经典小学奥数题型(几何图形)

1、小学奥数平面几何五种模型（等积，鸟头，蝶形，相似，共边）目标：熟练掌握五大面积模型等积，鸟头，蝶形，相似（含金字塔模型和沙 漏模型），共边（含燕尾模型和风筝模型），掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨一、等积模型等底等高的两个三角形面积相等；两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比;两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如右图a:b夹在一组平行线之间的等积变形，如右图& ACD S BCD；反之，如果& acd Sa BCD ,则可知直线AB平行于CD .等底等高的两个平行四边形面积相等 （长方形和正方形可以看作特殊的平 行四边形）三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积

2、的一半；两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比.二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形.共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比.如图在4ABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图 （或D在BA的延长线上，E在 AC 上）,贝USaabc：Saade （AB AC）： （AD AE）任意四边形中的比例关系（“蝶形定理”）： S：S2 $4$或者& S3 S2 S4 AO：OC S & ： S4 s3蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径.通过构造模型，一方

3、面可以使不规则四边形的面积关系与四边 形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积 对应的对角线的比例关系.梯形中比例关系（“梯形蝶形定理”）： a2:b2 § : S3 : S2: S4 a2: b2: ab: ab ;S的对应份数为a b2.四、相似模型（一）金字塔模型 AD AE DE AF .AB AC BC AG 'S ADE： SAABC AF2：AG2.二）沙漏模型（只要其形状不改变,所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形 不论大小怎样改变它们都相似），与相似三角形相关的常用的性质及定理如相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相

4、似 比；相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半.相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工 具.在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形. 五、共边定理（燕尾模型和风筝模型）在三角形ABC中，AD , BE, CF相交于同一点O,那么 S ABO : S ACO BD : DC .上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因 为ABO和ACO的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称 为燕尾定理.该定理在许多几何题目中都有着广泛的运 用，它的特

5、殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.典型例题【例1】 如图，正方形ABCD勺边长为6, ae 1.5, cf 2.长方形EFGH勺面【解析】连接DE DF,则长方形EFGH勺面积是三角形DEF®积的二倍.三角形DEF勺面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，Sa def6 6 1.5 6 2 2 6 2 4.5 4 2 16.5，所以长方形 EFGH面积为33.【巩固】如图所示，正方形ABCD的边长为8厘米，长方形EBGF的长BG为10厘 米，那么长方形的宽为几厘米？D G CD G C【解析】本题主要是让学生会运用等底等

6、高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）.三角形面积等于与它等底 等高的平行四边形面积的一半.证明：连接AG.（我们通过ABG把这两个长方形和正方形联系在起）. 1 -I- 、 4 t-tz11在正方形ABCD中 , S»A ABG -AB AB边上的高，21二SAABG 2 SWABCD （三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半）1叵I 理,Sa ABG 2 Sefgb .正方形ABCD与长方形EFGB面积相等. 长方形的宽 8 8 10 6.4（厘米）.【例2】 长方形ABCD的面积为36cm2,G为各边中点,H为AD边上任意一点，问阴影部分

7、面积是多少?BH、 HC ,【解析】解法一：寻找可利用的条件，连接如下图:SabcdS EBFS阴影S AHB S CHB即 S EHBS CHDS BHF36BE BFS EHBAHB S CHB S CHD )S DHGS EHBS DHG1AB)(一2BC)BHF S DHGSM影12S EBF36 18 ;所以阴影部分的面积是: 解法二：特殊点法.我 那么图形就可变成右图：8S阴影36 4.5 .18 SEBF 18 4.513.5H的特殊点，把H点与D点重合,DEF的面积,这样阴影部分的面积就是根据鸟头定理，则有:SABCDS AED S BEF S CFD 3636221 136

8、- - 36 13.5.2 2【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD内任取一点P,将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与 P点连接，求阴影部分面积.【解析】(法1)特殊点法.由于P是正方形内部任意一点，可采用特殊点法， 假设P点与A点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴 影三角形的面积分别占正方形面积的 1和1 ,所以阴影部分的面积为4662 (- 1) 15平方厘米. 4 6(法2)连接PA、PC .由于PAD与PBC的面积之和等于正方形 ABCD面积的一半，所以上、 下两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD面积的1 ,同理可知4左、右两个阴影三角形的面积之和等于正

9、方形ABCD面积的1 ,所以阴6影部分的面积为62 (1 1) 15平方厘米.4 6【例3】如图所示，长方形 ABCD内的阴影部分的面积之和为70, AB 8,AD 15,四边形EFGO的面积为.【解析】利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和，以及三角形AOE和DOG的面积之和，进而求出四边形EFGO 的面积.由于长方形ABCD的面积为15 8 120 ,所以三角形BOC的面积为120 1 30,所以三角形AOE和DOG的面积之和为120 3 70 20 ； 44又三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和为120 1 -30,所以2 4四边形EFGO

10、的面积为30 20 10 .另解：从整体上来看，四边形 EFGO的面积 三角形AFC面积 三角形 BFD面积 白色部分的面积，而三角形 AFC面积 三角形BFD面积为长 方形面积的一半，即60,白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即120 70 50,所以四边形的面积为60 50 10 .【巩固】如图，长方形ABCD的面积是阴影部分的面积为36,E是AD的三等分点，AE 2ED ,则【解析】如图，连接OE .根据蝶形定理，ON : NDS COE : S CDE1 一2 S CAE : S CDE 1:1 ,所以S OEN - S2OM : MAS BOE ： S BAE又 S O

11、ED1 1qSg形 ABCD3 42.7 . S BDE : S BAE23 , S OEA1:4,所以2Soed 6,所以阴影部分面积为:【例4】已知ABC为等边三角形，面积为 已知甲、乙、丙面积和为 143, HBC )400, D、E、F分别为三边的中点， 求阴影五边形的面积.(丙是三角形【解析】因为D、E、F分别为三边的中点，所以DE、DF、EF是三角形ABC的 中位线，也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形 ABN和三 角形AMC的面积都等于三角形ABC的一半，即为200.S ABN S AMCSAMHN ,SAMHN .根据图形的容斥关系，有Sabc Sw 即 400 s丙

12、200 200 Samhn ,所以 SW 又Sw S ADF & S乙Samhn ,所以&W& 臣S丙S adf1143 400 434【例5】 如图，已知CD 5 , DE 7 , EF 15, FG 6,线段AB将图形分成两部 分，左边部分面积是38,右边部分面积是65,那么三角形ADG的面 积是.连接AF , BD .根据题意可知，CF 5 7 1515 c所以，S BEF 27 S CBF , S BEC27； DG 7 15 6 28 ；干旱.21s15SZE s ADGs CBF282712S 27765;一 ，28217CBF , S AEG S ADG

13、, S AED b S 2828c 12c “S ADG 27 S CBF 38 ；可得S adg 40 .故三角形adg的面积是40.【例6】 如图在ABC中，D,E分另fj是AB,AC上的点，且AD: AB 2:5 , AE:AC 4:7 , Saade 16平方厘米，求ABC的面积.【解析】连接 BE,Sa ADE: Sa ABE AD： AB 2:5(24):(5 4),Sa abe : Sa abcAE:AC 4:7 (4 5):(7 5),所以 S adeSabc (2 4):(7 5), 设Saade 8份，则S abc 35份，SAade 16平方厘米，所以1份是2平方厘米，

14、35份就是70平方厘米， ABC的面积是70平方厘米.由此我们得到一 个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比.【巩固】如图，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角 形ADE的面积等于1 ,那么三角形ABC的面积是多少？AD EB【解析】连接BE .EC 3AE, , SvABC 3 SVABEAB 5ADDESVABE 5 SVABC 15BC 15SVADE15BE 3 . AE6, A乙部分面积是甲部分面积的几倍?AB 连接AD . BE 3 , /. AB 3BEAE 6ABDOv-VBDEBD DC 4BC 2 SV

15、ABD ,ABC6SVBDE三角形 ABO分成了甲(阴影部分)、乙两部分，BD DC 4如图在 ABC中，D在BA的延长线上，E在 AC上，且 AB: AD 5: 2 AE:EC 3:2, SAade 12平方厘米，求 ABC的面积.【解析】 连接 BE, SA ade： Sa abe AD： AB 2:5 (2 3):(5 3)SAabe ：Saabc AE：AC 3： (3 2) (3 5)： (3 2) 5 ,所以 SAADE ： SA ABC (3 2)：5 (3 2) 6:25,设 SA ade 6 份，则 SA abc 25 份，SAade 12平方厘米，所以1份是2平方厘米，25

16、份就是50平方厘米，4ABC的面积是50平方厘米.由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比例 8 如图，平行四边形 ABCD, BE AB, CF 2CB , GD 3DC , HA 4AD ,平 行四边形ABCD的面积是2,求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面 积比.连接AC、BD .根据共角定理,在 ABC 和 ABFE 中， ABC 与 FBE 互补,.Saabc AB BC 1 1 1SAFBE BE BF C 3 .又 S»A ABC1 ,所以 SA FBE3 同理可得S GCF8 ,SADHG15 ,SAAE

17、H8 15+3+2 36 .以 SEFGH SAAEH SA CFG SADHG S BEF SABCD 8 所以SBCD二.SEFGH 3618【例9】如图所示的四边形的面积等于多少?【解析】题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积.我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：把三角形OAB绕顶点O逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三 角形OAB将旋转到三角形OCD的位置.这样，通过旋转后所得到的新 图形是一个边长为12的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形 的面积.因此，原来四边形的面积为12 12 144.（也可以用勾股定理）【例10 如图所示，ABC中，

18、ABC 90 , AB 3 , BC 5 ,以AC为一边向 ABC外作正方形ACDE ,中心为O,求OBC的面积.E【解析】如图，将OAB沿着O点顺时针旋转90 ,到达OCF的位置.由于 ABC 90 , AOC 90 , 所以 OAB OCB 180 ,而 OCF OAB , 所以 OCF OCB 180 ,那么 B、C、F三点在一条直线上.由于OB OF, BOF AOC 90 ,所以BOF是等腰直角三角形，且斜边BF为5 3 8,所以它的面积为82 - 16 .4根据面积比例模型，OBC的面积为16 5 10.8【例11如图，以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形AEB 90 ,

19、AC、BD 交于 O . 三角形OBE的面积.已知AE、BE的长分别为3cm、F2【解析】如图，连接DE ,以A点为中心，将ADE顺时针旋转90至口 ABF的位置. 那么 EAF EAB BAF EAB DAE 90 , 而 AEB也是90 , 所以四边 形AFBE是直角梯形，且 AF AE 3, 所以梯形AFBE的面积为：12 3 5 3 12( cm ). 2又因为ABE是直角三角形，根据勾股定理，AB2 AE2 BE2 32 52 34 ,所以S ABD所以S OBE1AB2 2S ABDISS BDE17( cm2).S ABE S ADE S ABDSAFBE17 12 5( cm2

20、),2.5( cm2).【例12】如下图，六边形ABCDEF中，AB ED , AF CD, BC EF ,且有AB平行于ED , AF平行于CD , BC平行于 EF ,对角线FD垂直于 BD ,已知FD 24 厘米，BD 18厘米，请问六边形ABCDEF的面积是多少平方厘米？【解析】如图，我们将BCD平移使得CD与AF重合，将DEF平移使得ED与AB重 合，这样EF、BC都重合到图中的AG 了.这样就组成了一个长方形 BGFD,它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形BGFD的面积为24 18 432平方厘米，所以六边形 ABCDEF的面积为432平方厘米.【例13】如图，三角形 ABC的

21、面积是1,BD:DC 1:2, AD 与 BE 交于点 F.E是AC的中点，点D在BC上，且 则四边形DFEC的面积等于,【解析】方法一：连接CF,根据燕尾定理，变ID 1，/誉1,SA ACFDC 2 33FES ade1SA CBFEC设Szx BDF1份，则54DCF2份 ,SA ABF3 份，S»A AEFS*A EFC3 份,如图所标所以Sdcef2勺-SA ABC121211万法二：连接DE,由题目条件可得到SA ABD-SA ABC鼻，33S 1s 1 2S 1 斫以空 .abd 1S ADEoSA ADCoS SA ABCyT 以匚匚 Q. ?1111111 SA D

22、EB ' BEC ' abc,2232 3 212'而CDE 2 1 SAABC 1 .所以则四边形DFEC的面积等于2.3 2312【巩固】如图，长方形ABCD的面积是2平方厘米，EC 2DE,F是DG的中点.阴 影部分的面积是多少平方厘米？DEC【解析】设$ DEF1份，则根据燕尾定理其他面积如图所示平方厘米.Sb影mBCD1212【例14】四边形ABCD的对角线AC与BD交于点0（如图所示）.如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD的面积的1,且A0 2, DO 3,那么CO的长度3【解析】在本题中，四边形ABCD为任意四边形，对于这种"不良四边形”，无

23、 外乎两种处理方法：利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解 决；通过画辅助线来改造不良四边形.看到题目中给出条件SZABD ： Svbcd 1：3,这可以向模型一蝶形定理靠拢，于是得出一种解法.又 观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个"不良四边形”，于是可以作AH垂直BD于H , CG垂直BD于G ,面积比转化为高 之比.再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出 结果.请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝶形定理的优势，从 而主观上愿意掌握并使用蝶形定理解决问题.解 法一： AO：OC S ab

24、d ：S Bdc 1:3 , OC 2 3 6 , 二OC:OD6:3 2:1 ,解法二： 作 AH BD于H, CG BD于 G.二 S BCD ,. AH 1CG , S aod3'3，. SABD.1AO -CO , OC 2 3 6 , OC:OD 6:3 2:1 . 3【巩固】如图，四边形被两条对角线分成 4个三角形，其中三个三角形的面 积已知，求：三角形BGC的面积；AG:GC ?【解析】根据蝶形定理 ,SVBGC12 3,那么SVBGC6 ；根据蝶形定理，AG:GC 12:36 1:3.【例15如图，平行四边形 ABCD的对角线交于O点，CEF、AOEF > AOD

25、F > BOE的面积依次是2、4、4和6.求：求OCF的面积；求4GCE 的面积.【解析】 根据题意可知， 4BCD的面积为2 4 4 6 16,那么ABCO和CDO的 面积都是16 2 8,所以4OCF的面积为8 4 4；由于ABCO的面积为8, 4BOE的面积为6,所以OCE的面积为8 6 2,根据蝶S GCE : S GCF EG: FG那么S GCE形定理，EG :FG1:2 ,1c1c2S CEF-2一.1233S COE: S COF2:4 1: 2【例16 如图，长方形 ABCD中，BE:EC 2:3 , DF :FC 1:2,三角形DFG的面积 为2平方厘米，求长方形AB

26、CD的面积.【解析】SVDEF【例17】FE .BE:EC 2:3连接AE ,因(5 32)S长方形 ABCD历务方形ABCD1八因为 SVAED2 s长方形 ABCD , AG ： GF厘米，所以Svafd12平方厘米.ABCD的面积是72平方厘米.DF:FC 1:210因为5:1 ,所以SvAGD5Svgdf10 平方_1 _SVAFD不 SK方形 ABCD , 所以长方形6如图，正方形ABCD面积为3平方厘米, 阴影部分的面积.M是AD边上的中点.求图中因为M是AD边上的中点，所以AM:BC 1:2,根据梯形蝶形定理可以知 道& AMG : & ABG : S*A MCG

27、 : & BCG 12 :(1 2) :(1 2) :22 1: 2:2:4 ,设 S.AGM 1份，则Sa mcd 1 2 3 份，所以正方形的面积为12243 12份，晶影2 2 4份，所以“影：S正方形1:3,所以时影1平方厘米.【巩固】在下图的正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点， 三角形BEF的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD面积是 平方厘米.AD【解析】连接DE ,根据题意可知BE: AD 1:2 ,根据蝶形定理得 2S弟形（1 2）9（平万厘米），S ECD3（平万厘米），那么Swabcd 12（平方厘米）.【例18】 已知ABCD是平行四边形，B

28、C:CE米.则阴影部分的面积是3:2,三角形ODE的面积为6平方厘 平方厘米.【解析】连接AC .由于ABCD是平行四边形，BC:CE 3:2,所以CE:AD 2:3,根据梯形蝶形定理，SVCOE:S/AOC: SVDOE:SVAOD2 : 2 3: 23: 324:6:6:9 ,所以S/AOC 6 （平方厘米），S/AOD 9 （平方厘米），又 Svabc S/ACD 6 9 15（平方厘米），阴影部分面积为6 15 21（平方厘 米）.【巩固】右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所 示（单位：平方厘米），阴影部分的面积是 平方厘米.【分析】连接AE .由于AD与B

29、C是平行的，所以AECD也是梯形，那么S OCD S OAE 2根据蝶形7E理，S OCD S OAE S OCE S OAD 4 9 36 ,故 S OCD 36 ,所以SOCD 6（平方厘米）.【巩固】右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所 示（单位：平方厘米），阴影部分的面积是 平方厘米.【解析】连接AE .由于AD与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么S OCD S OAE 根据蝶形定理， S OCD S OAE S OCE S OAD 2 8 16,故 S OCD 16,所以SOCD 4（平方厘米）.另解：在平行四边形ABED中，SADE - SYABE

30、D , 16 812（平方厘米），22所以S AOE S ADE S AOD 12 8 4（平方厘米）,根据蝶形定理，阴影部分的面积为8 2 4 4（平方厘米）.已知其中3块的面积分别OFBC的面积为【例19如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块, 为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形 平方厘米.【解析】连接DE、CF .四边形EDCF为梯形，所以S EOD SvFOC ,又根据蝶形定理,S EOD S FOCS EOF S COD , 所以S EOD S FOC S EOF S COD2 8 16,所以SEOD 4（平方厘米），SECD 4 8 12（平方厘米）.那么长方形ABCD的面

31、积为12 2 24平方厘米，四边形OFBC的面积为24 5 2 8 9 （平方厘米).【例20】如图，ABC是等腰直角三角形，DEFG是正方形，线段AB与CD相交 于K点.已知正方形DEFG的面积48, AK:KB 1:3,则BKD的面积是 多少？【解析】由于DEFG是正方形，所以DA与BC平行，那么四边形ADBC是梯形.在 梯形ADBC中，BDK和ACK的面积是相等的.而AK : KB 1:3,所以ACK 的面积是ABC面积的，1,那么BDK的面积也是 ABC面积的1.1 3 44由于ABC是等腰直角三角形，如果过A作BC的垂线，M为垂足，那么 M是BC的中点，而且AM DE,可见 ABM和

32、ACM的面积都等于正方 形DEFG面积的一半，所以 ABC的面积与正方形DEFG的面积相等，为 48.那么BDK的面积为48 1 12 .4【例21 下图中，四边形ABCD都是边长为1的正方形，E、F、G、H分别是 AB, BC, CD, DA的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数m,那么，(m n)的值等于n【解析】左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观 察发现两个图中的空白部分面积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积.如下图所示，在左图中连接EG .设AG与DE的交点为M .左图中AEGD为长方形，可知 AMD的面积为长

33、方形AEGD面积的1 ,所 4以三角形AMD的面积为12 1 1 L又左图中四个空白三角形的面积是 2 4 8相等的，所以左图中阴影部分的面积为1 1 482如上图所示，在右图中连接 AC、EF .设AF、EC的交点为N.可知EF/ AC且AC 2EF .那么三角形BEF的面积为三角形ABC面积的1 ,所以三角形BEF的面积为12 1 1 '梯形AEFC的面积为1 1 3.42 4 82 8 8在梯形AEFC中，由于EF:AC 1:2,根据梯形蝶形定理，其四部分的面积比为：12:1 2:1 2:22 1:2: 2:4 ,所以三角形EFN的面积为3 1一 那么四边形BENF的面积为1&#

34、177;1.而右图中四个空8 1 2 2 4248246白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为11463那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为I3:2 ,2 3即m 9, n 2那么m n 3 2 5.【例22如图， 4ABC中，DE , FG , BC互相平行，AD DF FB , 贝！J & ADE : S3边形 DEGF : S3边形 FGCB .设&ADE 1份，根据面积比等于相似比的平方,所以s ADE:SA AFG22AD2:AF2SA ADE : S ABC22AD2 : AB2因此S AFG4份，SA ABC9份,进而有Sg边形DEGF3份

35、，S四边形 FGCB5份，所以Saade:S3边形 DEGF:S3边形 FGCB1:3: 5【巩固】 如图， DE平行BC,且 AD 2, AB 5 , AE 4,求 AC的长.A【解析】 由金字塔模型得 AD:AB AE: ACDE:BC 2:5 ,所以 AC 4 2 5 10【巩固】如图, 相平行， ABC 中，DE , FG ,BC互AD DF FM MP PB ,贝USa ADE : S3边形 DEGF :S四边形 FGNM :S四边形 MNQP:S四边形 PQCB设 Saade1 份，Saade : SaafgAD2: AF2 1:4,因此S AFG 4份，进而有S3边形DEGF3份

36、，同理有S3边形 FGNM5份,S四边形 MNQP7份， SI边形PQCB 9份.1:3: 5:7:9所以有S*A ADE : S四边形 DEGF : S3边形 FGNM :S四边形 MNQP : S四边形 PQCB【例23如图，已知正方形 ABCD的边长为4, F是BC边的中点，E是DC边上 的点，且 DE:EC 1:3, AF与BE相交于点 G,求S abg【解析】方法一：连接AE ,延长AF , DC两条线交于点M ,构造出两个沙漏,所以有AB:CMBF:FC 1:1 ,因止匕CM 4,根据题意有CE 3,再根据另个 沙 漏 有 GB:GE AB: EM 4:7S ABGSA ABE&#

37、163;11(44 2)3211AE, EF分别求SA abfSa aef4441232247根据蝶SA ABF:S AEF4八432bg：ge 4:7,所以 &ABGabe 11 (4 4 2) K【例24如图所示，已知平行四边形ABCD的面积是1, E、F是AB、 AD的中点， BF交EC于M,求 BMG的面积.AD的中点,EF /BDFD:BC FH : HC 1:2, EB:CD BG:GD 1:2所以 CH:CF GH : EF并得G、H是BD的三等分点,所以BG2:3 ,GH ,所以BG: EF BM:MF 2:3 ,所以 BM又因为BG 3BD,所以2BF51 23 5B

38、FDS BFD1s225ABD12130-SYABCD解法二：延长CE交DA于I如右图,可得,AI : BCAE: EB从而可以确定的点的位置,BM : MFBC:IFBM可得S2 1BMG S BDF5 32BF ,51Sy abcd4-1BG -BD3130（鸟头定理），【例25 如图，ABCD为正方形, 形PQRS的面积为多少？AMNB DE FC 1cm且MN 2cm,请问四边（法1）由AB/CD ,有空 MNMQ QC 1MC ,所以 PQ 2三DC1-MC 211-MC - MC ,所以 SsPQR36MBEC占 SAM'CF所以4 4 8 ( cm2),月F 以 Sspq

39、r - 1 (1 1 2) - (cm ).63(法2)如图,连结AE,则Sabe而RBABEFEF而 S MBQ S ANSEF142 ，3( cm2),因为MNDC2 o 162、8 ( cm ).33MPPC '所以MP -MC , 3贝U S MNPS ABR S ANS S MBQ S MNP12 4216 _1 4( cm2),阴影部分面积等于3 33 333|(cm2).【例26】 如右图，三角形 ABC中，BD:DC 4:9, CE: EA 4:3, 求 AF :FB .B【解析】 根据燕尾定理得SA aobSaoc BD:CD 4:9 12:27Sa aob : Sa

40、 boc AE :CE 3:4 12:16(都有AOB的面积要统一，所以找最小公倍数)所以 Saaoc : Saboc 27:16 AF : FB【点评】本题关键是把4AOB的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我 们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达 到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【巩固】 如右图，三角形 ABC中，BD:DC 3:4, AE:CE 5:6 ,求AF :FB.B【解析】 根据燕尾定理得SA aobSaoc BD :CD 3:4 15:20SAaob : Sa boc AE : CE 5: 6 15:18(都有AAOB的面积要统一，所以找最小公倍数) 所

41、以 Saaoc : Saboc 20:18 10:9 AF : FB【巩固】 如右图，三角形 ABC中，BD:DC 2:3, EA:CE 5:4, 求 AF : FB .A【解析】 根据燕尾定理得 SAAOBSAOC BD :CD 2:3 10:15SAAOB : SA BOC AE : CE 5: 4 10:8（都有AOB的面积要统一，所以找最小公倍数）所以 SA AOC : SA BOC 15:8 AF ： FB【点评】本题关键是把4AOB的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我 们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达 到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【例27】 如右图

42、，三角形 ABC中，AF: FB BD: DC CE: AE 3:2,且三角形 ABC的 面积是1 ,则三角形 ABE的面积为 ,三角形AGE的面积为,三角形GHI的面积为.AA【分析】 连接AH、BI、CG .由于CE: AE 3:2 ,所以AE 根据燕尾定理， S ACG : S ABGB：D C2 AC ,故 S ABE - S ABC ； 555CD ：BD 2:3, S bcg ：S abg CE ：EA 3:2,所以S ACG : S ABG : S BCG4:6:9 ,则 SACGS BCG19；那么SAGE |SAGC519 95；同样分析可得SA： 19,则EG.EG :EB

43、 S ACG : S ACB 4:19 , 所以 EG:GH : HB 4:5:10 ,S ACG : S ACH 4 : 9同样分析可得AG:GI : ID所以SBIE10:5: 4 ,5 G5 2S BAE 1010 5S GHI5 c 511o S BIE1919 5 19【巩固】如右图，三角形ABC中,AF : FB BD: DC CE: AE 3:2,且三角形 GHI的面积是1,求三角形ABC的面积.EEC【解析】连接BG Sa agc根据燕Sa agc : Sa bgcAF : FB3:2 6:4Sa abg : Sa agcBD : DC3: 29:6个于SABGC4（份），SL

44、 ABG9（份），贝 U SA ABC19（份）,因此2与SAABC19同理连接AI、CH导巨”9,注9,所以19 6 6 6SA ABC19 SA ABC19SAABC19三角形GHI的面积是1,所以三角形ABC勺面积是19ABC的面积是阴【巩固】 如图， ABC中BD 2DA, CE 2EB , AF 2FC ,那么影三角形面积的倍.【分析】如图，连接AI . 根据燕尾定理，S BCI : S aci BD : AD所以， S ACI : S BCI : S ABI 1: 2 :4 ,那么,2:1 ,S BCIS bci : S abi CF :AF 1:2,2 e 2cS ABC S A

45、BC 1 2 47同理可知ACG和ABH的面积也都等于 ABC面积的-,所以阴影三角7形的面积等于 ABC面积的1 2 31，所以ABC的面积是阴影三角形 77面积的7倍.【巩固】如图在MBC中，区区里1,求:GHI%；的值.DB EC FA 2 ABC 的面积AEAEDD【解析】连接83设$. BGC1份，根据燕尾定理SA AGC : SABGCAF:FB 2:1,S，bg： &agc BD : DC 2:1 ,得 SA2（份）,Saabg 4（份），则S.abc 7（份），因此 U ,同理连接AI、CH导SABC7冬”2, 2 2,所以 Saghi 7 2 2 2 1SA ABC

46、7 SA ABC 7SA ABC77【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置 上的图形，虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很 多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们 有对称法作辅助线.【例28】 如图，三角形 ABC的面积是1, BD DE EC, CF FG GA,三角形ABC 被分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少？【解析】设BGW A位于点P, BG与AE交于点QBF与AD交于点M BF与AE交于点N.连接CP CQ CM CNSA AQG根据燕尾定理,S ABP : SACBPSA ABP1 （份）,则 SA ABC同理可得

47、,SAABQ7 21同理,SA BPMWS人SABDM35AG ：GC 1： 2 ,5（份），所以-,SA ABN7SI边形PQMNSA ABP : SA ACPBD : CDSA ABP一53，所以S APQ5 353570S3边形 MNED3 35 70-5- , S3边形 NFCE423 21 42SH边形GFNQ2142【巩固】如图，ABC的面积为1,点D、E是BC边的三等分点，点F、G是AC边的三等分点，那么四边形JKIH的面积是多少?【解析】连接CK、CI、CJ .根据燕尾定理，S ACK : S ABK CD : BD 1:2,所以s ACK : S ABK : S CBK类似分

48、析可得Sagi1:2:4 ,那么 Sack2S ABK : S CBK1112 4 7AG : CG 1:2,S AGK1ACK 21又 S ABJ : S CBJAF : CF那么，ScgkJ114 21152:1, S ABJ : S ACJ BD :CD 2:1,84可得S ACJ根据对称性,可知四边形CEHJ的面积也为84,那么四边形JKIH周围的图形的面积之和为SCGKJ2 SAGISABE 84 2125 3柴所以四边形JKIH的面积为1 60 70【例29】右图， ABC中，G是AC的中点,D、 E、F是BC边上的四等分点,1 16AD与BG交于M , AF与BG交于N ,已知4

49、ABM的面积比四边形FCGN的 面积大7.2平方厘米，则 ABC的面积是多少平方厘米？【解析】连接CM、CN .根据燕尾定理，1c& ABMSA ABC，5再根据燕尾定理,Sa ABM : SacbmAG:GC 1:1 ,SA ABM : SA ACMBD ：CD1:3 ,所以Sa ABN : Sa CBNAG:GC 1:1SA ABN : SA FBNSA CBN : SA FBN4:3 ,所以 AN : NF,所以4:3 ,那么SZ ANGSA AFC所以Sfcgn1 Sa AFC7258 s ABC 根据题意，有1s ABC SA ABC 5287.2 ,可得 SA ABC336

50、 （平方厘米）【例30如图，面积为l的三角形ABC CA的三等分点，求阴影部分面积.DX E、F、G H I 分别是 AB BC【解析】三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！令BI与CD勺交点为M AF与CD勺交点为N, BI与AF的交点为P, BI与CE的交点为Q连接AM BN CP求 S四边形ADMI : 在4ABC中，根据燕尾定理，SA ABM : SA CBMAI : CI1 : 2 SA ACM : SA CBMAD : BD 1:2以 SA ABM1"加，则 SA cbm2 （份），SA ACM1（伤），SA ABC4（份）,所以SA ABMSAACMSA ABC , 4所以SA ADMSA ABM3一SA ABC , S AIM12一SA ABC , 12所以 SI边形 ADMI（一） SA ABC12 121SA ABC, 6同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是 ABC面积的16求S五边形DNPQE :在AABC中，根据燕尾定理SA ABN : SA ACNBF :CF 1: 2 SA acn : SABCNAD :BD1:2,所以SA ADN1SSA ABN 3- SA ABC3 721&ABC,同理 S> BEQ- SA ABC21 ABC施八、SA ABP : SA ACPB