振动第2章(1)课件

1、第二章第二章 单自由度系统的振动单自由度系统的振动第五节 简谐激励受迫振动理论的应用第六节 周期激励作用下的受迫振动第七节 任意激励作用下的受迫振动 第八节 响应谱第一节 无阻尼系统的自由振动第二节 计算固有频率的能量法第三节 有阻尼系统的衰减振动第四节 简谐激励作用下的受迫振动2 21 1 无无阻阻尼尼系系统统的的自自由由振振动动设有质量为 m 的物块(可视为质点)挂在弹簧的下端， 弹簧的自然长度为l0,弹簧常量为 k， 如不计弹簧的质量， 这就构成典型的单自由度系统， 称之为弹簧质量系统如图 21 所示。工程中许多振动问题都可简化成这种力学模型。例如，梁上固定一台电动机(图 22)，当电机

2、沿铅直方向振动时， 梁和电机组成一个振动系统， 如不计梁的质量，则它在该系统中的作用相当于一根无重弹簧， 而电机可视为集中质量。 于是这个系统可简化成如图21 所示的弹簧质量系统一、自由振动方程以图 21 所示的弹簧质量系统为研究对象。取物块的静平衡位置为坐标原点 O，x 轴顺弹簧变形方向铅直向下为正。当 物 块 在 静 平 衡 位 置 时 ， 由 平衡 条 件X 0，得到 mgkst （A）st称为弹簧的静变形。当物块偏离平衡位置为 x 距离时，物块的运动微分方程为mxmgkxst()即 mxkx （21）将式（21）两边除以 m，并令 pkmn （22）则式（21）可写成 xp xn20

3、（23）这就是弹簧质量系统只在线弹性力kx 的作用下所具有的振动微分方程，由微分方程理论可知，式（23）的通解为 xCp tCp tnn12cossin其中C1和C2为积分常数，由物块运动的起始条件确定。设t 0时，xxxx00，。得 Cx10 Cxpn20 xxp txpp tnnn00cossin （24）式（24）亦可写成下述形式 )sin(tpAxn （25）其中 )arctan()(002020 xxppxxAnn （26）式（2-4） 、 （2-5）是物块振动方程的两种形式，称为无无阻阻尼尼自自由由振振动动，简称自自由由振振动动。ApxAxn00cos,sin:令二、振幅、初相位和

4、频率式（25）表明，无阻尼的自由振动是以其静平衡位置为中心的简简谐谐振振动动。系统的静平衡位置称为振振动动中中心心，其振振幅幅 A 和初初相相位位角角由式（26）决定系统振动的周期 Tpmkn22 （27）系统振动的频率 fTpkmn122 （28）而系统振动的圆频率为 pfn 2 （29）这表明，圆频率pn是物块在自由振动中每2秒内振动的次数。还可以看出，fpn、只与振动系统的弹簧常量 k 和物块的质量 m 有关，而与运动的初始条件无关。因此，通常将频率 f 称为固有频率，将圆频率pn称为固有圆频率。由式（A）知，kmgst,代入式（22）得 pgnst （210）这是用弹簧静变形时的变形量

5、st表示自由振动固有圆频率的计算公式。三、等效弹簧常量(刚度)刚度:系统的某点沿确定方向产生单位位移(或角位移)时,在该点同一方向所要施加的力(或力矩),称为系统在该点沿指定方向的刚度.FKx已知杆A,l,J,I,G,E, 试确定自由确B处在x方向,y方向和绕x轴转动的方向的刚度3:3:xyEAKlEIklGJKl拉压刚度弯曲刚度:扭转刚度简支梁中点刚度？三、等效弹簧常量例 21 在图 23 和 24 中， 已知物块的质量为 m，弹簧的弹簧常量分别为kk12、，分别求并联弹簧与串联弹簧直线振动系统的固有频率。如果用一根弹簧常量为 k 的弹簧来代替原来的两根弹簧，使该弹簧的静变形与原来两根弹簧所

6、产生的静变形相等如图 23（b）所示，则 mgkst （b）比较式（a）与（b） ，得 kkk12 （c）k 称称为为并并联联弹弹簧簧的的等等效效弹弹簧簧常常量量。式（c）表明，并联后的等效弹簧常量是各并联弹簧常量的算术和。弹簧并联的特征是：二二弹弹簧簧变变形形相相等等。由式（28） ，可求出系统的固有频率 fkmkkm121212计算系统的等效刚度和固有频率1212FK xK xFKKKx112221121211K mKmfmmm m例 22 一个质量为 m的物块从 h的高处自由落下，与一根抗弯刚度为 EI、长为l的简支梁作塑性碰撞(图 25)， 不计梁的质量，求该系统自由振动的频率、振幅和

7、最大挠度。解：当梁的质量可以略去不计时，梁可以用一根弹簧来代替，于是这个系统可简化成如图 21 所示的弹簧质量系统。如果知道系统的静变形st，则由式（210）可求出系统的固有频率 fgst12由材料力学可知，简支梁受集中载荷作用，其中点的静挠度为 stmglEI348可求出系统的固有频率为 fEIml12483因此，中央受集中载荷的简支梁的等效弹簧常量为 kEIl483例 23 质量为 m 的物块悬挂如图 26 所示。设杆 AB 的质 量 不 计 ， 两 弹 簧 的 弹 簧 常 量 分 别 为k1和k2, 又ACaABb，,求物块的自由振动频率。解：应用等效弹簧常量求解。为此，要将各弹簧的弹簧

8、常量按静力等效的原则，折算到质量所在处。先将弹簧常量k2换算至质量 m 所在处 C 的等效弹簧常量k。设在 C 处作用一力 F，按静力平衡的关系，作用在 B 处的力应为Fab，由此力使弹簧k2产生的变形Fabk2，而此变形使 C 点发生的变形为 cabFak b222由此得到作用在 C 处而与k2弹簧等效的弹簧常量 kFkbac222 然后再将其与弹簧k1串联，可得整个系统的等效弹簧常量 kk kbakkbak k ba kb k122212221222122物块的自由振动频率为 pkmbk km a kb kn122122()四、 单自由度系统的扭转振动前面研究的单自由度振动系统，主要是弹簧

9、质量组成的直线振动系统。在工程实际中还有许多其它形式的振动系统，如内燃机的曲轴、轮船的传动轴等等。在运转中常常产生扭转振动扭转振动，简称扭振扭振。图 27 所示为一扭振系统。其中 OA 为一铅直圆轴，上端 A 固定，下端 O固结一水平圆盘，圆盘对中心轴 OA 的转动惯量为Io。如果在圆盘的水平面内加一力偶，然后突然撤去，圆轴就会带着圆盘作自由扭振，这种装置称为扭摆扭摆。综上所述，对于单自由度振动系统来说，尽管直线振动和扭振的结构形式、振动形式不一样，但其振动规律、特征是完全相同的。如果在弹簧质量系统中，将 m、k 理解为等效质量mq和等效弹簧常量kq,将其坐标看成广义坐标q，则对于单自由振动系

10、统来说，它的自由振动微分方程的典型形式为 qp qpkmnnqq20 （214）图 28(a)所示为扭振系统两个轴并联的情况；图(b)为两轴串联的情况； 图(c)则为进一步简化的等效系统。 根据例 21 中有关串、并联弹簧的结论，可得到并联轴系的等效弹簧常量为 kkknnn12串联轴系的等效弹簧常量为 kk kkknnnnn1212一个刚体由于本身自重作用而绕某一轴作微摆动,称为复摆此时转轴称为摆的悬挂轴.设刚体重量为W,对悬点O的转动惯量为Io,重心C至悬点O距离为a22sin01,2(2)ooooocoIWaWaIWaWapfIIWaIfWIIag 2 22 2 计计算算固固有有频频率率的

11、的能能量量法法计算振动系统的固有频率，是研究振动系统特征的重要任务之一。在上节中，一般是在求出振动系统的运动微分方程的基础上确定其固有频率的。在本节中，将介绍计计算算固固有有频频率率的的能能量量法法。能量法的理论基础是机械能守恒定律。应用能量法能够比较容易地求出保守系统的固有频率。在图 21 所示无阻尼单自由振动系统中，作用在该系统上的重力和弹性力都是保守力。根据保守力场中的机械能守恒定律，该系统在振动过程中，其势能与动能之和保持不变。即 TV常量式中 T 是动能，V 是势能。如果取平衡位置 O 为势能的零点，现以图 21 所示的弹簧质量系统为例， 应用此公式计算系统的固有频率。由式（25）知

12、，系统的自由振动方程和速度分别为 xAp tvxApp tnnnsin()cos()速度的最大值 maxxApn该系统的动能、势能的最大值分别为 TmxmA pVkxkAnmaxmaxmaxmax1212121222222代入式（216），得 1212222mA pkAn pkmn它与式（22）完全相同。 例 24 船舶振动记录仪的原理图如图 29 所示。 重物 P 连同杆 BD 对于支点 B 的转动惯量为IB ,求重物 P 在铅直方向的振动频率。已知弹簧 AC 的弹簧常量是 k。解：这是单自由度的振动系统。系统的位置可由杆 BD 自水平的平衡位置量起的角来决定。系统的动能为122IB。如取平

13、衡位置为系统的势能零点。设在平衡位置时，弹簧的伸长量为st 。此时，弹性力Fkstst ,方向向上。 mB(F) 0, F bPlst 0 kbPlst 0 （b）设系统作简谐振动，则其运动方程 sin()p tn角速度及系统的最大动能分别为 cos()ddtpp tnn 22maxmax2121nBBpIIT （a）该系统的势能VkbPlkbkbPlststst12122222() () （c）式（b）代入式（c）得 Vkb1222 Vkbkbmaxmax12122222 （d）式（a）、式（d）代入式（216） 12122222IpkbBn （d） pkbInB2瑞雷法运用能量原理,把一个

14、分布质量系统简化为一个单自由度系统,从而把弹簧分布质量对系统振动频率的影响考虑进去,得到相当准确的固有频率值.假设弹簧各截面在振动过程中任一瞬时的位移和一根轴向受力的等直杆相近.x处的位移为:xlx设在某一瞬时质量块m的速度为x 弹簧相应的速度为:xlx则弹簧该微段的动能为:21()2xdlxx整根弹簧的动能为:222011122 32 3lxlmTdxxlxx222maxmaxmaxmax:111()22 323mmTmxxmx系统最大动能为2maxmaxmaxmaxmaxmax2221:2,:()33UKxTUxAxApmmA pKAKpmm系统最大势能为系统的对于简谐振动代入式得试计算简

15、支梁的等效质量 2 2 3 3 单单 自自 由由 度度 系系 统统 的的 衰衰 减减 振振 动动在自由振动中，振动的振幅是不变的，振动将无限地延续下去。但是，实际观察到的结果并非完全如此。例如，弹簧质量系统的物块在其平衡位置附近的自由振动并非无限地延续下去，随着时间的推移，它的振幅将逐渐衰减， 最后趋于零而停止振动。 这说明，在振动过程中，物块除受恢复力的作用外，还受到阻力的作用。振动过程中的阻力通称阻尼。xnxp xn202 xert与式（222）对应的运动图如图 211 所示，可以看到，物块在平衡位置附近作往复运动，具有振动的性质。但它的振幅不是常数，随时间的推延而衰减。因此，有阻尼的自由

16、振动并非按同样的条件循环往复的周期振动，习惯上把它视为准周期振动，通常称为衰衰减减振振动动。xAep tntdsin()xAep tntdsin()21dTTnpn 四 npn 临界阻尼的情形这时，特征方程的根是两个相等的实根 rrn12 因此，方程（218）的通解为 xeCC tnt()12 （229）其中CC12、为积分常数，由运动的初始条件确定。 这种情形与过阻尼的情形相似，运动已无振动的性质。但它是过阻尼情形的下边界，同一个系统，受相同的运动初始条件激励，临界阻尼情形中位移最大，而且返回平衡位置最快。rnnprnnpnn122222 值得注意的是，临界情形是从衰减振动过渡到非周期运动的

17、临界状态。因此，这时系统的阻尼系数是表征运动规律在性质上发生变化的重要临界值。设cc为临界阻尼系数临界阻尼系数，由于npn1，即 cnmp mkmcn222 （230）可见，cc只取决于系统本身的质量与弹性常量。由 ccnmp mnpcnn22即阻尼系数与临界阻尼系数的比值，这就是称为阻尼比的原因。lndnNT21dTT2nnnTpp212 N lnsinxnxp xhtn22Bhpj nBenj2222222)2()(nphBBnBB0222112()()BB0222112()()BB0222112()()BB0222112()()tgnpn222221tg例 26 质量为 M 的电机安装在

18、弹性基础上。由于转子不均衡，产生偏心，偏心距为 e，偏心质量为 m。转子以匀角速转动如图 214（a）所示，试求电机的运动。弹性基础的作用相当于弹簧常量为k 的弹簧。设电机运动时受到粘性欠阻尼的作用，阻尼系数为 c。解： 取电机的平衡位置为坐标原点 O，x 轴铅直向下为正。作用在电机上的力有重力 Mg、弹性力 F、阻尼力 R、虚加的惯性力QQer、，受力图如图 214（b）所示。根据达朗贝尔原理，有 cxMgk xMxmetst()sin20 Mxcxkxmetsin2 令pkMncMn22，则上式可写成 sin()xnxp xmMetn222 （a）式（a）中mMe2与式（231）中的 h 相当。BBhpnn()()22222 2222214()例 27 在图 216 所示的系统中，物块受粘性欠阻尼作用，其阻尼系数为 c，物块的质量为 m，弹簧的弹性常量为 k。设物块和支撑只沿铅直方向运动，且支撑的运动为y tbt( )sin,试求物块的运动规律。解： 选取 y=0 时物块的平衡位置为坐标原点 O， 建立固定坐标轴 Ox铅直向上为正。由图 216 所示的受力图，建立物块的运动微分方程mxc xyk xy()() 0即mxcxkxcyky （a）或写成 mxcxkxcbtkbtcossin （b）可见，由于支撑运动而使质量 m 受到的激振