专题07二次函数与线段、周长的最值(解析版)

1、九年级数学下册解法技巧思维培优专题07二次函数与线段、周长的最值【典例1】(2019?永州)如图1,抛物线的顶点 A的坐标为(1, 4),抛物线与x轴相交于B、C两点，与y轴交于点E (0, 3).(1)求抛物线的表达式；(2)已知点F (0, -3),在抛物线的对称轴上是否存在一点G,使得EG + FG最小，如果存在，求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由.(3)如图2,连接AB,若点P是线段OE上的一动点，过点 P作线段AB的垂线，分别与线段 AB、抛 物线相交于点 M、N (点M、N都在抛物线对称轴的右侧)，当MN最大时，求 PON的面积.图1图2【点拨】(1)根据顶点式可求得抛物线的表

2、达式；(2)根据轴对称的最短路径问题，作E关于对称轴的对称点 E',连接E'F交对称轴于G,此时EG+FG的值最小，先求 E'F的解析式，它与对称轴的交点就是所求的点G;(3)如图2,先利用待定系数法求 AB的解析式为：y=- 2x+6,设N (m, - m2+2m+3),则Q (m,- 2m+6), (0W mW 3),表示 NQ=- m2+4m- 3,证明 QMNA ADB,列比例式可得 MN的表达式，根 据配方法可得当 m = 2时，MN有最大值，证明 NGPsADB,同理得PG的长，从而得 OP的长，根 据三角形的面积公式可得结论，并将 m= 2代入计算即可.【

3、解析】解：(1)设抛物线的表达式为：y=a (x- 1) 2+4,把(0, 3)代入得：3 = a (0-1) 2+4,a= - 1,.抛物线的表达式为：y= - ( x - 1) 2+4 = - x2+2x+3 ;(2)存在,如图1,作E关于对称轴的对称点 E',连接EF交对称轴于G,此时EG + FG的值最小, E (0, 3), E' (2, 3),易得E'F的解析式为：y=3x-3,当 x=1 时，y = 3X 1 - 3 = 0, G (1, 0)(3)如图 2, -. A (1, 4), B (3, 0),易得AB的解析式为：y= - 2x+6,过N作NH轴

4、于H,交AB于Q ,设 N (m, - mz+2m+3),贝U Q (m, - 2m+6), (1 < m< 3), 29 1- NQ = ( - m +2m+3) - ( - 2m+6) = - m +4m - 3, . AD II NH, ./ DAB = Z NQM , . Z ADB = Z QMN=90 ,ADB,? ?一 ？,-? 2+4?-32 西=, ?2MN= - （m-2） 2+ , 55- 当m=2时，MN有最大值；过N作NGLy轴于G, . Z GPN = Z ABD, Z NGP = Z ADB = 90 , .ANGPA ADB,? ? 21? ? 42

5、11. PG= NG=91o 3/. OP = OG - PG= - m，2m+3- -m= - m/+ -m+3 , 22'112 3Sapon=殍P?GN= 5 （ m + -m+3）?m,1当 m=2 时，Sapon= 2 x2（- 4+3+3） = 2. 1（方法2:根据m的值计算N的坐标为（2, 3）,与E是对称点，连接 EN,同理得：EP= EN=1,则 0P=2,根据面积公式可得结论）.【典例2】(2019?福田区期末)如图，抛物线y=ax2+bx+c (aw 0),经过点A(T,0),B (3,0),C(0,-3)三点.(1)求抛物线的解析式及顶点 M的坐标；(2)连接

6、AC、BC, N为抛物线上的点且在第一象限，当SaNBC=S"BC时，求N点的坐标；(3)在(2)问的条件下，过点 C作直线l /x轴，动点P (m, - 3)在直线l上，动点 Q (m, 0)在x 轴上，连接 PM、PQ、NQ,当m为何值时，PM + PQ+QN的和最小，并求出 PM + PQ + QN和的最小值.圉L圄2备用图【点拨】(1)将点A、B、C坐标代入解析式，解关于 a、b、c的方程组可得函数解析式，配方成顶点式 即可得点M坐标；(2)过点A作AN/ BC交抛物线于点 N,则有Sabcn=SaABC,求出直线 AN的解析式，构建方程组求 出交点坐标即可；(3)将顶点M

7、(1, -4)向下平移3个单位彳#到点 M' (1, T),连接M' N交x轴于点Q,连接PQ, 此时M'、Q、N三点共线时，PM+PQ + QN=M' Q + PQ+QN取最小值，由点M'、N坐标求得直线 M' N的解析式，即可求得点Q的坐标，据此知m的值，过点N作NE / x轴交MM '延长线于点E,可得M' E = 6、NE=3、M' N = 3v5,即 M' Q+QN=3v5,据此知 m= 3时，PM + PQ+QN 的最小值为 33 + 3;【解析】 解：(1)二.抛物线 y=ax2+bx+c (aw0)

8、经过点 A ( 1, 0), B (3, 0), C (0, -3),?- ?+ ?= 09?+ 3?+ ?= 0, ?= -3解得：葭12.y=/-2x-3= (x- 1) 2-4,则抛物线的顶点 M坐标为(1, - 4);(2)设直线BC解析式y= mx+n,将点 B (3, 0)、C (0, - 3)代入，得:3?+ ?= 0 ?= -3解得：?= 1 , ?= -3则直线BC解析式为y=x-3,过点A作AN / BC交抛物线于点N ,则有图14,Sa BCN= Sa ABC.则直线AN的解析式为y=x+p, 将点 A (-1, 0)代入，得：-1 + p=0,解得：p=1, ，直线AN

9、解析式为y=x+1,f?= ?+ 1?= -1 - ?=由力？-2? 3解得以0或3，点N坐标为(4, 5);(3)将顶点M (1, -4)向上平移3个单位彳#到点 M' (1, T),连接M' N交x轴于点Q,连接PQ,则 MM ' = 3,. P (m, - 3)、Q (m, 0),PQx轴,且 PQ = OC=3,PQ / MM '，且 PQ= MM ',四边形MM' QP是平行四边形，PM = QM ',M'、Q、N 三点共线时，PM+PQ + QN=M'N 的解析式为 y=k2x+b2 (k2W0),1, - 1

10、)、N (4, 5)代入，得：?； ?=4?2 + ?=23，Q + PQ+QN取最小值,设直线M'解得：戏直线M' N的解析式为y=2x-3,当 y = 0 时，x= I，Q (0),即 m= 322此时过点N作NE / x轴交MM '延长线于点 E,在 RtAM' EN 中， M' E=5- ( 1) =6, NE = 4- 1 = 3,M N= 32 + 62 = 3 v5,.M' Q+QN = 3 V5,.当 m= 2时，PM+PQ+QN 的最/、值为 3V5+ 3.【典例3】(2019?霍林郭勒市期末)如图 1,抛物线y= - x2+m

11、x+n交x轴于点A (- 2, 0)和点B,交y 轴于点C (0, 2).(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点M在抛物线上，且 Saaom=2Saboc,求点M的坐标；(3)如图2,设点N是线段AC上的一动点，作DNx轴，交抛物线于点D,求线段DN长度的最大值.图1囱2【点拨】(1)把A (-2, 0), C (0, 2)代入抛物线的解析式求解即可;(2)由(1)知，该抛物线的解析式为y= - x2 - x+2,则易得B (1, 0).然后依据 SzAOM= 2S/XBOC歹U方程求解即可；(3)设直线AC的解析式为y=kx+t,将A (-2, 0), C (0, 2)代入可求得直线 AC的

12、解析式，设 N点坐标为(x, x+2), (-2WxW0),则D点坐标为(x, - x2-x+2),然后列出ND与x的函数关系式,最后再利用配方法求解即可.【解析】解：(1) A (-2, 0), C (0, 2)代入抛物线的解析式 y = - x2+mx+n,-4 - 2?+ ?= 0?= -1得?= 2 一 0,解得?=/，抛物线的解析式为 y = - x2- x+2.(2)由(1)知，该抛物线的解析式为y=-x2-x+2,则易得 B (1, 0),设M (m, n)然后依据Saaom=2Saboc列方程可得:1 C八1-?AOX |n|=2X1 XOBXOC, X2X |- m2- m+

13、2| = 2, 2m2+m= 0 或 m2+m- 4=0, “0 一 一-1 ±"7解得x=0或-1或,2，符合条件的点M的坐标为：(0,2)八，、-1+ "7八或(-1, 2)或(，-2)或2-1- M7 , 2).2(3)设直线AC的解析式为y=kx+b,将 A ( - 2, 0) , C (0, 2)代入得到-2?+?=0 解得?=1 ?= 2?= 2，直线AC的解析式为y=x+2, 设 N (x, x+2) ( 2WxW 0),贝U D ( x, - x2- x+2),ND = ( - x2 - x+2) - ( x+2) = - x2- 2x= - (

14、x+1) 2+1 , 1<0,x= - 1时，ND有最大值1. ND的最大值为1.【典例4】(2019?孝义市期末)综合与探究如图，在平面直角坐标系中，直线 y=x-4分别与x轴，y轴交于点A和点C,抛物线y=ax2-3x+c经 过A, C两点，并且与x轴交于另一点B.点D为第四象限抛物线上一动点(不与点 A, C重合)，过点 D作DFx轴，垂足为F,交直线AC于点E,连接BE.设点D的横坐标为 m.(1)求抛物线的解析式；(2)当/ ECD = Z EDC时，求出此时 m的值；(3)点D在运动的过程中， EBF的周长是否存在最小值？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由.【点拨】

15、(1)由直线y=x- 4分别与x轴、y轴交于点A和点C都在抛物线上，则先求出 A, C坐标，皆 可满足y= ax2 - 3x+c.由y=ax2 - 3x+c中只有两个未知数，所以代入两点即可求系数 a、c,则解析式可 求；(2)作辅助线，构建等腰直角三角形， 证明 EHC是等腰直角三角形，根据解析式表示 D和E的坐标， 根据EC=ED列方程可解答；(3)先确定BF + EF = AB,为定值，当BE最小，即BEXAC时， BFE的周长最小，再由等腰直角三 角形三线合一的性质得：BF=AF=2.5,可解答.【解析】解：(1)在丫=* 4中,当 x=0 时，y= - 4;当 y= 0 时，x= 4

16、.A (4, 0) , C (0, - 4)把 A (4, 0), C (0, - 4)代入 y=ax2- 3x+c 中,得16?- 12+?N0 解得?= 1 ?= -4?= -4，抛物线的解析式是 y=x2- 3x- 4.(2)如图1,过点E作EHy轴，垂足为H.v2? = -? 2 + 4?, .OA = OC=4, ./ OAC = Z ACO = 45° , ./ HEC = Z HCE = 45° .-m2+4m.,点 D (m, m2-3m-4), E ( m, m-4),EH = HC = m, ED = (m-4) - ( m2 - 3m - 4)=.?=

17、 v2?, 当 / ECD = /EDC 时，EC=ED.解得m=0 （舍去）或?= 4 -6;（3）存在. 点D为第四象限抛物线上一动点（不与点A, C重合），0< m<4,在抛物线y= x2 - 3x - 4中， 当 y = 0 时，x2 3x 4=0,解得 xi= - 1 , x2=4, ，点B坐标为（-1,0）. . / FAE=/ FEA = 45° , EF= AF.设ABFE的周长为n,贝U n = BF + FE + BE= BF+AF+BE= AB+BE, . AB的值不变， 当BE最小，即BEAC时， BFE的周长最小. .当 BEXAC 时，/ EB

18、A=Z BAE =45 ° ,BE= AE, BF= AF=2.5.m=4 2.5= 1.5 时， BEF 的周长最小.巩固练习3 一1. （2019?葫芦岛模拟）如图1,在平面直角坐标系 xOy中，直线1: ?= 4?+ ?* x轴、y轴分别父于点 A 和点B (0, - 1),抛物线？?= 2?+ ? ?翟过点B,且与直线l的另一个交点为 C (4, n).(1)求n的值和抛物线的解析式;(2)点D在抛物线上，且点 D的横坐标为t (0v t<4) . DE / y轴交直线l于点E,点F在直线l上, 且四边形DFEG为矩形(如图2).若矩形DFEG的周长为p,求p与t的函数

19、关系式以及 p的最大值；(3) M是平面内一点，将 AOB绕点M沿逆时针方向旋转 90°后，得到 A1O1B1,点A、O、B的对应点分别是点 A1、。1、B1,若 A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A1的横坐标.【点拨】(1)把点B的坐标代入直线解析式求出 m的值，再把点C的坐标代入直线求解即可得到 n的值,然后利用待定系数法求二次函数解析式解答；(2)令y=0求出点A的坐标，从而得到 OA、OB的长度，利用勾股定理列式求出 AB的长，然后根据 两直线平行，内错角相等可得/ ABO = /DEF,再解直角三角形用 DE表示出EF、DF ,根据矩形的周长 公式表示出p

20、,利用直线和抛物线的解析式表示 DE的长，整理即可得到 P与t的关系式，再利用二次函 数的最值问题解答；(3)根据逆时针旋转角为 90。可得A1O1/y轴时，Bi0i/x轴，然后分 点Oi、Bi在抛物线上时，表示出两点的横坐标，再根据纵坐标相同列出方程求解即可；点Ai、B1在抛物线上时，表示出点 B1的横坐标，再根据两点的纵坐标相差AiOi的长度列出方程求解即可.3 一，【斛析】斛：(1) ,直线l: y= x+m经过点B (0, T),m= - 1,，直线l的解析式为y= 4x- 1,;直线l： y=4x-1经过点C(4, n),1 2.抛物线y= /2+bx+c经过点C (4,2)和点 B

21、 (0, - 1),.2X42 +?= -14?+ ?= 2解得?= - ?= -1.抛物线的解析式为y= 25 Y4xT；(2)令 y= 0,贝U -x T = 0,4解得x= 4 x= 3,，点A的坐标为,4、(一，0), 3在 RtAOAB 中,AB=，？?2 ?= V(3)2 + 12 =3, DE / y 轴,在矩形 DFEG 中，EF = DE?cos/ DEF = DE?= 3DE? 5'?DF= DE?sin/ DEF = DE?一 = ?. . p = 2 (DF + EF) =2(4+3)4 -DE, 514DE中E,55点D的横坐标为t (0Vt<4), D

22、 (t, -12- :t - 1), E (t, -t-1), 244DE = (4t-1) - ( £t2- 4tT)= - 2t2+2t,“=畀(-好21)=-5t2+28t,- p= - ：( t -2)2+ 等，且-<0, 55528当t = 2时，p有取大值一；5(3) AOB绕点M沿逆时针方向旋转 90° ,，AiOi/y轴时，B1O1/X轴，设点A1的横坐标为x,如图1,点。1、B1在抛物线上时，点 01的横坐标为x,点B1的横坐标为x+1 ,1 2 5125, , jx - 4Xt=万(x+1)- 4(x+1)- 1,解得x= 4,4如图2,点A1、B

23、1在抛物线上时，点 B1的横坐标为x+1，点A1的纵坐标比点B1的纵坐标大3工x2- 5x- 1= 1 (x+1) 2- 5 (x+1) 1+4,24243解得 x= -12-,综上所述，点A1的横坐标为3或-7-.4122. (2019?深圳)如图抛物线 y= ax2+bx+c经过点 A (- 1, 0),点 C (0, 3),且 OB=OC.(1)求抛物线的解析式及其对称轴；(2)点D、E在直线x= 1上的两个动点，且 DE=1,点D在点E的上方，求四边形 ACDE的周长的最 小值.(3)点P为抛物线上一点，连接CP,直线CP把四边形CBPA的面积分为3: 5两部分，求点P的坐标.【点拨】

24、(1) OB=OC,则点B (3, 0),则抛物线的表达式为：y=a (x+1) (x-3) = a (x2-2x-3)=ax2-2ax-3a,即可求解；(2) CD+AE=A' D+DC',则当 A'、D、C'三点共线时， CD+AE = A' D+DC'最小，周长也最小， 即可求解；11(3) S"CB： S"CA= 2EBX (yc-yp)： -AEX ( yc - yp) = BE： AE,即可求解.【解析】解：(1) .OB = OC, .点 B (3, 0),则抛物线的表达式为： y= a (x+1) (x-3)

25、= a (x2-2x-3) = ax2-2ax-3a,故-3a = 3,解得：a= - 1,故抛物线的表达式为：y= - x2+2x+3，函数的对称轴为：x= 1;(2) ACDE 的周长=AC+DE+CD+AE,其中 AC= v10、DE = 1 是常数,故CD+AE最小时，周长最小,取点C关于函数对称点 C'(2, 3),则 CD = C' D,取点 A' (1,1),则 A' D = AE,故：CD+AE = A' D+DC',则当 A、D、C 三点共线时， CD+AE=A' D+DC'最小，周长也最小,图1四边形 ACDE

26、 的周长的最小值= AC+DE+CD+AE= 40 + 1+A' D+DC' = vl0 + 1 +A' C' = v10 +1 + V13;(3)如图，设直线 CP交x轴于点E,词二直线CP把四边形CBPA的面积分为3: 5两部分,11 一又- Sa pcb： SaPCA= 2EBX (yC-yP)： -AEX ( yC - yP) = BE : AE,则 BE: AE, =3: 5 或 5: 3,3则AE= 或一， 2 2即：点E的坐标为（一,0）或（一，0）,22将点E、C的坐标代入一次函数表达式：y=kx+3,解得：k = - 6或-2,故直线 CP的表

27、达式为：y= - 2x+3或y= - 6x+3联立并解得：x=4或8 (不合题意值已舍去)，故点P的坐标为(4, - 5)或(8, - 45).3. (2019?苏州模拟)如图1,抛物线y=ax2+ (a+2) x+2 (aw0)与x轴交于点 A (4, 0),与y轴交于点B, 在x轴上有一动点P (m, 0) (0vmv4),过点P作x轴的垂线交直线 AB于点N,交抛物线于点 M.(1)求a的值；(2)若 PN: MN= 1: 3,求 m 的值；(3)如图2,在(2)的条件下，设动点P对应的位置是P1,将线段OP1绕点O逆时针旋转得到OP2,3旋转角为 & (0 < a<

28、 90 ),连接AP2、BP2,求AP2+ 2BP2的最小值.【点拨】(1)把A点坐标代入可得到关于 a的方程，可求得a的值；(2)由 OABs pan可用m表示出PN ,且可表示出 PM ,由条件可得到关于 m的方程，则可求得 m 的值；,什 一.?3 一、，L3(3)在y轴上取一点 Q,使 =可证得 P2OBsQOP2,则可求得Q点坐标，则可把AP2+3BP2?22化为AP2+QP2,利用三角形三边关系可知当A、P2、Q三点在一条线上时有最小值，则可求得答案.【解析】解:(1) A (4, 0)在抛物线上，1 .-0=16a+4 (a+2) +2,解得 a= - 2;(2)由(1)可知抛物

29、线解析式为y= - 1x2+ 2x+2,令x= 0可得y=2,OB = 2, OP = m,AP= 4 m, PMx 轴, .OABA PAN,? ? 一 2?=即-=? ? 44-?PN= 2- (4 - m),. , M在抛物线上， - PM= - 2m2+ |m+2, 22' . PN: MN= 1 : 3,.PN: PM=1: 4,12 31 ，.、-,m + 2m+2 =4X5 (4 - m),解得m=3或m= 4 (舍去)；.，一.?3 . 一(3)在y轴上取一点Q,使=如图，?2由(2)可知 Pl (3, 0),且 OB = 2,?3 =且/ P2OB = /QOP2,?

30、缪？ 2.P2OBAQOP2,?3= 一，?293当 Q (0,-)时 QP2= 3BP2, 22，3-AP2+ 2BP2= AP2+QP2>AQ,，当A、P2、Q三点在一条线上时，AP2+QP2有最小值,_ ，_、 一 ，一 9、-A (4, 0), Q (0,-),M45221 AQ= v42 + (2)2= -125-,即 AP2+ 3BP2 的最小值为4. (2019?张家界)已知抛物线 y=ax2+bx+c (aw0)过点A (1, 0), B (3, 0)两点，与y轴交于点 C,OC= 3.(1)求抛物线的解析式及顶点 D的坐标；(2)过点A作AMLBC,垂足为 M,求证：四边形 ADBM为正方形；(3)点P为抛物线在直线 BC下