点到三角形三边的距离相等边的距离相等 求证求证: :三角形的三条角平分线相交于一点三角形的三条角平分线相交于一点, ,且这且这一点到三条边的距离相等一点到三条边的距离相等. .已知：如图，在已知：如图，在ABC中中,角平分线角平分线BM与角平分线与角平分线CN相交于点相交于点P，过点，过点P分别作分别作AB, BC,AC的垂线，垂足分的垂线，垂足分别为别为D,E,F.求证：求证： ABC的平

2、分线经过点的平分线经过点P 且且PD=PE=PF.MNCBAPDEF即即 ABC的平分线经过点的平分线经过点P证明：证明：BM是是ABC的角平分线的角平分线,点点P在在BM上上PD=PE( 角平分线上的点到这个角的两边角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）的距离相等）同理：同理：PE=PFPD=PE=PF点点P在在BAC的平分线上（在一个角的内部，到角的两边的的平分线上（在一个角的内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）距离相等的点在这个角的平分线上） 推理证明三角形角平分线的性质定理三角形角平分线的性质定理 定理：定理：三角形的三条角平分线相交于一点，并三角形的三条角平分线相交于

3、一点，并且这一点到三条边的距离相等且这一点到三条边的距离相等 熟记定理例例1如图，在如图，在ABC中中AC=BC，C=90,AD是是ABC的角平的角平分线分线,DEAB,垂足为垂足为E.(1)已知已知CD=4 cm,求求AC的长；的长；(2)求证：求证：AB=AC+CD DABEC 学以致用(1)解：解：AD是是ABC的角平分线，的角平分线，C=90，DEABDE=CD=4cmAC=BC B=BAC(等边对等角等边对等角)C=90，B= 90=4512BDE=9045=45 BE=DE(等角对等边等角对等边)在等腰直角三角形在等腰直角三角形BDE中中,224 2()BDDEcm勾股定理(44

4、2)cmACBCCDBD1.如图，如图，O为为ABC内任意一点，内任意一点，ODAB,OE AC,OF BC, 且且OD=OE=OF,连接连接OA,OB,OC,下列说法不一定正确的是（下列说法不一定正确的是（ ）A. BOD BOF B. OAD=OBFC. COE= COF D. AD=AE巩固练习B2.已知已知:如图如图,在在RtABC中中,ACB=90,B=60,AD,CE分别是分别是BAC，BCA的角平分线，的角平分线，AD与与CE相交于点相交于点F，FMAB，FNBC，垂足分别，垂足分别为为M,N.巩固练习3.如图：直线如图：直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要表示三条相互交叉的公路，现要建建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？你如何发现的选择的地址有几处？你如何发现的?P 1?P?l 3?l 2 1?l?C?B?A?l 3?l 2 1?l?C?B?A 本节课我们利用角平分线的性质和判定定理证明了三角本节课我们利用角平分线的性质和判定定理证明了三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三角形各边的距离相形三条角平分线交于一点，且这一点到三角形各边的距离相等并综合运用我们前面