17第十七讲：导数的应用

1、第十七讲：导数的应用一、知识梳理：1 1.函数的单调性与导数：在区间(a,b)内，函数f(x)的单调性与其导数f(x)正负有如下关系：如果_ ，那么函数y = f (x)为该区间上的增函数。如果_ ，那么函数y = f (x)为该区间上的减函数。2 2 .函数的极值与导数：(1)函数极值的定义若函数f (x)在点x =a处的函数值f (a)比它在点x =a附近其他点的函数值_ ，f (a)叫函数的极小值。若函数f (x)在点x=a处的函数值f (a )比它在点x =a附近其他点的函数值_，f(a)叫函数的极大值。 _和_统称极值. .(2)求函数极值的方法解方程f (x) =0，当f (x0)

2、 = 0时，如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的I，总有_，则称f (x。)为函数f (x)在定义域上的最大值， 如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的XE I总有_，则称f (x0)为函数f ( x)在定义域上的最小值。(2 2)求函数y =f(x)在区间a,b上的最大值与最小值的一般步骤：1求函数y = f (x)在区间(a,b)的_ ；2将函数y = f(x)的各极值与_比较，其中_ 的一个是最大值， _ 的一个是最小值、基础自测:例题 3 3 设函数f (x) = ax2+ b In x，其中ab式0。证明：当ab a 0时 函数f (x)没有极值点；当ab：0时，函数f (

3、x)有且仅有一个极值点， 并求出极值。3 3 .已知(sinx) = cosx，f(x)=1 + x_sin x，则在区间(0,2兀)内f (x)是单调递_ 函数。4 4 周长为 12cm12cm 的矩形围成圆柱(无底)，当圆柱的体积最大时，圆柱的底面周长与圆柱高的比是 _. .(1)试求常数a、b b、c的值；(2)试判断x=1是函数的极小值点还是极大值点，并说明理由。例题 2 2 已知函数f (x)= =ex_ ax _ 1。(1) 求f (x)的单调递增区间；如果在x0附近左侧，右侧，那么f(X)是极大值。如果在x0附近左侧，右侧，那么f(X0)是极小值。1 1函数f(x)=x3-3x2

4、7 的单调递减区间为(1)最大值与2 2函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f (x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f (x)在开区间(a, b)内极小值点的个数为_。5 5.曲线f(x)=x32在点一1,一7i处的切线的倾斜角为3I 3丿-326 6.若函数f(x)二x 3ax 3(a2)x 1有极大值和极小值，则a的取值范围是_. .三、例题分析：例题1已知f(x)二ax3bx2cx(-z0)在x=1时取得极值，且f(1)一-1。例题 4 4 已知f (x) = x m(m三R)，若m乞2，求函数x1g(x) = f (x) _ln x在区间-,2上的最小值。2四、跟踪训练

5、：班级_ 组别_ 学号_ 姓名_132-1.1. 若函数f(x)二_x(a_1)x 2x在区间(_：,_3)内是增函数，则3a的取值范围是_。2.2. 函数f(x) =x3_3x 1在闭区间-3-3，0 0内的最大值、最小值分别是例题 5 5 某物流公司购买了一块长AM =30米，宽AN =20米的矩形 地块，规划建设占地如图中矩形ABCD的仓库，其余地方为道路或停车场，要求顶点C在地块对角线MN上，B、D分别在AM、AN上, 假设AB长度为x米(1) 要使仓库占地ABCD的面积不少于 144144 平方米，AB的长度应在 什么范围内？(2) 若规划建设的仓库是高度与AB长度相同的长方体形建筑

6、， 问AB长度为多少时仓库的库容最大？(墙体及楼板所占的空间忽略不计)PBN3 3已知f(x)二x ex, x_2,2的最大值为M，最小值为m，则M- -m= =_ . .4 4周长为 20cm20cm 的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱的体积的最 大值为_。5.5.若函数f (x)的导函数为(x) - -x(x 1)，贝U g(x)二f (logax)(0ca：1)的单调递减区间是 _ . .1326.6. 已知函数f (x) x x- 2。3()设an是正数组成的数列，前n项和为Sn，其中印=3，若点2 *(an,an.1-2an d)(n- N)在函数y二f (x)的图象上，求证：点(n,)也在y二f (x)的图象上；(2 2)求函数f (x)在区间(a-1,a)内的极值。例题 6 6 某造船公司年造船量是2020 艘，已知造船x艘的产值函数为R(x) = 3700 x - 45x2-10 x3(单位：万元)，成本函数为C(x) =460 x 5000(单位：万元)，又在经济学中，函数f (x)的边际函数Mf (x)定义为Mf (x)二f (x 1) - f (x). .(1) 求利润函数p(x)及边际函数Mp(x)；(2) 问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？7 7.设函数f (x)(x 0,