建筑工程管理三次样条插值在工程拟合中的应用

1、三次样条插值于工程拟合中的应用摘要 :介绍了工程实验、勘测、设计中常见的列表函数之数值插值方法、程序实现及工程应用,应用此法可方便地将任何列表函数计算到工程设计、施工所需要的精确程度,给出了各参数随主要参数变化而变化的光滑曲线 ,且将其应用推广到壹般情况 .关键词 :列表函数 ;数值拟合 ;三次样条插值 ;MATLAB 程序设计和应用 于实际工程中 ,广泛存于这样的问题 :根据设计要求和具体的工程条件 ,于初始设计阶段会勘测得 到若干组该工程的控制参数 ,但这些参数之间彼此离散、不够密集 ,利用它们来施工则不能满足施 工的精度要求 .为了解决这壹问题 ,需要对已知的参数数据进行分析处理,进行必

2、要的插值、拟合以达到施工所需要的数据精度 .本文以工程实例为基础 ,对实际工程中插值方法的选取、插值的实 现和插值曲线的拟合加以讨论 ,提出能得到较合乎实际的插值方法 ,给出壹般工程人员就能实现的 计算方法以及能得到光滑曲线的拟合方法.1工程应用实例表 1 所示的为某双曲拱坝体形原始参数1对于这壹类工程列表参数有壹个显著的特点：尽管不同工程的参数多寡不同，但均是由n行k列的离散的列表数据给出 ,虽然同壹行代表某工程特定位置的几个参数(或高程参数 ,或上游半径参数? )，但相邻俩行由于位置距离太大，俩行各参数之间究竟存于什么数值关系，对工程设计、 施工有何 影响，这是工程技术人员需要弄清楚的 2

3、. 以双曲拱坝为例，它沿整个高程的变化是壹个连续光滑 的空间曲面 .从施工需要来见，这些数据太稀疏，难以满足设计、 施工放样和钢筋配置等要求，如果照 此施工，则有可能达不到工程精度、 降低工程效率 ;从计算机图形模拟来见，要生成这个曲面仅由这 壹列表函数是得不到光滑曲面的，是不可取的 .所以，为使计算精确，满足工程施工过程中任何断面 位置、任意水平位置、任意高程位置所必需的施工数据和设计图纸，保证工程施工的高品质，就要求作精确的数据处理 .进壹步分析可知，于这些参数表中，各行的参数均随某壹主要参数的变化而 变化，如上游半径参数随高程的变化而变化 ?，它们的这种函数关系，于数值分析中有许多的方法

4、 能够求得 .可是哪种方法能更好、 更合乎实际地给出平滑曲线呢 ?下面所选的插值方法能够较好地 满足这壹要求.2插值方法的选择于数值分析中，这种插值过程可具体使用线性 (1inear) 插值、三次样条 (spline) 插值、立方 (cubic) 插值等方法，于曲线插值法中最常用的是线性插值法，它是估计俩个主干点之间数值的最简单、最易实现的方法，但采用线性插值法会有以下缺点：壹是使得曲线不能显示连接主干点间的凸状弧线 ; 二是使得从曲线导出远期曲线时会形成人为的“尖头” (spikes)2.因此，通常采用样条法来构造曲线 .样条法是用壹平滑曲线来对各主干点进行拟合的方法 .它是通 过构造多项式

5、 (壹个或壹组不同阶多项式 )来形成壹条把所有主干点连接起来的平滑曲线 .壹般常 常选择三次曲线(根据三次插值样条函数所得的曲线)进行拟合通常,于a,b上的以xi(i=0,1,2,? ,n)为节点的三次插值样条函数 3定义如下：给定区间a,b的壹个划分$:a=x0 x1x2 ?xn=b和区间a,b上的壹个函数f(x),若函数S(x)满足下列条件：(1)壹致通过n+1 个插值点(xi,yi),即S(xi)=f(xi)=yi(i=0,1,2, ? ,n);二阶连续，即S(x) C2a,b;(3)三次分段 ,即于每壹个小区间 xi-1,xi(i=1,2, ? ,n)上均为三次多项式则称S(x)为函数

6、f(x)的三次插值样条函数.于构造三次插值样条函 数时,为确定S(x)应根据n+1 个插值条件，3n-3 个连续条件以及给定的边界条件，再利用节点处的 壹阶导数或二阶导数就可构造出三次插值样条函数.于构造曲线过程中 ,关键是估计三次多项式函数和确定样条函数形式 .从之上理论分析可知 ,三次活动曲线具有优良的数学特征,而且用三次曲线去拟合时 ,其结果要比线性插值估计更接近于工程实际情况 4. 三次曲线法又可分为三次样条 插值法和立方插值法 .于数值分析中有许多的方法 ,限于篇幅 ,本文仅以工程上用得较多的、 具有优 良效果的三次样条插值为例介绍插值方法.3插值计算原理三次样条函数的数学原理及其子

7、程序,可见于多种数学著作 5和算法手册 .这里作简单介绍 .由于拱坝或其他工程曲面均是连续而光滑的空间曲面,它的断面高程自坝底至坝顶均满足a=jij2? jn=b,且每壹位置(高程)均对应有壹组几何参数：yl,y2,? ,yn如上游半径、下游半 径、拱厚等(见表 1 所列),因此对于壹组高程插值点j1=t1t2t3 ? tmwjn,可用三次自然样条 函数S(x)求解它们于各插值点的函数值及其壹阶导数S(x)和二阶导数S(x).三次样条函数S(x)是用分段三次多项式逼近函数y=f(x),且满足S(x)为区间a,b上曲线y=f(x)的三次样条插值函数的 三个条件 经俩次积分，可得三次样条插值函数S

8、(x)的表达式为利用函数S(x)于样点xi处具有连续二阶导数的条件，再根据三次自然样条插值法，增加自然边界条 件得到如下方程组：解上述方程组，求得Mi(i=0,1,2, ? ,n)代入S(x)公式，即可得每个子区间xi-1,xi(i=1,2, ? ,n)上的三 次样条函数 根据上述原理 ,对工程原始列表数进行插值计算 ,即可满足多种施工要4插值方法的实现由之上能够见出 ,三次样条插值的关键是寻找插值函数,但插值函数寻找相当复杂 ,对于壹般的工程人员很难完成 ,那么怎样才能使三次样条插值这壹优秀的插值方法被人们所掌握呢？Mathworks 公司推出了功能强大的数学计算软件MAT2LAB 6,它不

9、但使源程序编写简单、 源程序代码简短 (因为现成的三次样条插值函数可供使用),而且能够利用其强大的作图功能方便地拟合出光滑曲线 因此,本文选用 MATLAB 语言作为计算语言MATLAB 程序设计原理：于之上参数表中 ,各行的各参数均随高程这壹主要参数的变化而变化,根据它们变化的这种函数关系 ,以高程为插值的已知节点 ( 其中已知节点个数n=6), 为使插值结果壹致通过这些节点,以 1.36 为步长调用插值函数进行插值 .MATLAB 程序设计算法:(1) 写入原始参数矩阵 ,以同壹组参数为行 ,以同壹种参数为列 ;(2)产生插值的精度矩阵 ,于最小值和最大值之间以 1.36 为步长,产生矩阵

10、 ;(3)调用 MATLAB 中的三次样条插值函数，产生插值结果矩阵，以对每壹种参数的插值结果为行产 生矩阵 ,再转置 .MATLAB 程序设计:x0=470:1.36 : 504;out= xO;spline( x(1:6), x(7：12),x0);spline( x(1：6),x(13:18), x0);spline( x(1:6),x(19:24), x0)spline( x(1:6),x(25 : 30), x0);spline( x(1:6),x(31:36),x0);spline( x(1:6),x(37:42), xO)运算数据分析 :(1) 这组运算数据壹致通过已知节点,而且

11、偏差较小、数学处理和程序设计均大大简化(和文献1 相比 ).(2) 经过之上的运算 ,能够使原来仅有的 6 组数据变为 26 组,而且仍能够根据工程人员的需要对上述程序步长进行修改,就可任意提高精度 ,从而使工程人员能够更好地了解各种参数于各点的数据 ,使工程精度大大提高5插值曲线拟合当然 ,无论以多么小的数为步长、 无论给出多少组数据 ,这些参数仍是壹些离散的数据,于有些情况下,工程人员要了解某些数据随某壹主要参数的变化而变化的连续曲线,这时,能够于数据插值的基础上 ,发挥 MATLAB 于图形处理上的强大功能 ,对之上插值所得的数据进行曲线拟合 ,以便更好 地了解各参数随某壹主要参数变化而

12、变化的趋势.于之上插值数据的基础上 ,于上面程序的尾部编写 MATLAB 作图程序，作图程序如下，运行后得到图 1 所示插值拟合曲线.plot( x0,out(27：52),-) holdonplot( x0,out(53:78),-+)plot( x0,out(79:104),:)plot( x0,out(105:130),-)plot( x0,out(131:156),-3)plot( x0,out(157:182),-.)legend(上游半径,下游半径,拱厚,半中心角,圆心距,淤沙高程)holdoffgridon从图 1 中,能够见到各参数随高程的变化而变化的曲线,从而更好地去了解各参

13、数的变化规律,实现对工程各参数的整体把握,这是壹般数值处理方法所无法实现的.6小结之上仅为三次样条插值及其实现方法的壹个实例,本文于插值方法的选择上选取了能够得到平滑曲线的、具有优良数学特征的三次样条插值法;于插值的实现上选取了具有强大计算功能的数学软件 MATLAB, 它能够以较少的编码,较简单的语句实现这壹复杂的计算,且能得到较合理的结论;于曲线的拟合上我们于插值的基础上同样选取具有强大图形处理功能的MATLAB 软件 ,从而形成较准确、较平滑、较合实际的曲线.总之 ,之上所提供的方法是三次样条插值和MATLAB 科学计算语言于工程中应用的壹个实例,它能使计算较简便 ,又能很好地满足光滑性要求,使曲线也不失真 .实现了工程数学、计算数学、程序设计的结合和简化.三次样条插值不仅于工程方面,而且于测绘、勘察、预测等方面均有着十分广泛的应用 参考文献:1彭荣利,靳萍,欧阳建国.工程列表函数的数值拟合和应用J.武汉大学学报(工学版),2002, 35(4):4245