5个大题诀窍数列问题重在“归”——化归讲义理

1、数列问题重在“归”化归技法指导一一迁移搭桥思维流程一一找突破口 V化归truss-化归的常用策略利用化归思想可探索一些一般数列的简单性质.等差数列与等比数列是数列中的两个特殊的基本数列，高考中通常考查的是非等差、等比数列问题，应对的策略就是 通过化归思想，将其转化为这两种数列典例(2018 全国卷I)已知数列佝满足a1=1, nan+尸2(n+1)an.设bn=即求 bi, b2, b3;(2) 判断数列bn是否为等比数列，并说明理由；(3) 求an的通项公式.快审题求什么想什么判断数列bn是等比数列，想到判断等比数列的方法.求an的通项公式，想到求bn的通项公式.给什么an+12an给出na

2、n+1 = 2( n+ 1)an，用化归方法化为， 的形式用什么n+ in稳解题(1)由条件可得2n +an+ 1 =an.丿ft归：转此助相邨 W約项的運推关乐*将n = 1代入得，a2= 4ai，而ai= 1，所以 a2= 4.将n = 2代入得，a3= 3比，所以a3= 12.从而 bi= 1, b2= 2, b3 = 4.数列bn是首项为1,公比为2的等比数列. 理由如下：由条件可得 归=绳丿化归：由4鲁用由条件可得 n+ 1一 n， &忙为警跑戳刊 L'-即 bn+1 = 2bn,又 b1= 1,所以数列bn是首项为1,公比为2的等比数列.abn 1(3)由(2)可得

3、-=2,所以an= n2n1.题后悟道等差、等比数列基本量的计算模型(1) 分析已知条件和求解目标，确定为最终解决问题需要首先求解的中间问题如为求和需要先求出通项、为求出通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的逻辑次序.(2) 注意细节.在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，贝U要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表针对训练已知正数数列an的前n项和为S,满足a2= S+ S1 (n2), ai= 1.(1) 求数列an的通项公式. 设bn = (1 an)2 a(1 an)，若bn+1>bn对任意n N恒成立，求实数

4、a的取值范围.2解：(1)因为 an= S + S1 (n2),所以 a2+1= S+1+ S.两式相减，得 a+1 an = a+1+ an.因为 an>0,所以 a +1 an = 1.又a1= 1,所以an是首项为1,公差为1的等差数列.所以an= n.(2) 因为 bn = (1 an) a(1 an)，且由(1)得 an= n,所以 bn= (1 n)2 a(1 n) = n2+ ( a 2) n+ 1 a,所以 bn+1 = ( n+ 1) + ( a 2)( n + 1) + 1 a= n + an.因为bn+ 1>bn恒成立，所以 n2+ an>n2+ ( a

5、 2)n+ 1 a,解得a>1 2n,所以a> 1.则实数a的取值范围为(一1,+).专题过关检测A组一一“6+ 3 + 3”考点落实练、选择题1. （2019届高三武汉调研）设公比为q（q>0）的等比数列an的前n项和为S.若S2 =3a2 + 2, S= 3a4+ 2,贝U ai =（）B. 1D.A. 21C.2解析：选 B 由 S2= 3a2 + 2,3a4+ 2,2 2得 as+ a4= 3a4 3a2,即卩 q+ q = 3q 3,3解得q= 1（舍去）或q=勺将q = 2代入S2= 3a2 + 2中，得a1+ 2a1 = 3x 茹+ 2,解得a1= 1.an +

6、 112. 已知数列an满足一=，且a2= 2,则a4等于（）an+1+ 121A. B . 232C. 12D . 11an+ 11解析：选D因为数列an满足=厶 所以an+1 + 1 = 2（an+ 1），即数列an+1是an+ 1 十 12等比数列，公比为 2,贝y a4+ 1 = 22（a2+ 1） = 12，解得a4= 11.3. （2019届高三西安八校联考）若等差数列知的前n项和为$,若$>$>0，则满足SS+1<0的正整数n的值为（）A. 10B . 11C. 12D . 13解析：选 C 由 S>>S7>S5,得 Sr = S6 + a7&

7、lt;So, S= S5+ a6+ a7>S5，所以 a7<0, a6+ a7>0,所以 S3= 13a1 + a132=13a7<0,$2 =12a1 + ai22=6( a6+ a7)>0，所以 S2S3<0,即满足 SS+1<0的正整数n的值为12,故选C.4.数列an中，ai = 2, a2 = 3, an+1 = an an1( n2, n N)，那么 a2 019 =()A. 1B . 2C. 3D . 3解析：选 A 因为 an+1 = an an-1( n2)，所以 an = an-1 an-2(n3), 所以 an+1 = an an

8、1 = (an 1 an2) an 1 = an2( n3).所以 an+ 3= an(n N)，所以 an+ 6= an+3= an,故an是以6为周期的周期数列.因为 2 019 = 336X 6+ 3,所以 a2 oi9 = a3= a2 ai= 3 2 = 1.故选 A.2a 1 x + 4, xw 1,5. (2018 郑州第二次质量预测 )已知f (x) = x数列 ( n a , x>1,N)满足an= f (n)，且an是递增数列，则 a的取值范围是()A. (1 ,+s)C. (1,3)1b. 2，+mD . (3 ,+s)解析：选D因为an= f ( n)，且an是递

9、增数列,2a 1>0,所以a>1,a1<a2,1a>2,a>1,得a>3.故选D.2a 1 + 4<a2,6.若数列an满足a1= 1,且对于任意的* 1 1 1n N都有 an+1 = an+n+1,则01+02+ 而1+厂等于(a2 018A.4 0352 017B.2 0162 0172 0194 0352 018解析：选 C 由 a“+1 = ch + n + 1，得 a“+1 an= n + 1,则 a2 a1 = 1 + 1,as a2= 2+1,a4 a3= 3+1,an一 an-1= (n 1) + 1,以上等式相加，得an a1= 1

10、+ 2+ 3+-+ (n 1) + n 1,把a1= 1代入上式得,nan= 1+ 2+ 3 + + (n 1) + n=n+ 121an2 1 1n n+1 = 2n n+，“ 1 1111111则+ + +=21 +c + +a1a2a2 017a2 0182232 0171 12 018 + 2 01812 01912 0194 0362 019二、填空题7. （2018 全国卷I ）记S为数列an的前n项和.若 S = 2勿+ 1，贝U 解析：Sn= 2an + 1，当 n2 时，Sn-1 = 2an 1 + 1 ,=2an 2an 1即 an= 2an 1.当 n = 1 时，a1=

11、 S = 2a1 + 1,得 a1 = 1.数列an是首项a1为1，公比q为2的等比数列,n1 q1q6 - Sb = 1 2 = 63.问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的 2倍，已知她5天共&古代数学著作九章算术有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺,可求得该女子前3天所织答案：63织布5尺，问这女子每天分别织布多少？ ”根据上述的已知条件, 布的总尺数为.解析：设该女子第一天织布 x尺,25- 1215=5，解得 x= 31,所以该女子前3天所织布的总尺数为53123 13531答案:35319. （2019届高三福建八校联考）在数列an中，n

12、N*，若少+ 2处+1 = k（ k为常数）， an+1 an则称an为“等差比数列”，下列是对“等差比数列”的判断： k不可能为0; 等差数列一定是“等差比数列”； 等比数列一定是“等差比数列”； “等差比数列”中可以有无数项为0.其中所有正确判断的序号是 .解析：由等差比数列的定义可知，k不为0,所以正确，当等差数列的公差为0,即等差数列为常数列时，等差数列不是等差比数列，所以错误；当an是等比数列，且公比 q= 1时，an不是等差比数列，所以错误；数列 0,1,0,1 ，是等差比数列，该数列中有 无数多个0,所以正确.答案：三、解答题10. (2018 全国卷n )记$为等差数列an的前

13、n项和，已知ai = - 7, S= 15. 求an的通项公式；(2)求S，并求S的最小值.解：(1)设an的公差为d,由题意得3a1+ 3d= 15.又 a1= 7,所以 d= 2.所以an的通项公式为 an= 2n 9.n a1 + an 22 由(1)得 S =-= n-8n=(n 4) 16,所以当n= 4时，S取得最小值，最小值为 16.11. (2018 成都第一次诊断性检测)已知等差数列an的前n项和为S,a2= 3,S= 16,n N*.(1) 求数列an的通项公式；1(2) 设bn =，求数列bn的前n项和Tn.anan+1解：(1)设数列an的公差为d,T a2 = 3,

14、S4= 16,a1 + d= 3,4 a1+ 6d= 16,解得 a1= 1, d = 2.an = 2n 1.1 1 1 1(2)由题意，bn= 2n 12n+ 1 = 2 2n 1 2n+ 1 ,Tn = b1 + b2 + + bn1 111 1 1 1 + _ +'. '+ 233 52n 1 2n+1=-1 12n+ 1n2n+ 112. 已知Sn为数列an的前n项和，且满足 S 2an= n 4.(1)证明Sn n+ 2为等比数列;求数列S的前n项和Tn.解：(1)证明：当 n = 1 时，由 Si 2an = n 4，得 ai= 3.S 1 + 2 = 4.当 n

15、时，Sn 2an= n 4 化为 S = 2(Sn Sni) + n 4, 即 Sn= 2Si i n+ 4,- Si n + 2 = 2 Sn-1 (n 1) + 2. S n+ 2是首项为4,公比为2的等比数列.(2)由(1)知，S n+ 2 = 2n+1, S = 2n+1 + n 2.于是 Tn= S + $+ S1=2(2018 潍坊统考)若数列an的前n项和S满足S= 2an入(入0, n N*). + 1 2 + 23+ 2 2 + + 2n+1 + n 223n +1、=(2 + 2 +-+ 2 ) + (1 + 2 + + n) 2n22n1 2=2n+2+2n 3n-2-4

16、.数列S的前n项和Tn为2n+ 2+2n 3n24.B组一一大题专攻补短练1. (2018 全国卷川)等比数列中，a1= 1, a5= 4a3.(1)求an的通项公式.记S为an的前n项和，若Sm= 63,求m 解：(1)设an的公比为q,由题设得an= qn 1.由已知得q4= 4q2，解得q= 0(舍去)或q= 2或q= 2.故 an= ( 2) n 1 或 an= 2 1(2)若 an = ( 2)n：贝y S=-由Sm= 63,得(2)m= 188，此方程没有正整数解.In一 2若 an= 2,贝y S=2n 1.1 2由 Sm= 63,得 2 = 64,解得 m= 6.综上，m= 6

17、.证明：数列an为等比数列，并求 an；an, n为奇数，*若入=4, bn =中宓 (n N)，求数列bn的前2n项和Tm.log 2an, n为偶数解：(1) t Sn = 2an入，当 n= 1 时，得 ai=入，当 n2 时，Sn-1 = 2an-1 入，Sn Sn1 = 2an2an1,即 an= 2an 2an 1，an = 2an 1 ,数列an是以入为首项，2为公比的等比数列,c n 1-an =入2.(2) 入=4,. an= 4 2 n1= 2n+1,2n+1, n为奇数，b n n+ 1, n为偶数，_2462n T2n= 2 + 3+ 2 + 5+ 2 + 7+ 2 +

18、 2n+ 1=(2 + 24+ 22n) + (3 + 5+-+ 2n+ 1)4 4n 41 43+ 2n+ 1.n + 14+ n( n+ 2),T2n =+ n2+ 2n 3.1设 T2n =a©1 1+a2a3a3a41 1+a4a5a2n-1a2n1，求 T2n.a2na2n + 1解:(1)证明：由an+3an1 =2an+ 3，得12an+ 312=+ an+13anan33. (2018 厦门质检)已知数列满足a1= 1, an+1=, n N*.2an+ 31又a1= 1,则孑=1,所以数列 丄是首项为1,公差为2的等差数列. an31设bn= a1a2na2n + 111_ _£a2n 1a2n+ 1 a2n'由(1)得，数列 1是公差为2的等差数列,an31所以Qn 1a2n+ 143,即 bn=a2n 1a2n+ 1141=X ， a2n3a2n '所以 bn+ 1 bn= 3 3 a2n + 2a2n114 416=一X