14.3因式分解

1、14.3 因式分解基础知识塔本枝能dm1. 因式分解(1) 定义把一个多项式化为几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分 解，也叫做把这个多项式分解因式.(2) 因式分解与整式乘法的关系因式分解与整式乘法是相反方向的变形如:整式乘法(a + b)(a b)a2 b2即多项式乘以多项式或单项式乘以多项式(整式乘法)是“积化和”，而因式分解则是“和化积”，故可以用整式乘法来检验因式分解的正确性.谈重点因式分解的理解(1)因式分解专指多项式的恒等变形，等式的左边必须是多项式，右边每个因式必须是整式.(2)因式分解的结果必须要以积的形式表示，否则不是因式分解.(3)因式分解中每个括号

2、内如有同类项要合并，因式分解的结果要求必须将每个因 式分解彻底.【例1】 下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是().A . a(x+ y)= ax+ ay2B. y 4y+ 4= y(y 4) + 42C. 10a 5a = 5a(2a 1)2D. y 16+ y= (y+ 4)(y 4) + y答案：C点拨：A是整式乘法，B、D等号右边不是整式积的形式，而是和的形式，不是因式分 解.2. 公因式(1) 定义(2)确定多项式的公因式的方法 确定一个多项式的公因式时， 看系数，二看字母，三看指数.解技巧确定公因式的方法数的最大公约数作为公因式的系数.多项式的各项中都含有的公共的因式叫做这

3、个多项式各项的公因式.要对数字系数和字母分别进行考虑，确定公因式时：一确定公因式的方法：(1)对于系数(只考虑正数),取各项系(2) 对于字母，需考虑两条，一是取各项相同的字母;二是各相同字母的指数取次数最低次，即取相同字母的最低次幕.最后还要根据情况确定符【例2】 把多项式6a3b2 3a2b2 12a2b3分解因式时，应提取的公因式是().2 2A. 3a bB. 3ab3 32 2C. 3a bD . 3a b答案：D点拨：在多项 式6a3b2 3a2b2 12a2b3中，这三项系数的最大公约数是 3，各项都含有 字母a, b,字母a的最低次幕是a2,字母b的最低次幕是b2,所以各项的公

4、因式是 3a2b2, 故选D.3. 提公因式法(1) 定义一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.提公因式的步骤 确定应提取的公因式； 用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式； 把多项式写成这两个因式的积的形式.警误区提公因式要彻底(1)所提的公因式必须是“最大公因式”，即提取公因式后，另一个因式中不能还有公因式；如果多项式的首项系数是负数，应先提出“一”号可按下列口诀分解因式： 各项有“公”先提“公”，首项有“负”先提“负”，某项提出莫漏“ 1 ”，括号里面分到“底”.【例3】 用提公因

5、式法分解因式：(1) 12x9(4) (x+ p) (x+ q) = (x+ p)+ (x+ q) (x+ p) (x+ q)y 18xy2 24x=(2x+ p + q)(p q).5. 用完全平方公式分解因式(1)因式分解的完全平方公式两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.即a2 + 2ab+ b2= (a+ b)2, a2 2ab+ b2= (a b)2.这个公式就是把整式乘法的完全平方公式等号左右两边颠倒过来.y3;2(2) 5x 15x+ 5;22(3) 27a b+ 9ab 18ab;(4) 2x(a 2 b) 3y(2b a) 4z(a

6、2b) 解：(1)12x2y 18xy2 24x3y32 2=6xy 2x 6xy 3y 6xy 4x y2 2=6xy(2x 3y 4x y )；(2) 5x2 15x+ 52=5(x 3x + 1)；29(3) 27a b+ 9ab 18ab=9ab( 3a b+ 2)；(4) 2x(a 2 b) 3y(2b a) 4z(a 2b)= 2x(a 2b)+ 3y(a 2b) 4z(a 2b)=(a 2b)(2x+ 3y 4z).4. 用平方差公式分解因式(1) 因式分解的平方差公式两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.即a2 b2= (a + b)(a b).这个公式就是把整式

7、乘法的平方差公式等号左右两边颠倒过来.(2) 平方差公式的特点左边是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反；右边是两个数(或整式)的和与这两个数(或整式)的差的积.凡是符合平方差公式左边特点的多项式都可以用这个公式分解 因式.【例4】把下列多项式分解因式：222322(1) 4x 9； (2)16m 9n ; (3)a b ab； (4)(x+ p) (x+ q).解：(1)4x 9= (2x) 3 = (2x+ 3)(2x 3)；2299(2) 16m 9n = (4m) (3n) = (4m + 3n) (4m 3n)；3(3) a b ab= ab(a 1) = ab(a+ 1)(a

8、 1)；(2)完全平方公式的特点左边是一个三项式，其中两项同号且均为一个整式的平方(平方项)，另一项是平方项幕的底数的2倍(乘积项)，符号可正也可负，右边是两个整式的和(或差)的平方，中间的符号同左边的乘积项的符号.【例5】把下列多项式分解因式：2x + 14x+ 49;(2) (m+ n) 6(m+ n) + 9;2 2(3) 3ax + 6axy+ 3ay ;x 2 2 4y2 + 4xy.解：(1)x2 + 14x+ 49 = x2 + 2 X 7x+ 72= (x+ 7)2 ;2 2 2 2(2) (m+ n) 6(m + n) + 9 = (m + n) 2(m+ n) X 3+ 3

9、 = (m + n 3);2 2 2 2(3) 3ax + 6axy+ 3ay = 3a(x + 2xy+ y )2=3a (x + y);2299(4) x 4y + 4xy= (x 4xy + 4y )29=x2 2 2y+ (2y)2=(x 2y)2.方H-咚匚 _6. 因式分解的一般步骤根据多项式的特点灵活选择分解因式的方法，其一般步骤可概括为：一提、二套、三查.一提：如果多项式的各项有公因式，首先考虑提取公因式；二套：提公因式后或没有公因式可提，就要考虑运用公式法，即平方差公式或完全平方公式；三查：因式分解一定要分解到不能分解为止，要检查每个因式是否还可以继续分解.7. 运用公式法分

10、解因式易出现的错误在分解因式时，多项式的项数若是两项，且含有平方项，则考虑用平方差公式进行分解 因式.若多项式是三项式，则考虑用完全平方公式.在应用公式法分解因式时常出现的错误 是：对公式的结构特征掌握不熟，理解不透彻，易出现符号、项数上的错误，二次项、一次 项系数搞错，把两个公式混淆等.【例6】把下列各式分解因式：23(1) 18xy 50y ;332 2(2) ax y + axy 2ax y .解：(1)18x2y 50y=axy(x + y 2xy) = axy(x y). 【例7】下列各式能用完全平方公式分解因式的是().21a24x2 4xyy2;x2+x+ ;1 a _;m2n2

11、+ 4 4mn;a2 2ab+ 4b2;x2 2548x + 9.A . 1个B . 2个C. 3个D . 4个解析：不符合完全平方公式的结构特点，不能用完全平方公式分解因式.符合完全平方公式的特点，提取“-”号后也符合完全平方公式的特点，所以能用完全平方公式分解.中的y2前面是“一”号，不能用完全平方公式分解.中中间项有a、b的积的2倍，前后项都是平方式，但中间项不是“首尾积的2倍”，不能用完全平方公式分解.也不符合.答案：C= 2y(9x2 25y2)=2y(3x+ 5y)(3x 5y);332 2(2)ax y + axy 2ax y思维拓展射新撷用&运用分解因式解决动手操作题动手操作题是让学生在实际操作的基础上设计有关的问题.这类题对同学们的能力有更高的要求，有利于培养学生乐于动手、勤于思考的意识和习惯，有利于培养学生的创新能力 和实践能力.这类题目主要考查动手操作能力，它包括裁剪、折叠、拼图等不仅考查动手能力，还 考查想象能力，往往与面积、对称性质联系在一起此类题目就是通过拼图，用不同的式子 表示图形面积，以达到把多项式分解因式的目的.【例8】如某同学剪出若干个长方形和正方形卡片，如图(1)所示，请运用拼图的 方法,选取图中相应的种类和一定数量的卡片拼成一个大长方形，使它的面积等于a2+ 4ab+ 3b2,