空间角的求法学生版

1、空间角的求法空间角，能比较集中反映空间想象能力的要求，历来为高考命题者垂青，几乎年年必考。空间角是异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角总称。空间角的计算思想主要是转化 ：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转化为空间向量的坐标运算来解。空间角的求法一般是：一找、二证、三计算。一、异面直线所成角的求法异面直线所成的角的范围：090（一）平移法【例1】已知四边形ABCD 为直角梯形，AD / BC ， ABC90，PA平面 AC ，且 BC2 ，PA ADAB 1，求异面直线PC 与 BD 所成角的余弦值的大小。P3【答案】6ADBC（二）补形法【变式练习】已知正三棱

2、柱ABC A1 B1C1 的底面边长为8，侧棱长为 6， D 为 AC 中点。求异面直线 AB1与 BC1 所成角的余弦值。A 1C1【答案】 125B 1DCAB第1页（共 8页）P二、直线与平面所成角C直线与平面所成角的范围：090AB方法：射影转化法（关键是作垂线，找射影）【例 2】如图，在三棱锥 PABC 中，APB90 ，PAB60 ， ABBCCA ，点 P 在平面 ABC内的射影 O 在 AB 上，求直线PC 与平面 ABC 所成的角正切值。39【答案】 tanOCP13【变式练习1】如图，四棱锥SABCD 中， AB / CD ， BCCD ，侧面 SAB 为等边三角形。ABB

3、C2 ， CDSD1 ，求 AB 与平面 SBC 所成的角正弦值。【答案】 sin217【变式练习】如图，在四棱锥P ABCD 中，底面 ABCD 是矩形， ADPD，BC1，PC2 3，2PDCD2，求直线 PB 与平面 ABCD 所成角的正弦值。【答案】 sinPBE3913第2页（共 8页）三、二面角的求法二面角的范围： 0180求二面角的大小，关键在于找出或作出二面角的平面角。从找平面角的角度出发，有以下几种方法：（一）定义法：在棱上选一恰当的“点”（一般是选一个特殊的点，如：垂足、中点等），过这一“点”在两个半平面内作棱的垂线，两垂线所成的角即为二面角的平面角。（一般在找出角后，利用

4、三角形求解）【例 3】在三棱锥 PABC 中， APBBPCAPC 60 ，求二面角 APB C 的余弦值。【答案】 cos MQN13PQMNBAC【变式练习】 如图， 点 A 在锐二面角MN的棱 MN 上，在面内引射线AP ，使 AP 与 MN 所成角PAM45 ，与面所成角的大小为30 ，求二面角MN的大小。【答案】MN为45PBMQANH第3页（共 8页）（二）利用三垂线三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。逆定理： 如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。从半平面内

5、的任一点A 出发向另一个半平面引一条直线AH ，过 H 作棱 l 的垂线 HG ，垂足为G ，连 AG ，则由三垂线定理可证lAG , 故AGH 就是二面角l的平面角。三垂线定理是求解二面角问题的最常用的方法，其关键是寻找或求作一条垂线，即从第一个半平面内的某一个点出发，且垂直于另一个半平面。【例 4】如图，在三棱锥 PABC 中，APB90 ，PAB60 ， ABBCCA ，点 P 在平面 ABC内的射影 O 在 AB 上，求二面角BAPC 的正切值。【答案】 tanCED2PCAB【变式练习】在直三棱柱ABCABC 中， BAC90 ，AB BB1 ，直线 BC 与平面 ABC 成 301

6、1111角，求二面角 BB1CA 的正弦值。【答案】二面角 BBCA6B1C1的正弦值为13A 1QBNCA第4页（共 8页）从不直接找出平面角的角度出发，主要有两种方法：面积法（面积射影法），向量法。（三）面积法（面积射影法）凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（ cosS射 ）求出二面角的大小 。ASCD求证： cosS射SE【例 5】 如图， E 为正方体ABCD111的棱CC1的中点，求平面AB1E和底面A1B1C1D1所成锐角A1BC D的余弦值。DC【答案】所求二面角的余弦值为2AB3ED1C1A 1B1【变式练习】如图，S

7、 是正方形 ABCD 所在平面外一点，且 SD面 ABCD ， AB1， SB3 。求面 ASD 与面 BSC 所成二面角的大小。S【答案】 45DCAB第5页（共 8页）四、真题演练1（山东） 已知三棱柱 ABC A1 B1C1的侧棱与底面垂直， 体积为9 ，底面是边长为3 的正三角形， 若 P4为底面 A1B1C1 的中心，则 PA 与平面 ABC 所成角的大小为（）A. 5B.C.D .123462（大纲）已知正四棱柱ABCD A1B1C1 D1 中，AA1 2AB ，则 CD 与平面 BDC1 所成角的正弦值等于 （）A. 2B.3C.2D. 133333（山东） 如图所示，在三棱锥P

8、ABQ 中， PB平面 ABQ ， BA BPBQ , D,C, E, F 分别是AQ, BQ ， AP, BP 的中点， AQ2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点 H，连接 GH 。（ 1）证明： AB GH ；（ 2）求二面角 D GH E 的余弦值。第6页（共 8页）4（四川理） 如图，在三棱柱 ABC A1B1C 中，侧棱 AA1 底面 ABC ， ABAC 2AA1 ， BAC120 ，D, D1 分别是线段 BC, B1C1 的中点， P 是线段 AD 的中点（ 1）在平面 ABC 内，试作出过点 P 与平面 ABC1平行的直线 l ，说明理由，并证明直线 l平面 ADD1 A1 ；（ 2）设（ 1）中的直线 l 交 AB 于点 M ，交 AC于点 N ，求二面角 A A1 MN 的余弦值CDAPC1BD 1A1B1第7页（共 8页）5如图，