空间向量单元检测

1、空间向量单元检测(时间：120 分钟；满分：160 分)1在空间直角坐标系中，已知点A 1,0,2，B1,3,1 ，点M在y 轴上，且M到A与到B 的距离相等，则M的坐标是_2已知a2,1,2、 b2,2,1，则以a 、 b 为邻边的平行四边形的面积为3如图，正方体的棱长为 1， C 、 D 是两棱中点， A 、 B 、 M 是顶点，则点 M 到截面 ABCD 的距离是 _ 4 如图 ，在直三棱柱A1B1C1ABC中 ，BAC，2ABACA1A1，已知G 与E 分别是棱A1 B1 和 CC1 的中点，D 与F 分别是线段AC 与AB 上的动点（不包括端点）若GD EF，则线段DF的长度的取值范

2、围是5如图，在长方体ABCDA1 B1C1D1 中，已知 AB4， AD3， AA12，E，F 分别是棱AB， BC 上的点，且 EBFB 11EC1 与 FD1 所成角的余弦值；DC1（ ）求异面直线（ ）试在面 A1 B1C1 D1 上确定一点 G，使 DG平面 D1EF 1GB12A1DCFAE B如图， 在四棱锥 OABCD 中，底面 ABCD 是边长为1的菱形，ABC，OA底64面 ABCD ， OA2， M 为 OA的中点O（ 1）求异面直线AB 与 MD 所成角的大小；（ 2）求平面 OAB 与平面 OCD 所成的二面角的余弦值MADBC7如图，在底面边长为 1，侧棱长为2 的正

3、四棱柱 ABCDA1B1C1 D1 中， P 是侧棱 CC1 上的一点， CP m z（ 1）试确定 m ，使直线 AP 与平面 BDD1B1 所成角为 600 ；D1C1（ 2）在线段 A1C1上是否存在一个定点Q ，使得对任意的mA1B1，D1Q AP ，并证明你的结论PDCyABx8在正方体ABCD A1B1C1D 1 中，O 是 AC 的中点， E 是线段 D1O 上一点，且 DE1（ 1）若1，求异面直线 DE 与 CD1 所成角的余弦值；D 1（ 2）若平面 CDE 平面 CDO1 ，求 的值A1EDOA9如图， 在直三棱柱 ABC A1B1C1中， AC3，BC 4，AB 5，

4、AA1 4（ 1）设 ADAB ，异面直线 AC1 与 CD 所成角的余弦值为9 ，求的值；25（ 2）若点 D 是 AB的中点，求二面角D CB1B 的余弦值C1A1CAEOC1B1CBB1BD(第9题)10如图，在四棱锥PABCD 中，已知 PB 底面 ABCD ， AB BC ， AD BC ， AB AD 2， CD PD ，异面直线 PA和 CD 所成角等于 600 （ 1）求直线 PC 和平面 PAD 所成角的正弦值的大小；（ 2）在棱 PA 上是否存在一点 E ，使得二面角 A BED 的余弦值为6？若存在，指6出点 E 在棱 PA上的位置；若不存在，说明理由11如图，在棱长为1

5、 的正方体AC1 中， E 、 F 分别为 A1 D1 和 A1 B1 的中点（ 1）求异面直线 AE 和 BF 所成的角的余弦值；（ 2）求平面 BDD1 与平面 BFC1 所成的锐二面角的余弦值；（ 3）若点 P 在正方形 ABCD 内部或其边界上， 且 EP / 平面 BFC1 ，求 EP 的最大值、最小值12如图，已知三棱柱ABCA1 B1C1 的侧棱与底面垂直， AA1ABAC1，AB AC ，M 是 CC1 的中点， N 是 BC 的中点，点 P 在直线A1 B1 上，且满足 A1 PA1B1 （ 1）当 取何值时，直线 PN 与平面 ABC 所成的角最大？（ 2）若平面 PMN

6、与平面 ABC 所成的二面角为 45，试A1P确定点 P 的位置B1C1AMBNC空间向量单元检测答案10,1,02653245 , 1355ABCDA1 B1C1D1AB4AD3AA12 E FAB， BCEB FB1DC11EC1 FD11GB1A2DGD1EF1DCA1B1C1D1GFAEBDDA DC DD1xyzzDC1D(0,0,0)D1 (0,0,2) C1 (0,4,2) E(3,3,0)F (2,4,0)1GAB11 EC1 ( 3,1,2) FD1(2,4,2) 31 DCyEC1 FD1AFEBEC1 FD132 14 2 221xcosEC1 FD12122224222

7、14.32 EC1 FD121 5142GA1 B1C1D1G(x, y,2)DG ( x, y,2) FD1(2,4,2) EF(1,1,0) 7x2DG FD10,2x4 y40,3DG EF0xy0,2y.3GA1 B1C1D1A1 D1 C1 D12DGD1EF 103OABCDABCD1ABCOA64ABCDOA2MOAO1ABMD2OABOCDMAPCDCDPAB AP AOx, y, zA xyzADA(0,0,0),222BCB(1,0,0), P(0,0), D (,0)z222OO (0,0,2),M (0,0,1) 2M1ABMD AB (1,0,0), MD (2 ,2

8、, 1)22ADPxBCyAB MD1,AB MD 5 cosMD23AB32 OP(0,2 ,2) OD(2 ,2 ,2)222OCDn1( x, y, z)22z0yn1 OP0,n1OD022 2x y 2z 022z2x0 y4n1 (0,4,2) 6OABn2 (0,1,0)cosn1.n22 29n , n2 1231nnOABOCD2 2 1037如图，在底面边长为1，侧棱长为2 的正四棱柱ABCDA1B1C1 D1 中， P 是侧棱 CC1 上的一点， CPm （ 1）试确定 m ，使直线 AP 与平面 BDD1B1 所成角为 60o；（ 2）在线段 A1C1 上是否存在一个定

9、点 Q ，使得对任意的 m ， D1Q AP ，并证明你的结论解：以DA , DC , DD1 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系D xyz ，则有A(1， 0， 0)，B(1， 1， 0)，P(0， 1， m)， C(0， 1， 0)，zD (0， 0，0)， B1(1， 1， 2)， D 1(0， 0， 2)D 1C1（ 1）有 BD( 1,1,0),BB1 (0,0,2),A1B1AP( 1,1, m), AC (1,1,0) 3 分又由AC BD0, AC BB10知AC为平面 BB的一个法向量P1 D1D设 AP 与 面BDD1 B1所成的角为，|AP AC|36DC则 sinc

10、os 2=，解得 my|AP| |AC|2222 2 m3AB故当 m6 时，直线 AP 与平面 BDD1 B1 所成角为x60o 5 分3（ 2）假设在 A1 C1上存在这样的点Q，设此点的横坐标为x，则 Q(x,1x,2),D1Q( x,1x,0) 依题意，D1QAPAPD1 Q0x(1x)0x1，2即 Q 为 A1 C1 的中点时， 满足题设的要求10 分8ABCDA1B1C1D 1O ACED1OD1E11DE CD1D 12CDE CDO1A11DA, DC, DD1ED xyzA(100)O1 1 0C0 1 0D1(0 0 1)D22OE111A4421 DE1 1 1CD10

11、1 1 442cosDE CD1DE CD13:Zxxk Com6|DE|CD1|AE CD13 62CD 1On1 =(x1y1z1)n1 ·CO0n1 ·CD10111yz 112 x12 y101 1) y1z1x111n =(10D 1E EOE)1DE =12(1 ) 2(112(1) 2(1) 1:ZXXKCDEn2(x2y2z2)n2 ·CD0n2 ·DE0EOC1B1CB357y20x2=2z2 n2 ( 2 0 )x2y2z22(1)2(1) 10CDE CD1Fnn0 2 101·29ABCA1B1C1AC3 BC4AB5A

12、A141ADABAC1 CD9252DABDCB1BC1B1CA,CB,CC1CxyzA1AC3 BC4 AA14A(3，0，0)B(0,4,0)C(0，0，0) C1(0,0,4) 2CB1 AC1( 3,0,4)ADABADD(33,4,0)CD( 33,4,0)( 9 )AC1 CD925|cosAC1 ,CD |5 (3|99 |1691 53)2225221B1 (0，4，4)D ABD (3，2，0)2CD3，2，0)CB11(1,0,0) 7(0，4，4)CBB1C1n2DB1Cn2( x0 , y0 , z0 )n1n2DCB1Bn2CD0,32 y00, x04y03 z03

13、CB12 x0n20,4 y04z00,n2(4,3,3)cosn1 ，2n1 n242 34n| n1| n2 |3417D B1CB2 34 101710PABCDPB ABCDAB BCAD BCABAD2CD PDPACD6001PCPAD2PAEABED66EPABBABCBPxyz BxyzBCaBPbB(0 0 0) A(2 0 0) C(0 a，0) D(2 2 0)P(0 0 b)PD (22b) CD (2 2 a，0) CD PD CD ·PD0 442a0a4PA(20b)CD(220)PACD60° PACD141PA CD2b2 4·2

14、 22b 2 21 PC(042)AD(020)PA(202)PAD1( x1y zn11)n1AD0,y1 04n1 PA 0,x1 z1 0.x1 1z111n (1 0 1)PCPADsinPC n1210PC n120210PCPAD10610 2EPE PAE(x y z)( x y z 2) (2 02) E(2 0 2 2) DEB n2 ( x2 y2 z2)n2BE0,x21z2 , 8nBD0,x2y2 ,2z2x21 y1n2 ( 1 1 )2ABEn3 (0 1 0)ABEDcosn2n36|1 |622n2n36 6 23 2()E EPAA 10111AC1EFA1

15、D1A1 B11AEBF2BDD1BFC13PABCDEP /BFC1EPDA, DC, DD1DxyzA(1,0,0) E( 1 ,0,1) B(1,1,0) F (1, 1 ,1) D (0,0,0)D1 (0,0,1) C1 (0,1,1)221 AE( 1 ,0,1) BF(0,1 ,1)22cosAE, BF1455 3544AE BF452DB (1,1,0) DD1(0,0,1) CA(1,1,0)DB CA0 DD1CA 0CABDD 1CA( 1 ,1 ,0)22BF0,1BC1,0,1,12BFC 1n ( x, y, z)n BF1 yz0xz2nBC1(x, y, z)

16、 (1,0,1)x zy2z0z1 x 1, y2BFC1n(1,2,1)MA n113cosMA, n2| MA | n |2662 BDD1BFC13 663P(x, y,0) 0 x 1,0 y 1EP ( x1 , y, 1)EP n0 (x1) 2y 1 022x2 y30 x1, 02 y31y314224| EP|( x1 ) 2y 21(2 y 1)2y2 15 y24 y 25( y2 )26255134y4y230| EP |min55y329 EP4max4EP2930 104512ABCA1 B1C1AA1 AB AC1，ABACM CC1N BCPA1B1A1PA1 B11PNABC2PMNABC45PA1PC1B11AB,AC,AA1AxyzA(0,0,0)B(1,0,0)C (0,1,0)AMN ( 1 , 1 ,0) M (0,1, 1 ) A (0,0,1) B (1,0,1)C22211BNP( x, y, z)A1Px , y , z1 A1B11,0,0A1PA1B1P,0,0PN(1