人教版必修五解三角形精选难题及其答案

1、人教版必修五“解三角形”精选难题及其答案人教版必修五“解三角形”精选难题及其答案一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1 .锐角力8c中，己知。=根，力=一则川+。2 + 3儿的取值范围是（）A. （5, 15 B. （7, 15 C. （7, 11 D. （11, 152 .在48C中，角4B. C的对边分别为a, b, c，且满足sin/=2sinBcosC,则ABC 的形状为（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形3 .在48C中，乙力= 60。，b = l, S.abcW，则”2b+c的值等于 sin4-2sinB+sinC（）A.2B. -V3C. -V

2、3D. 2於3334.在力8c中，有正弦定理：三二吃二三二定值，这个定值就是力8c的外接圆 sinA sinB sinC的直径.如图2所示， DEF中，已知OE = DF,点M在直线E尸上从左到右运动（点 M不与从尸重合），对于M的每一个位置，记ADEM的外接圆而积与ADMF的外A. a先变小再变大B.仅当时为线段ee的中点时，a取得最大值c. 4先变大再变小d. a是一个定值5 .已知三角形A8C中，AB=AC,nC边上的中线长为3,当三角形A8C的面积最大 时，AB的长为（）A. 2/5B. 3v6C. 2J3D. 129 . 在力BC中，若sinBsinC = cos?； 则力8。是()

3、A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形10 .在力8c中，已知乙C = 60.a, b, c分别为乙4,乙B ,乙C的对边，则三+=为 b+c c+a()A. 3 -2V3 B. 1仁3-2机或1 D. 3 + 2611 .设锐角ABC的三内角A、8、C所对边的边长分别为“、氏c,且a = 1, B = 2A,则的取值范围为()A. (V2, V3) B. (1, V3) C. (V2, 2) D. (0, 2)12 .在力BC中，内角力，B, C所对边的长分别为a, b, c，且满足2bcos8 = acosC +ccosA,若b = yj3f则a + c的最大值为()

4、A. 2f3B. 3C. -D. 9二、填空题(本大题共7小题，共35.0分)13 .设/BC的内角4, B, C所对的边分别为a. b, c且acosC + gc = b，则角A的大 小为 :若a = 1，则力8c的周长/的取值范围为 .14 .在/8C中，乙力，乙B,乙C所对边的长分别为a. b, c.己知q +，5c = 2b, sinB = V2sinCt 则sin= .15 .已知力BC中，角A、B、C的对边分别是、h c,若a b = ccosB ccos力，则 ABC的形状是 .16 .在MBC中，若 =巴* 则/8C的形状为 .b tanB17 .在力BC中，角A, B, C的

5、对边分别为a, b, c，若(a - b)sin8 = asin力一 csinC, 且q2 + b2-6(a + b) + 18 = 0,则函就 + 记涓 + 27 通= .18 .如果满足乙4BC = 60。，AC =12, 8C = Ze的三角形恰有一个，那么女的取值范围是19 .已知心幺8。的三个内角aB, C的对边依次为a, b, c，外接圆半径为1，且满足鬻=等,则力8c而积的最大值为 三、解答题(本大题共11小题，共132.0分)20 .在锐角力BC中，a, b, c是角力，B, C的对边，且的a = 2csin4.(1)求角C的大小：(2)若a = 2,且ABC的面积为学，求c的

6、值.21 .在力BC中，角力，B, C的对边分别为a, b, c.已知asinB = Vbcos力.(1)求角A的大小：(2)若a =V7, b = 2,求力BC的面积.22 .已知48C中，内角B, C所对的边分别为a, b, c，且满足asin/- csinC = (a - b)sinB.(1)求角。的大小：(2)若边长c =6，求力BC的周长最大值.23 .已知函数f(x) = V3sinxcosx cos2% 一 ：, x E R.(1)求函数f(x)的最小值和最小正周期；(2)已知力BC内角力，B, C的对边分别为a, b, c,且c = 3, f(C) = 0，若向量 m = (1

7、 r sin4)与元=(2. sinB)共线，求a, b的值.24 .已知力 8c 中，A B C f a = cosB , b = cosA, c = sinC(1)求ABC的外接圆半径和角。的值；(2)求a + b+c的取值范围.25 . 力BC中，用A, B, C的对边分别是a, b, c且满足(2a c)cosB = bcosC, (1)求角8的大小：(2)若4 ABC的面积为为学且b =怖，求a + c的值.26 .已知a, b. c分别为力BC的三个内角力，B, C的对边,a = 2且(2 + b)(sin月一 sinB) = (c b)sinC(1)求角A的大小：(2)求4月8c

8、的面积的最大值.27 .已知函数f (%) = 2cos2% + 2V3sinxcosx(x G R).(I)当4 6 0,用时，求函数f(x)的单调递增区间：(11)若方程/() 1=1在40,刍内恒有两个不相等的实数解，求实数，的取值 范围.28 .已知A、B、。是Zk/BC的三个内角，向量沆=(cos力+ 1,避),元=(sin4, 1)， 且记/n：(1)求角A：(2)若l+sin2Bcos 2B-sin 2B-3,29 .在A8C中，角力，B , C的对边分别是a，b, c,已知sinC+cosC = 1-sin?求sinC的值(2)若滔+b2 =4(a + b)-8,求边c的值.3

9、0 .在力8c中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c,且满足：(a + c)(sin4 sinC)= sinB(a b)(1)求角。的大小；()若c = 2,求a + b的取值范围.1/1答案和解析【答案】.D2. A3. A4.05. A6. A l.D8.B9. B10. B11. A12. A13. 60； (2, 314.5415 .等腰三角形或直角三角形16 .等腰三角形或直角三角形17 . -y18 . 0 2故C=（2 = 2,且ABC的面积为卓，根据力 BC 的面超 Is = -acsinB = -X2XbXsin- = 2232解得：6 = 3.由余弦定理得 c2

10、= a2 + b2- 2abcosC = 4 + 9 - 2X3 = 7c = V7故得。的值为21.（本题满分为14分）解：（1） v asinB = 3bcosA 由正弦定理得siivlsinB = 0sinBcos4 （3分） 又sinB = 0,从而tan月=V5.（5分）由于0 V 4 V 7T,所以4 = . （7 分）(2)解法一：由余弦定理=匕2 + ,2 - 2bccos4,而a =b=2,力=g (9分)得7 = 4 + c2 2c = 13, HJc2 2c 3 = 0.因为c0,所以c = 3.(11分)故4 /8C的而枳为S = gbcsin/ =乎.(14分)解法二

11、：由正弦定理，得急=亮 从而sinB =U，（9分） 又由a b知A B,故sinC = sin(/4 + 8) = sin(B + -) = sinBcos- + cosBsin-=5更,(12分) 33314所以 48c的面积为bcsinA =尊.(14分) 22.解：(1)由已知,根据正弦定理,asinA csinC = (a b)sinB得，a2 c2 = (a KPa2 +b2 c2 = ab.由余弦定理得cosC = 二： 2ab 2又C 6 (0 , n).所以c = 3.(2) v C = - / c = V3/ A + B = 33a b y 3c27rA 7 = -J =

12、2 可得：a = 2sinH, b = 2sinB = 2sin(7 一 力)， ，2 a + b + c = y/3 + 2sh4 + 2sin(学一A)=V3 + 2sinA + 2(? cos 月 + |sin4)=2 岳 in(A + -) + /3 6 由OVHV 且可知，-1 + -,可得：-l + -)l. 366626 a +b + c的取值范围(26，3问.23 .解：(1)由于函数f(x) = V5sinxcosx cos?% = = ：sin2x 上=sin(2x 2 - 1,故函数的最小值为-2,最小正周期为学=见(2)M8C中，由于f(C) = sin(2C l =

13、0,可得2C -:. C =三.人教版必修五“解三角形”精选难题及其答案再由向量记=(1/ sin4)与元=(2, sinB)共线可得sinB 2sin4 = 0. 再结合正弦定理可得b= 2a,且8 = 丁一力.故仃sin(三 /) = 2sin/,化简可得tan/=1，二 / = ” :. B =?.再由=2=-可得= Ar =sinA sinB sinC sinT sinT sinT OerO解得a = /3/ b = 23.24 .解：(1)由正弦定理三=2R = 1, ，R = sm c乙再由 a = cos8, b = cos A,可得却 =汇与，故有 siivlcos?! = s

14、in8cos8, sirvl smB即 sin2 力=sin2B.再由力B C,可得2月+ 2B =n,.C =三.(2)由于a + b + c = cosB + cosA + sinC = sinA + cosA + 1 =夜 sin(4 +：) + 1.再由ova VI 可得土 力 + 三 三，sin0 +-) 、44224,2 0/ . cosB =又0 V 8 V 兀，则8 = (2)/8C的面积为誓,sinB = sin：=生，1, V3- T7 16 n7rl/. S = -acsinB = ac =,ac = 3，乂b = V3，cosB = cos- = -t 24432由余弦

15、定理b? = a2 + c2 - 2qccos8得：a2 + c2 ac = (a + c)2 3ac = (a + c)2 9 = 3,(a + c)? = 12,则a + c = 2/3 26.解:(1) A 月8C中， a = 2,且(2 + b)(sin4 sinB) = (c b)sinC,利用正弦定理可得(2 + b)(a - b) = (c b)c,即产+ c2 -加=4,即接+c2-4 = bc, b2+c2-a2 be 1： cosA =-，(2)再由b2 +一 be = 4,利用基本不等式可得4 2bc bc = be, be 4,当且仅当b = c=2时，取等号，1/1人

16、教版必修五“解三角形”精选难题及其答案此时，力8c为等边三角形，它的面积为Ucsin力= -X2X2X =如， 222故A8C的面积的最大值为：V3.27 .解：(7)/(%) = 2cos2% + 2V3sinxcosx = cos2x + /3sin2x + 12sin(2x +-) +1 6令-+ 2kn 2% + - +2kn(k E Z) 26解得：kn-xkn + keZ) oo由于X G 0/ nf(x)的单调递增区间为：0, B和g，n.(H)依题意：由2sin(2x + $ + l = t + l解得：t = 2sin(2x +设函数月=t与刈 = 2sin(2x +3由于在

17、同一坐标系内两函数在工 0, 内恒有两个不相等的交点.因为：xE0,3所以：2%+台后，y根据函数的图象:当2x +占碍，sin(2x + ) G 1 W 1，2当+马时，sin(2x+W，1, te -1, 2所以：1 t 228 .解：(1) v m/n , y/SsinA cosA = 1, 2(sin力 : cosA :) = 1., sin(A ：) = ： 0V/V7T, 一汴/一汴手. n n . n，A= 力 =-(2)由题知_3(cosB+sinB)2(cosB+sinB)(cosB-sinB)-31/1cosB+sinB -=-3cosB-si nB1+tanB - -er

18、=-3， tann = 2. 1-tanB tanC = tan7r (4 + B) = tan(4 + B) = 29.解：(1) v sinC + cosC = 1 - sinc c o c2C2C2 2sin cos + 1 2sin2 = 1 - sin?C CC 2sin 2sin cos =sin222CCC 2sin (sin cos )=sin/CC1 sin cos =-222CC1 sin2 sinC +cos2 =一2243 sinC =-4(2)由sing - cos| =0得彳V三 vg即: C nV7cosC =4v a2 +b2 = 4(a + b) - 8(a

19、2)2 + (b - 2)2 = 0 a = 2, b = 2由余弦定理得 c? = a2 + b2 2abcosC = 8 + 2V7 c = 1 + /7 30.(本题满分为12分)解：(/)在4 月8c中，(a + c)(sinH - sinC) = sinB(a b),工由正弦定理可得：(a + c)(a - c) = b(a b)9 BPa2 + b2 c2 = abf .(3)，cosC =一， 2由。为三角形内角，C = g.（6分）()由(1)可知2R = ；=1 = M，(7分) a + b = (sinA + sinB)=券sinA + sin(A + ?)=等(：sin4

20、 +；cos 力)=4sin(i4 +1)(10 分)V 0 24 3 .2力+乙笆， 666 1 sin(i4 + 3)4 1, 2 4 + ) 4a + b的取值范围为(2, 4.(12分)【解析】1 .解：由正弦定理可得，*=总=竟E=2,2 b = 2sin8, c = 2sinC 为锐角三角形， . 0 B 90, 0 C 90。且8 + C = 120, 30。V 8 V 90v be = 4sinBsin(120 B) = 4sin8(：cosB + sinB)=2/3sinBcosB + 2sin2B = V3sin2B + (1 - cos2B) = 2sin(2B 30)

21、+ 1,v 300 V B V 90, 30 V 28 30 150。，a isin(2B-30) 1,a 22sin(2B-30) + l4,即2 bc所以sin8cosc sinCcosB = 0,即sin(B C)=。，因为力，B, C是三角形内角，所以B = C.三角形为等腰三角形.故选：A.通过三角形的内角和，以及两角和的正弦函数，化简方程，求出角的关系，即可判断三 角形的形状.本题考查两角和的正弦函数的应用，三角形的判断，考查计算能力，属于基础题.3 .解：v z_A = 60 b = 1, S6ABe = V3 = besinA = ：XlXcX： c = 4, a2x2xXx

22、4x2sine = 71 - cos =一9广货4x-根据公式三角形而积5 = 5bsin6 =乙X 2“ 2./9丁）2 =尸, 24-2.当/ = 5时，三角形而积有最大值.此时 = Vs.A8 的长：2V5. = b2 + c2 - 2bccosA = 1 + 14 2X1X4x9=13,2 a = fl3ta-2b+c _ a _ .1? _ 2 频sinl-2sinB+ sinC si nA3 2故选：A.先利用而积公式求得c的值，进而利用余弦定理可求a,再利用正弦定理求解比值.本题的考点是正弦定理，主要考查正弦定理的运用，关键是利用面积公式，求出边，再 利用正弦定理求解.4 .解：

23、设ADEM的外接圆半径为的外接圆半径为&，则由题意，塔=九点M在直线EF上从左到右运动（点M不与邑F重合），对于的每一个位置，由正弦定理可得：rV，又DE = DF, sin乙DME = sin乙DMF，可得：Rl =r2,可得：A=l.故选：D.设ADEM的外接圆半径为DMF的外接圆半径为&，则由题意，震=义，由正弦定理可得：R =淙，& =结合DE = DF，sinZDME = sinDMF，可得入=1,即可得解.本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了分类讨论思想和转化思想的应用, 属于基础题.5 .解：设力8 = AC = 2xt AD = x.设三角形的顶角仇则由余弦定理得C

24、OS。=（2x）2+x2-9 _ 5%。9故选：4设力8=力。=2%,三角形的顶角8,则由余弦定理求得cos。的表达式，进而根据同角三 角函数基本关系求得sin。，最后根据三角形面积公式表示出三角形而积的表达式，根据 一元二次函数的性质求得而积的最大值时的即可.本题主要考查函数最值的应用，根据条件设出变量，根据三角形的面积公式以及三角函 数的关系是解决本题的关键，利用二次函数的性质即可求出函数的最值，考查学生的运算能力.运算量较大./ Azi 一sinB 1-cosB.一6 .解：力BL|， b = c, =， /. sinBcosA +sinA cosAcosBsinA = sinH,即si

25、n（力 + 8） = sin（7T C） = sinC = sinA.A = C, 又b = c, .ABC为等边三角形.A SoACB = Su。 + S,abc=L 0力 OB - sine + -AB2 -sin- = X2 Xl X sin6 + （O + OB2 - 20A OB 223 24 vCOS0）=sin6 73cos6 += 2sin（0 三）+434OV6V7T,.一563a, bsinA 1, xsin30 a, bsiMVa,即可确 定出x的范围.此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，画出正确的图形是解本题的关键.A8 .解：由于通+就=2言，由向量加法的几何

26、意义，电/。为边BC中点，/8C的外接圆的圆心为。，半径为1,E /L0 2.，三角形应该是以3c边为斜边的直角三角形，48月C = p斜边BC = 2,又|丽=|就|，a AC = 1， AB = 7BC2-AC2 = g-M =汽,Sabc = 7 x |/B| X AC = X 1 X V3 =.故选：B.由万+AC = 2而，利用向量加法的几何意义得出 ABC是以A为直角的直角三角形, 又|三| = |前|，从而可求|AC|, |/8|的值，利用三角形面积公式即可得解.本题主要考查了平面向量及应用，三角形而积的求法，属于基本知识的考查.9.解：由题意sinBsinC =之二 即 sin

27、BsinC = 1 cosCcosB, 亦即 cos(C - 8) = 1,* C9 B G (0 9 7i),* C = B,故选：B.利用cos?g =上箸可得sinBsinC 二卡,再利用两角和差的余弦可求.本题主要考查两角和差的余弦公式的运用，考查三角函数与解三角形的结合.属于基础 题.i n hji a2b2-c2110.解：ab = a2 +b2 - c29_a_b_ _ 所+? +匕-+* _ 不+户+9+匕)._ 1匕+c c+a ab+(a+b)c+c2 a2+b2+(a+b)c故选民先通过余弦定理求得ab和+ / - c2的关系式对原式进行通分，把ah的表达式代入 即可.本

28、题主要考查了余弦定理的应用.解题的关键是找到a, b和c的关系式.11.解：锐角力BC中，角A、B、C所对的边分别为N 反以8 = 24 0 V2力V?,且B+力=3463 一 cosA 4 asi nA V2 2cosA 於，则的取值范围为（V5, V3）.故选A由题意可得0V2/V9且13/ 2ac - ac = ac,二即有：ac = 3 + 3ac 12,a + c的最大值为2vl.故选：A.利用正弦定理化边为角，可求导cosB,由此可得B,由余弦定理可得：3 = a2+c2-ac, 由基本不等式可得：ac3,代入：3 = （。+4cosC + 2cosnsinC, sinC = 2c

29、os力sinC,即sinC（2cos力-1） = 0,由sinCWO,得到cos力=g,又A为三角形的内角，则4 = 60。；V a = 1, sini4 = , B + C = 120S 即C = 120-B，sin(120 8),2si nAsinB sinC 3则 HBC 的周长 I = a+b + c = l+ -sinB + sin(120 B).2V3 ,3 . D . V3 、=1 + -y-QsinB + cosB)=1 + 2dsin8 + / cosB)=1 +2sin(8 + 30),v 0 B 120 30 V 8+30 V 150，,? sin(B + 30) 1,即

30、2 V 1 + 2sin(B + 30) 8用时,三角形无睇、(2) AC = BCsinZ.ABC,矽 12 = Asin60,即k = 8M时,三角形有、解 (3)BCsinABC AC BC, Win60 12 k, SP12 k8梅，三角形有2个解;(4)当0V8C4/C,即0VLK12时，三角形有1个解.综上所述：当0 V k412欧=8梅时，三角形恰有一个解.故答案为：0 V k lcosB + cossinB = sin(A + 8) = sinC = 2sinCcos4 .cos/ 即Tb2+c2-a21 COSA =一，2bc 2 be = b2 + c2 - a2 = b2

31、 + c2 - (2rsin4)2 = b2 + c2 3 2bc 3, 3(当且仅当b = c时，取等号)，ABC而积为S = -besinA - X 3 X =2224则力8c面积的最大值为：逋.4故答案为：” 4利用同角三角函数间的基本关系化简己知等式的左边，利用正弦定理化简已知的等式右 边，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0,可得出 cos/的值，然后利用余弦定理表示出cos4根据cos4的值，得出儿=川+。2一。2,再 利用正弦定理表示出“，利用特殊角的三角函数值化简后，再利用基本不等式可得出儿 的最大值，进而由si1的值及be的最大值，利用三角形的

32、面积公式即可求出三角形ABC 面积的最大值.此题考查了正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，两角和与差的正弦函数公式， 诱导公式，三角形的而积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题 的关键，属于中档题.20 . (1)利用正弦定理可求角C的大小(2)直接利用4 /8C的面积S = gacsinB求解出b,再用余弦定理可得.本题考查了正弦定理，余弦定理的运用和计算能力.21 .由弦定理化简已知可得sin4sin8 = 3sinBcosA 结合sinB H 0,可求tanX =悔， 结合范围OV/Vtt,可求A的值.(2)解法一：由余弦定理整理可得：c2-2c-3 = 0.即可

33、解得。的值，利用三角形面积 公式即可计算得解.解法二：由正弦定理可求sinB的值，利用大边对大角可求8为锐角，利用同角三角函数 基本关系式可求cosB,利用两角和的正弦函数公式可求sinC,进而利用三角形面积公式 即可计算得解.本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，大边对大角，同角三角函数基 本关系式,两角和的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题. 22. (1)通过正弦定理化简已知表达式，然后利用余弦定理求出。的余弦值，得到。的 值.(2)由已知利用正弦定理可得a = 2siM, b = 2sin( 一，利用三角函数恒等变换的应用化简可求a+b + c =

34、2bsinp+2+福，根据4+的范围，利用正弦函数的图象 oO和性质得到结果.本题考查正弦定理与余弦定理的应用，三角函数的值的求法，以及三角函数恒等变换的 应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题.23. (1)化简函数f(x)的解析式为sin(2x - l,可得函数的最小值为2,最小正周 期为日.(2)2A8C中，由f(C) = sin(2C - 1 = 0,求得C = g.再由向量记=(1, sin/)与元= (2, sinB)共线可得sinB - 2sin/= 0,再由B =芋一/可得sin(半一4) = 2sin/l,化简求 得4=，故8 =千,再由正弦定理求得如的值. O乙本题主要考查两角和差的正弦公式、正弦定理、两个向量共线的性质，属于中档题.24. (1)由正弦定理求得外接圆半径R.再由a=cos8, b = cosA，可得鬻=篝，化简 得 sin2 力=sin2B.再由/VBVC,可得24 + 28 =，由此可得C的值.(2)由于。+ b + c = cosB + cosA + sinC =虑sin(4 + g) + L再由。V n V g,利用正弦 函数的定义域和值域求得sin(A + 1 V V7+