第二十三章_一元二次方程全章导学案

1、第二十一章一元二次方程导学案1、元二次方程（1）学习目标:1、会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想，提高归纳、分析的能力。2、理解一元二次方程的概念；知道一元二次方程的一般形式；会把一个一元次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。重点：由实际问题列出一元二次方程和一元二次方程的概念。难点：由实际问题列出一元二次方程。 准确认识一元二次方程的二次项和系数以 及一次项和系数还有常数项。导学流程: 自学课本导图，走进一元二次方程分析：现设雕像下部高x米，则度可列方程去括号得你知道这是一个什么方程吗？你能求出它的解吗？想一想你以前学过什么 方程，它的特点是

2、什么?探究新知 自学课本2页问题1、问题2 （列方程、整理后与课本对照），并完成下列各题:整理得整理得问题1可列方程问题2可列方程1、一个正方形的面积的2倍等于50，这个正方形的边长是多少?2、一个数比另一个数大3,且这两个数之积为这个数，求这个数。3、一块面积是150cm2长方形铁片，它的长比宽多 5cm,则铁片的长是多少?观察上述三个方程以及两个方程的结构特征，类比一元一次方程的定义，自 己试着归纳出一元二次方程的定义。展示反馈【挑战自我】判断下列方程是否为一元二次方程。(5)2? + 3厂1； (6)3x(x-l)=5(x+2>关于H的方程(8)关于y的方程妝2-3+2 二 0；

3、(/ + l)b + (M-l)y+R = 0 其中为一元二次方程的是：【我学会了】1、只含有个未知数，并且未知数的最高次数是方程，叫做一元二次方程。,这样其中二次项,.是一次项,是常数项,二次项系数，元二次方程的一般形式:一次项系数。自主探究:自主学习P3页例题，完成下列练习：将下列一元二次方程化为一般形式, 并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数。(1) 4x2 =81(2)3x(x-1) =5(x+2)【巩固练习】教材第4页练习元二次方程(2)学习内容1 . 一元二次方程根的概念；2 . ?根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目. 学习目标了解一

4、元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解 决一些具体问题.重难点关键1 .重点：判定一个数是否是方程的根；2 . ?难点关键：由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实 际问题的根.学习过程一、自学教材针对目标自学教材 2页一3页内容，会规范解答 4页练习题1、2.二、合作交流，解读探究10分钟后检查你是否能正确、规范解答下列题先独立思考，有困难时请求他人帮助，目:1. 下面哪些数是方程 2x4、关于X的一元二次方程(a-1) X +x+a+10x+12=0的根？-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.2. 你能用以前所学的

5、知识求出下列方程的根吗?(3) x2-3x=0(1) x2-64=0( 2) 3x2-6=0应用迁移，巩固提高a x2+bx+c=0(a 丰 0)的一个根，求代数式 2009(a+b+c)-1=0的一个根为0,则求a的值三、总结反思，自查自省 选择题1. 方程 x ( x-1) =2A. X1=0, X2=12. 方程 ax (x-b)的两根为(B.(b-x)A. xi=b , X2=a).X1=0 , X2=-1=0的根是(1X1=b, X2=aC. xi=1, x2=2 ).1C. X1=a, X2= aD. xi=-1 , x2=2D. X1=a2, X2=b23、若x=1是关于X的一元

6、二次方程 的值3.已知2/acx=-1 是方程 ax +bx+c=0 的根(b 丰 0),贝U J+ =().V b bB. -1C. 0A. 1填空题1如果2 .已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，贝U m的值为2 2x -81=0 ,那么x -81=0的两个根分别是 X1 =-一 2 ,X2=X2=3. 方程(x+1) 2+J2x (x+1 ) =0,那么方程的根X1=综合提高题2 21 .如果x=1是方程ax +bx+3=0的一个根，求(a-b) +4ab的值.2.如果关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (0)中的二次项系数与常数项之和等于 一次项系数，求证：-1必是该

7、方程的一个根.3、配方法（一）学习目标：1、初步掌握用直接开平方法解一元二次方程，会用直接开平方法解形如x2=p（p> 0)或(mx+n 2 = p(p > 0)的方程 2、理解一元二次方程解法的基本思想及其与一元一次方程的联系，体会两者之间相互比较和转化的思想方法;3、能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性。重点：掌握用直接开平方法解一元二次方程的步骤。难点：理解并应用直接开平方法解特殊的一元二次方程。导学流程: 自主探索自学P5问题1、及思考完成下列各题: 解下列方程:2(1) x 2 = 0;2(2) 16x -25= 0.(4) 12 (2-X)2-9 = 0.总结归纳如

8、果方程能化成x2= P或（mx+n） 2 = p（p0）形式，那么可得巩固提高仿例完成P6页练习 课堂小结你今天学会了解怎样的一元二次方程？步骤是什么?达标测评1、解下列方程:2(2) 45-x = 0;2(3) x2-12=0(1) x = 169; x2-2 - =04(5) 2x2-3=0 3x2-y=0(7) 12y 25= 0;(8) (t 2) (t+1 ) =0;(9) x2+2x+1=0(1O) x2+4x+4=0(11) x2-6x+9=0(12) x2+x+1=044、配方法（二）学习目标:1、掌握用配方法解数字系数的一元二次方程;2、理解解方程中的程序化，体会化归思想。重

9、点：用配方法解数字系数的一元二次方程;难点：配方的过程。导学流程 自主学习 自学P6-8页。精讲点拨上面，我们把方程x2+6x-16 = 0变形为（X+3）2 = 25,它的左边是一个含有未知数的式，右边是一个常数.这样，就能应用直接开平方的方法求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法.练一练：配方.填空:X2 + 6x+() = ( X +2X 8x+() = (x X2 + 3x +() = ( X+2从这些练习中你发现了什么特点(1)(2)2；)2；）2；.合作交流 用配方法解下列方程:(2) X2+ 3X + 1 = 0.解（1）移项，得X2 6X =方程左边配方，得X2 2 X 3+

10、2 = 7 +X1 =，X2=所以原方程的解是（2）移项，得 X2+ 3X = 1.方程左边配方，得x2+3x+(所以原方程的解是:Xi =X2 =总结规律用配方法解二次项系数是1的一元二次方程？有哪些步骤?深入探究自学P7页例1，完成练习:用配方法解下列方程:(2) 3x2 +2x-3 = 0巩固提高：完成P9页练习 课堂小结 你今天学会了用怎样的方法解一元二次方程？有哪些步骤?5、公式法学习目标1、经历推导求根公式的过程，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力;2、会用公式法解简单系数的一元二次方程;3进一步体验类比、转化、降次的数学思想方法。重点：用公式法解简单系数的一元二次方程;难点

11、：推导求根公式的过程。导学流程 复习提问:1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些?2、用配方法解方程3x I利用这个公式xr我们可以由一元二次方程中系姿9 a、b、c的值，直接求得方 ,1 I1-11 I1 I11I1程的解，这种解方程的方法叫做 公式法.-6x-8=0;3、你能用配方法解下列方程吗？请你和同桌讨论一下2ax + bx+ c = 0(aM 0).推导公式用配方法解一元二次方程 ax2 + bx+ c= 0( aM 0).因为aM0,方程两边都除以a,得移项，得配方，得x2+ bx+a2 I bx +x=a_ca即 (x=因为 a M 0，所以4 a 2 > 0，当b2 -

12、 4 ac > 0时，直接开平方，得合作交流b24 ac 为什么一定要强调它不小于 0 呢？如果它小于 0 会出现什么情况呢？ 展示反馈学生在合作交流后展示小组学习成果。当 b2 4ac> 0 时,方程有的实数根； （填相等或不相等）当 b2 4ac= 0 时,方程有的实数根Xl= X2 =当 b2 4acv 0 时,方程巩固提高： 完成 P12 页练习课堂小结1、元二次方程的求根公式是什么？2、用公式法解一元二次方程的步骤是什么？6、因式分解法学习目标:1. 会用因式分解法（提公因式法、公式法）法解某些简单的数字系数的一元二次方程。2. 能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方

13、程的解法，体会解决问题方法的多样性。 重点、难点1、重点：应用分解因式法解一元二次方程2、 难点：灵活应用各种分解因式的方法解一元二次方程.P12 14,完成课前预习【课前预习】阅读教材1:知识准备 将下列各题因式分解 am+bm+cm= ; a 因式分解的方法： 解下列方程.（1） 2x2+x=0 （用配方法）（2） 3x2+6x=0 （用公式法）22-b =2 ± 2ab+fc2=2:探究仔细观察方程特征，除配方法或公式法，你能找到其它的解法吗?3、归纳：（1）对于一元二次方程，先因式分解使方程化为再使，从而实现_法叫做。（2）如果 a = 0，那么 a = 0 或 b = 0，

14、的形式,，这种解这是因式分解法的根据。如：如果(X +1)(x-1) = 0，那么 X +1 = 0 或练习1、说出下列方程的根:（1） x（x 8） = 0(2) (3x + 1)(2x-5) = 0练习2、用因式分解法解下列方程：（1） x 2-4x=0 4x2-49=O5x2-10x+20=0用因式分解法解下列方程5x - 4x = 0x(x- 2) + X - 2 = 0【课堂活动】活动1:预习反馈 活动2:典型例题 例1、(1)(3)()3x(2x+ 1)= 4x+ 2(x+ 5)2 = 3x+ 15例2、(1)用因式分解法解下列方程4x2-144=02 2(2)(2x-1) =(3

15、-x)(4) 3x2-12x=-125x2 -Zx-1 =x2 -2x + 344元二次方程根的判别式（选学）学习目标1、了解什么是一元二次方程根的判别式;2、知道一元二次方程根的判别式的应用。重点：如何应用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况;难点：根的判别式的变式应用。导学流程 复习引入元二次方程ax2+ bx+ c= 0 （aM 0）只有当系数a、b、c满足条件b2 4ac 0时才有实数根观察上式我们不难发现一元二次方程的根有三种情况: 当b2 4ac>0时，方程有.的实数根；（填相等或不相等）当b2 4ac= 0时，方程有.的实数根Xl = X2 = 当b2 4acv 0时，方

16、程.精讲点拨这里的b2 4ac叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示,用它可以直接判断一个一元二次方程是否有实数根，如对方程x2 x + 1= 0,可0直接判断它.由 b2 4ac=合作交流 方程根的判别式应用1、不解方程，判断方程根的情况。(1)+ 2x 8 = 0;(2) 3x2= 4x 1;(3)2(3x 2) 6x = 0;(4) X2+ (岛 + 1)x = 0；(x + 8)= 16;(6) (x + 2) (x 5)= 1;2.说明不论m取何值，关于x的方程(x- 1) (X 2)= m总有两个不相等的实数根.解：把化为一般形式得2 = b 4ac=拓展提高应用判别式来确

17、定方程中的待定系数。(1) m取什么值时，关于X的方程x2-2x + m-2= 0有两个相等的实数根？求出这时方程的根 .(2) m取什么值时，关于X的方程x2-(2m + 2)x + m-2m 2 = 0没有实数根?课堂小结1、使用一元二次方程根的判别式应注意哪些事项？ 2、列举一元二次方程根的判别式的用途。8、习题课学习目标能结合具体问题选择合理的方法解一元二次方程， 培养探究问题的能力和解 决问题的能力。重点：选择合理的方法解一元二次方程，使运算简便。难点：理解四种解法的区别与联系。复习提问（1）我们已经学习了几种解一元二次方程的方法?（2）请说出每种解法各适合什么类型的一元二次方程?精

18、讲点拨观察方程特点，寻找最佳解题方法。一元二次方程解法的选择顺序一般为:直接开平方法因式分解 I.公式法，若没有特殊说明一般不采用配方法，其中，公式法是一把解一元二次方程的万能钥匙，适用于任何一元二次方 程；因式分解法和直接开平方法是特殊方法， 在解符合某些特点的一元二次方程 时，非常简便。练习一：分别用三种方法来解以下方程2(1) X -2x-8=03X2-24x=0用因式分解法:用配方法:用公式法:用因式分解法:用配方法:用公式法:(1)212y 25= 0;（你用法）(2)X2 2x= 0;（你用法）(3)X (X + 1) 5x = 0;（你用法）(4)2X 6x+ 1 = 0;（你用

19、法）练习二：你认为下列方程你用什么方法来解更简便。(5) 3x2 = 4x 1;(6) 3x 2 = 4x.(你用法)(你用法)对应训练1、解下列方程2(1) (2x 1) 1 = 0;1 22(x+ 3) = 2；(3) X2 + 2x 8= 0;3x2= 4x 1;2、当x取何值时，能满足下列要求？(1) 3x2 6的值等于21; (2) 3x2 6的值与x 2的值相等.3、用适当的方法解下列方程:2(1) 3x 4x = 2x；1 2(2) 1 (x + 3) = 1;3课堂小结根据你学习的体会，小结一下解一元二次方程一般有哪几种方法？通常你是如何选择的？和同学交流一下.9 、 实际问题

20、与一元二次方程 (1)教学内容 由“倍数关系”等问题建立数学模型，并通过配方法或公式法或分解因式法 解决实际问题教学目标 掌握用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决一些具体问题通过复习 元一次方程组等建立数学模型，并利用它解决实际问题，引入用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决实际问题重难点关键1 重点：用“倍数关系”建立数学模型 2难点与关键：用“倍数关系”建立数学模型 教学过程一、复习引入 (学生活动)问题 1：列一元一次方程解应用题的步骤？审题，设出未知数.找等量关系.列方程，解方程，答.二、探索新知 上面这道题大家都做得很好， 这是一种利用一元一次方程的数量关系建立的 数学模型，

21、那么还有没有利用其它形式， 也就是利用我们前面所学过的一元二次 方程建立数学模型解应用题呢？请同学们完成下面问题(学生活动)探究 1: 有一人患了流感 ,经过两轮传染后共有 121人患了流感 , 每轮传染中平均一个人传染了几个人 ?分析: 1 第一轮传染 第二轮传染后解 : 设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人, 则第一轮后共有 人患了流感 ,第二轮后共有 人患了流感 .列方程得 1+x+x(x+1)=1212+2x-120=02=10x解方程 , 得 x1=-12,根据问题的实际意义 ,x=10答: 每轮传染中平均一个人传染了 10个人.思考: 按照这样的传染速度 , 三轮传染后有多少人患

22、流感 ?通过对这个问题的探究 , 你对类似的传播问题中的数量关系有新的认识吗 四.巩固练习 .1. 某种植物的主干长出若干数目的支干 , 每个支干又长出同样数目的小分支 , 主 干, 支干和小分支的总数是 91, 每个支干长出多少小分支 ?解:设每个支干长出 x 个小分支,2.要组织一场篮球联赛 , 每两队之间都赛 2 场,计划安排 90场比赛,应邀请多少 个球队参加比赛 ?五、归纳小结 本节课应掌握：1. 利用“倍数关系”建立关于一元二次方程的数学模型，并利用恰当方法解 它2. 列一元二次方程解一元二次方程的一般步骤（ 1）审（ 2）设（ 3）列（ 4） 解（5）验检验方程的解是否符合题意，

23、 将不符合题意的解舍去。 （6） 答10、实际问题与一元二次方程 教学目标掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题。 重难点关键1 .重点：如何解决增长率与降低率问题。2.难点与关键：解决增长率与降低率问题的公式a（1 ± X）n=b,其中a是原有量,x增长（或降低）率,n为增长（或降低）的次数,b为增长（或降低）后的 量。教学过程探究2两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成 本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生 产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大 ？分析：甲种药品成本的年平均下降额为（5

24、000-3000）-2=1000（元）(6000-3600)乙种药品成本的年平均下降额为2=1200（元）乙种药品成本的年平均下降额较大 .但是,年平均下降额（元）不等同于年平 均下降率解：设甲种药品成本的年平均下降率为X,则一年后甲种药品成本为 元,两年后甲种药品成本为元,依题意得5000（1-X ） 2=3000解方程,得X1止0.225 , X 1 .775 （不合题意，舍去 ）答:甲种药品成本的年平均下降率约为 22.5%.算一算：乙种药品成本的年平均下降率是多少 ？比较:两种药品成本的年平均下 降率。思考：经过计算，你能得出什么结论？成本下降额较大的药品，它的成本下降 率一定也较大吗

25、？应怎样全面地比较对象的变化状况？（经过计算，成本下降额较大的药品，它的成本下降率不一定较大，应比较降前及 降后的价格.） 小结：类似地 这种增长率的问题在实际生活普遍存在，有一定的模式若平均增长（或降低）百分率为X,增长（或降低）前的是a,增长（或降低）n次后 的量是b,则它们的数量关系可表示为a（1 ± X）n=b（中增长取+,降低取一） 二、巩固练习（列出方程）1 某林场现有木材a立方米，预计在今后两年内年平均增长 P%那么两年后 该林场有木材多少立方米？2某化工厂今年一月份生产化工原料 15万吨，通过优化管理，产量逐年上升,第一季度共生产化工原料60万吨，设二、三月份平均增长

26、的百分率相同，均为 x，可列出方程为3 公司 2001 年的各项经营中，一月份的营业额为 200 万元，一月、 ? 二月、 三月的营业额共 950 万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率4. 某种细菌，一个细菌经过两轮繁殖后，共有 256 个细菌，每轮繁殖中平 均一个细菌繁殖了多少个细菌？三、应用拓展例 2某人将 2000 元人民币按一年定期存入银行，到期后支取 1000 元用于 购物，剩下的 1000 元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不 变，到期后本金和利息共 1320 元，求这种存款方式的年利率(1)(2)例2.与整个封面长宽比例相同的矩形， 积的四分之一，上

27、、下边衬等宽，左、右边衬等宽, 度（精确到0.1cm）？九年级数学同步练习11、实际问题与一元二次方程（3）教学目标掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题.利用提问的方法复习几种特殊图形的面积公式来引入新课，解决新课中的问题.重难点关键1 . ?重点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并 运用它解决实际问题.2 . ?难点与关键：根据面积与面积之间的等量关系建立一元 导学流程：一、复习引入说出三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形及圆的面积公式 （学 生口答，老师点评）二、探索新知现在，我们根据刚才所复习的面积公式来建立一些数学模型，解决一些实际问

28、题.例1.某林场计划修一条长750m断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m2, ?上口宽比渠深多2m渠底比渠深多0.4m.渠道的上口宽与渠底宽各是多少？如果计划每天挖土 48m，需要多少天才能把这条渠道挖完？如图，要设计一本书的封面，封面长 27cm宽21cm ?正中央是一 ?如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面 ?应如何设计四周边衬的宽思考：（1）本体中有哪些数量关系？（2）正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形如何理解？（3）如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？ （）你有几种解法？解法一：设上下边衬宽均为9xcm,左右边衬宽均为7xcm,则有:解法二：设正中央的矩形两边分别为

29、9xcm, 7xcn。三、课堂检测（一）、选择题1. 直角三角形两条直角边的和为A .后2. 有两块木板,一块宽的3倍，B . 5 C第一块长是宽的已知第二块木板的面积比第一块大7 ,面积为6,则斜边为（）.岳 D . 72倍,第二块的长比第一块的长少 2m宽是第108m ,这两块木板的长和宽A B C D.第一块木板长 .第一块木板长.第一块木板长 .以上都不对16m 宽 27m;10m 宽 18m;18m宽9m第二块木板长12m宽6m第二块木板长9m 宽4.5m，第二块木板长7m,宽13.5m;分别是（）.12 、实际问题与一元二次方程教学目标 掌握建立数学模型以解决如何全面地比较几个对象

30、的变化状况的问题 复习一种对象变化状况的解题过程， 引入两种或两种以上对象的变化状况的 解题方法重难点关键1 重点：如何全面地比较几个对象的变化状况2 难点与关键：某些量的变化状况，不能衡量另外一些量的变化状况 导学流程 ：一、复习引入 问题：某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售 出 500张，每张盈利 0.3 元，为了尽快减少库存， 商场决定采取适当的降价措施， 调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低 0.1 元，那么商场平均每天可多售出 100 张，?商场要想平均每天盈利 120元，每张贺年卡应降价多少元 ?老师点评：总利润=每件平均利润X总件数.设每张贺年卡应降价x元，？则每件平均利润应是 元，总件数应是解：设每张贺年卡应降价 x 元二、自主探究：新华商场销售甲、乙两种冰箱，甲种冰箱每台进货价为2500 元，市场调研表明：当销售价为 2900元时，平均每天能售出 8台；而当销售价每降低 50 元 时，平均每天就能多售出 4 台乙种冰箱每台进货价为 2000元，市场调研表明： 当销售价为 2500元时， ?平均每天能售出 8 台；而当销售价每降低 45元时，平 均每天就能多售出 4 台，?商场要想使这两种冰箱的销售利润平均每天达到 5000 元，那么两种冰箱的定