线性代数试题及答案

1、线性代第一部分选择题（共28分）、单项选择题（本大题共14小题，每小题 2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。1.设行列式A. m+naiia12a13 a11a 212.设矩阵A =B.10a 22-(m+n)a 23 a 21C. n- m二n,则行列式D. m-aiia2iai2a 22ai3a23，则A-1等于（10030101002CA. 03.设矩阵的伴随矩阵,中位于（1,的元素是（ B ）A. -6B. 6C. 24.设A是方阵，如有矩阵关系式A. A =0 B. B C 时 A=0D. 2AB =AC ,

2、则必有(C. A 0 时 B=CD )D. |A| 0 时 B = C5.已知3X4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（ AT）等于（C ）A. 1 B.26.设两个向量组 A.有不全为 B.有不全为 C.有不全为 D.有不全为C. 3a 1, a 2, ,0的数入1, 0的数入1, 0的数入1,0的数入1,D. 42,2,2,入2, , s3a s和3 1, 3 2,，3 s均线性相关，则（s使入1 a 1+入2 a 2+入sa s=0和入1 3 1+入2j3 2+入sj3 s=0s使入1 （s使入1 （1+31) + 入2 (a 2+3 2)1- 3 1) + 入 2 ( a 2- 3 2)和

3、不全为0的数（11, （1 2, ,+ - + Xs(as+3s) =0+ + + 入 s (as- 3 s) =0s 使入 1a1+X2a2+,+Xsa s=07 .设矩阵A的秩为r,则A中（CA.所有r- 1阶子式都不为0C.至少有一个r阶子式不等于08 .设Ax=b是一非齐次线性方程组，9 .所有r- 1阶子式全为D.所有r阶子式都不为刀2是其任意2个解，则下列结论错误的是（A.刀1+打2是Ax=0的一个解C.刀1-刀2是Ax=0的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（A.秩（A）n B.秩（A 尸n- 1AC.A=0B. - r 1+ - r 2 是 Ax=b 的一个解D.2 r1 1

4、- r 2 是 Ax=b 的一个解)D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n（3）阶方阵，下列陈述中正确的是（A.如存在数入和向量 a使Aa=X a ,则a是A的属于特征值入的特征向量B.如存在数入和非零向量a,使（入E-A）a=0,则入是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如入1,入2,入3是A的3个互不相同的特征值，a 1, a 2, a 3依次是 A的属于入1,入2,入3的特征向量，则a 1, a 2, a 3有可能线性相关11 .设入0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于入0的线性无关的特征向量的个数为k,则必有（A ）A. k 3 B. k312 .设A是正

5、交矩阵，则下列结论错误的是（A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=AtD.A的行(列)向量组是正交单位向量组13 .设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=CTAC4U ( D )D. A与B合同A.A与B相似 B. A与B不等价 C. A与B有相同的特征值14 .下列矩阵中是正定矩阵的为(C )2 A.3B.100C. 0 231 1 1D. 1 2 00351 0 2第二部分非选择题(共72分)、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分。11115 . 35669253611 112 316 .设 A=, B=.则

6、 A+2B =1 1112 417 .设 A=(aj)3 x 3 ,|A|=2 , Aj表示|A|中元素 aj的代数余子式 (i,j=1,2,3 ),则(ailA 2l+a12A 22+a13A23)2+(a21A2l+a22A22 + a23A23)2+(a31A 2l + a32A 22+a33A23)2=4.18 .设向量(2,-3, 5)与向量(-4, 6, a)线性相关，则 a= -10.19 .设A是3X4矩阵，其秩为3,若刀1,刀2为非齐次线性方程组 Ax=b的2个不同的解，则它的通解为刀1+C(刀2-刀1)(或刀2+C( Y 2-刀1), c为任意常数20 .设A是mXn矩阵，

7、A的秩为r(n),则齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系中含有解的个数为n-1.21 .设向量a、3的长度依次为2和3,则向量a + 3与a - 3的内积(a + 3 , a - 3 ) =-5.22 .设3阶矩阵A的行列式|A|=8,已知A有2个特征值-1和4,则另一特征值为-2.0 106223 .设矩阵A= 133 ,已知a=1是它的一个特征向量，则 a所对应的特征值为.2 108224 .设实二次型f(Xl,X2,X3,X4,X5)的秩为4,正惯性指数为3,则其规范形为 Z2 Z2 Z2 Z2.三、计算题(本大题共 7小题，每小题6分，共42分)125.设 A= 312 02 31.4

8、 0 , B=.求(1) ABT； (2) |4A.2 4 02 13一、 526 .试计算行列式 214 227 .设矩阵A= 111 2112134.0115 3330 ,求矩阵B使其满足矩阵方程 AB=A+2B.32130130128.给定向量组a i=, 民2=, 民3=,a 4=.02243419试判断a 4是否为a i, a 2,a 3的线性组合；若是，则求出组合系数。29.设矩阵A =求：（1）秩30.设矩阵A= 22(A);2343(2)A的列向量组的一个最大线性无关组。24的全部特征值为1, 1和-8.求正交矩阵T和对角矩阵D,使T-1AT=D.31.试用配方法化下列二次型为

9、标准形f（X1,X2,X3）= x2 2x2 3x3 4x1X2 4x1x3 4x2X3 ,并写出所用的满秩线性变换。四、证明题（本大题共 2小题，每小题5分，共10分）32.设方阵A满足A3=0,试证明E- A可逆，且（E- A）33.设 Y)(1)(2)答案:0是非齐次线性方程组 Ax=b的一个特解，E 1, 刀1 二刀0+ E 1,刀2二打0+22均是Ax=b的解； T 0, T 1 ,42线性无关。-1=E+A+A2.W 2是其导出组Ax=0的一个基础解系.试证明一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共1.D 2.B 3.B 4.D 5.C 6.D 7.C 8.A 9.A 10

10、.B 11.A28分)12.B 13.D 14.C二、填空题（本大题共33715. 616.13 710空，每空2分，共20分）17.4 18. -1019. Y 1 + C( Y 2Y 1)(或 Y 2+C( Y 2- Y 1) , C 为任意常数20. n- r 21. -5 22.三、计算题（本大题共1t2 23. 17小题,24. z2每小题222Z2 Z36分，共2Z442分)25.解(1) ABT= 31183101026.解27.解(2) |4A|二43|A|=64|A|,而 |A|=2 .所以 14A |=64 -(-2)=-12828.解一352111051313511051

11、10513131100AB =A+2B 即(A-2E) -1所以(A-2E)B=A,1B=(A- 2E)-1A =115301040.8696129322130053210351035130113010112011202240112008800113419013112001414000016412321,所以a 4=21a 1+ a 2+ a 3,组合系数为(2, 1,1)解二考虑a 4=X1 a1 +X2 a 2+X3 a 3, 即29.解方程组有唯一解（2, 1, 对矩阵A施行初等行变换1)2x1 x2 x 1 3x2 2X2 2X3 3x1 4x2 组合系数为(3X3 014X32,9.

12、1, 1).30.解31.解(1)秩 由于1210212102121020006203283032830328200062000310963200021700000(B)=3，所以秩（A）=秩(B)=3.=B.A与B的列向量组有相同的线性关系,B是阶梯形,而B量组的一个最大线性无关组，故 A的第1、2、的第1、2、4列是B的列向4列是A的列向量组的一个最大线性无关组。（A的第1、2、5列或1、3、4歹U,或1、3、5列也是）A的属于特征值入E 1= （2, - 1, 0）=1T,经正交标准化，得经单位化得Y 3=1对角矩阵 D= 00的2个线性无关的特征向量为E 2= (2, 2.5/5刀 1

13、=5/500, 1) T1/32 / 3 .所求正交矩阵为2/300 .(也可取T=f(X1, X2, X3)=(X1+2X2- 2X3) =(X1 +2X2- 2X3)y1 X12X22X3X2X3 ，y3故此线性变换满秩。2.5/152= 475/15 .入=-8的一个特征向量为 .5/3T=25/5 ,5/502.5/505/52,15/154,5/15.5/32.15/15.5/34 5/151/32/32/32- 2X22+4X2X3- 7X322- 2(X2-X3)2- 5X32.X1y1X2X3X3经此变换即得2y2y2 y3f(X1 ,四、证明题（本大题共 2小题，每小题5分，共32 .证 由于（E-A） （E+A+A2） =E-A3=E, 所以E- A可逆，且（E- A） - 1= E+A+A2 .33 .证 由假设 A y 0=b, A E 1=0, A W 2=0.,因其系数矩阵y31/32/3 .2/3X2, X3)的标准形 y12-2y22-5y32 .10分)(1) A r 1=A (刀 0+ E 1) =A r1