用向量方法解立体几何的的题目

1、(2)求线面角设丨是斜线丨的方向向量，n是平面的法向量,则斜线丨与平面所成的角=arcsin|1丨11 nJ用向量方法求空间角和距离前言：在高考的立体几何试题中，求角与距离是常考查的问题，其传统的“三步曲”解法：“作图、 证明、解三角形”，作辅助线多、技巧性强，是教学和学习的难点向量进入高中教材，为立体 几何增添了活力，新思想、新方法与时俱进，本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题.1. 求空间角问题空间的角主要有：异面直线所成的角； 直线和平面所成的角；(平面和平面所成的角)二面 角.(1)求异面直线所成的角亦设a、b分别为异面直线a、b的方向向量,则两异面直线所成的角:-=arccos|

2、|a|b|(3)求二面角方法一：在:内a 丨，在内b- l，其方向如图，则二方法二：设厲川2,是二面角面角-1 - 平面角=arcco|a|b|-丨- 1的两个半平面的法向量，其方向一个指向内侧，另一个指向外侧，则二面角:=arcco 11比 |a|cos)| =d =|1 (此方法|n|移植于点面距离的求法)方法二：在a上取一点A,在b上取一点B,设a、b分别为异面直nib)，则异面直线a、b的距离例1.如图，在棱长为2的正方体 ABCD-ABQiU中，E、F分别是棱ASAB的中点.(I)求异面直线DE与FC,所成的角；(II，求BG和面EFBD所成的角;2. 求空间距离问题构成空间的点、线

3、、面之间有七种距离，这里着重介绍点面距离的求法，像异面直线间的 距离、线面距离、面面距离都可化为点面距离来求.(1)求点面距离方法一：设n是平面的法向量，在:-内取一点b,则a到的距离 d =| AB | cost|n|方法二：设A0 _ :于O,利用AO _和点0在内 的向量表示，可确定点 0的位置，从而求出|a0|.方法一：找平面0使bu B且aL 0，则异面直线a、b的距离就'LdeLfg(III，求R到面EFBD勺距离|DE|L|FCi | I' L记异面直线DE与 FCi所成的角为丄则:等于向量DE与FCi的夹角或其补角，COS：珂 I阿1解：(I)-(DDi + D

4、1E)LCFB1 + BiCi)I DE j FCi |精彩文档- 222=arccos转化为直线a到平面：的距离，又转化为点A到平面：的距离.(II )如图建立空间坐标系D xyz ,忒(1,0,2),DB 二(2,2,0)设面EFBD的法向量为J =(x, y,1)DBo O- -T-n-fn*得 (-2,2,1)又BG=(-2,0,2)记BG和面EFBD所成的角为二则 sin ： =|cosBCl,n |=| BCI J | -|BG| n|2-BG和面EFBD所成的角为4(III )点B到面EFBD的距离d等于向量BB,在面EFBD的法向量上的投影的绝对值，d二卸丨n| 3点评：1.

5、作为本专题的例1,首先选择以一个容易建立空间直角坐标系的多面体一正方体为载体， 来说明空间角和距离的向量求法易于学生理解.2. 解决(1)后，可让学生进一步求这两条异面直线的距离，并让学生体会一下：如果用传统方 法恐怕很难(不必多讲，高考对公垂线的作法不作要求)3. 完成这3道小题后，总结：对于易建立空间直角坐标系的立几题，无论求角、距离还是证 明平行、垂直(是前者的特殊情况)，都可用向量方法来解决，向量方法可以人人学会，它程 序化，不需技巧.例2.如图，三棱柱中，已知 A BCD是边长为1的正方形，四边形AA B B是矩形，平面AA B B 平面ABCD。(I)若AA丄1，求直线AB到面DA

6、C的距离.(II )试问：当AA的长度为多少时，二面角D - AC - A的大小为60 ?解：(I)如图建立空间坐标系 A xyz ,DA =(-1,0,a)DC =(0,1,0)设面daC的法向量为m =(x, y,1)'茁 DA 0=0 则1j DC n = 0得 口 = (a,0,1)直线AB到面DAC的距离d就等于点A到面 DAC的距离,也等于向量AD在面DAC的法向量上的投影的绝对值,(II )易得面aaC的法向量屯=(-1,1,0)向量口也的夹角为60”-a TT T_由 cos ni, n2"n2-_- = 得 a = 1| ni |n2 | Ja +12当AA

7、 =1时，二面角D-AC-A的大小为60 .点评：1 通过(I),复习线面距离转化为点面距离再转化为一向量在一向量(法向量)投 影的绝对值的解题思路与方法.2 通过(II ),复习面面角转化为两向量的夹角或其补角的方法，也可借此机会说明为什么 这两个角相等或互补，就没有其他情况.例3.正三棱柱ABC-ABG的所有棱长均为2,P是侧棱AA上任意一点.(I)求证： 直线BP不可能与平面ACGA垂直；7C>y(II )当BG B1P时，求二面角C-RP-G的大小.证明：（I）如图建立空间坐标系 O 一 xyz，设AP二a则 ACRP 的坐标分别为(0, -1,0),(0,1,0),( .3,0

8、,2)(0, -1,a) .AC =(0,2,0), B1"P=( 、.3,1,a2)ACBP-_2=0 , . B,P不垂直 AC.”直线BP不可能与平面ACGA垂直.(II ) BCl=(- 3l,2)，由 BCi_Bf，得 BCLbIP即 2 2(a -2) =0. a =1又 BG _ B1CBG _ 面CB1P二 BG =（-73,1,2）是面CBP的法向量"T 4B1P n =0设面GBP的法向量为n =（1,y,z），由 一j B1C1 n = 0得n= （1,船,-2妁,设二面角C - Bf - G的大小为口则 cos：-BCrhj|BG IIn|-二面角C

9、 -BF -G的大小为arccos 4点评：1 前面选择的两个题，可有现成的坐标轴，但本题x、z轴需要自己添加（也可不 这样建立）.2 第（1）小题是证明题，同样可用向量方法解答，是特殊情况；本小题也可证明这条直 线与这个面的法向量不平行.例4 （安徽卷） 如图，在四棱锥 O-ABCD中，底面 ABCD四边长为 1的菱形， ABC ,4OA 底面ABCD, OA=2,M为OA的中点，N为BC的中点（I）证明：直线 MN |平面OCD ;（n）求异面直线 AB与MD所成角的大小;（川）求点B到平面OCD的距离。解：作AP _CD于点P如图,分别以AB,AP,AO所在直线为x, y,z轴建立坐标系

10、4°,(i)mN=(1221),o?=(0,22),od 十辽，辽44222设平面OCD的法向量为n = (x, y,z),则)=0、2y_2z =0即2 -_-x y _2z = 02 2取 z 二、2,解得 n =(0,4, J2)OMDn c P yA=(12,辽，-1)_(0,4, 2) =044.MN | 平面 OCD(2)设AB与MD所成的角为.,益(1,0,0),MD十迈辽-1)2 2AbLABmd|COST =1.=丄, AB与MD所成角的大小为233设点B到平面OCD的距离为d ,则d为OB在向量n二(0,4八2)上的投影的绝对值，TOBnn由 OB =(1,0,

11、2),得 d =二2 所以点B到平面OCD的距离为-33例5 (福建？理？ 18题)如图，正三棱柱 ABC A1B1C1的所有棱长都为2, D为CC1中点。(I)求证：AB1丄面A1BD ；(n)求二面角 A AQ B的大小；(川)求点C到平面A1BD的距离；解：(I)取BC中点O，连结AO . ； ABC为正三角形，.AO丄BC .在正三棱柱 ABC-ABQ!中，平面ABC丄平面BCGB , - AD丄平面BCGB!.取BG中点01，以O为原点，OB , OQ , OA的方向为x,则 B(1,0,0) , D(-1,1,0) , A(0,2, 3), A(0,0八 3), R(1,2,0),

12、A(0,0,0), B(1,0,0),P(0, j,0), D( j, j,0),0(0,0,2), M(0,0,1),N(1 j 2Ab1 =(!, .3),BD =(-21,灵=(-1,2, 3)-2 2 0 =0, 7B莎一1 4 一3 = 0 ,AB,丄BD , Ab1 丄 BA*.AR丄平面A|BD .（n）设平面AAD的法向量为n= （x, y, z）.AD -、.3), aa|= (0,2,0).n 丄 AD ,n 丄 AA ,=0,-x y -、；3z 二 0,二 0,2y = 0,令z =1得n = （-、一3,0,1）为平面RAD的一个法向量.由（I）知 ABi丄平面ABD

13、，二AB!为平面A|BD的法向量.cos ： n,忌=nLd-二面角A-AjD-B的大小为（川）由（n）,点C到平面A1BD的距离d =arccos.4ABj为平面 ABD 法向量，：BC =(-2,0,0,為=(1,2,-3)BC砧|一2亠2.2 2 .AB1=|a|b|cos )总结：通过上面的例子，我们看到向量方法（更确切地讲，是用公式: 解决空间角和距离的作用，当然，以上所举例子，用传统方法去做，也是可行的，甚至有的（例2）还较为简单，用向量法的好处在于克服传统立几以纯几何解决问题带来的高度的技 巧性和随机性.向量法可操作性强运算过程公式化、程序化，有效地突破了立体几何教学和学习中的难

14、点，是解决立体几何问题的重要工具.充分体现出新教材新思想、新方法 的优越性.这是继解析几何后用又一次用代数的方法研究几何形体的一块好内容，数形结合,在这里得到淋漓尽致地体现.1计算异面直线所成角的关键是平移（补形）转化为两直线的夹角计算2计算直线与平面所成的角关键是作面的垂线找射影，或向量法（直线上向量与平面法向量夹角的余角），二余弦公式（最小角定理，COST - COSRCOSd2），或先运用 等积法求点到直线的距离，后虚拟直角三角形求解 注：一斜线与平面上以斜足 为顶点的角的两边所成角相等=斜线在平面上射影为角的平分线.3.计算二面角的大小主要有：定义法 （先作其平面角后计算大小 ）、公式

15、法 （cos-S影）、向量法（两平面法向量的夹角）、等价转换法等等二面角平面角的主S原要作法有：定义法（取点、作垂、构角）、三垂线法（两垂一连，关键是第一垂（过 二面角一个面内一点，作另一个面的垂线）、垂面法.4计算空间距离的主要方法有：定义法（先作垂线段后计算）、等积法、转换（平行 换点、换面）等.5空间平行垂直关系的证明，主要依据相关定义、公理、定理和空间向量进行， 模式是：线线关系 线面关系 面面关系，请重视线面平行关系、线面垂直关系（三 垂线定理及其逆定理）的桥梁作用注意：书写证明过程需规范.特别声明：证明计算过程中，若有“中点”等特殊点线，则常借助于“中 位线、重心”等知识转化. 在证明计算过程中常将运用转化思想，将具体问题转化（构造）为特殊几何体（如三棱锥、正方体、长方体、三棱柱、四棱柱等 ）中问题，并获得去解 决. 如果根据已知条件，在几何体中有“三条直线两两垂直”，那么往往以此为基础，建立空间直角坐标系，并运用空间向量解决问题.6求几何体体积的常规方法是：公式法、割补法、等积（转换）法、比例（性质转换）法等.练习：1 在正四面体S-ABC中，棱长为a , E, F分别为SA和BC的中点，求异面直线BE和SF2所成的角.（arccos-）32.在边长为1的菱形ABCD中, ABC =