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文档简介

1、专题讲义一、知识点平行 四边形+几何辅助线 的作法四边形的内角和与外角和定理:(1)边形的内角和等于360 °;B2.(2)四边形的外角和等于 360° .多边形的内角和与外角和定理:(1) n边形的内角和等于(n-2)180O(2)任意多边形的外角和等于 360° .3.平行四边形的性质:四边形ABCD是平行四边形性质* :判定(1)两组对边分别平行; 两组对边分别相等; 两组对角分别相等; 对角线互相平分; 邻角互补(2)(3)(4)(54、A平行四边形判定方法的选择5、和平行四边形有关的辅助线作法(1)利用一组对边平行且相等构造平行四边形例1、如图,已知点O

2、是平行四边形ABCD勺对角线AC的中点,四边形OCDE是平行四边形求证:OE与AD互相平分.说明:当已知条件中涉及到平行,且要求(2)利用两组对边平行构造平行四边形/ '、心十/例2、如图,在 ABC中,E、F为AB上两点,匚求证:ED+FG=AC.证的结论中和平行四边形的性质有关, 可AE=BF ED/AC,.(3)利用对角线互相平分构造平行四边形说明:当图形中涉及到一组对边平例3、如图,已知 人。是厶ABC的中线,BE交ABF=AC.说明:本题通过利用对角线互相平分构造平行 四边形,实际上是采用了平移法构造平行四边 形.当已知中点或中线应思考这种方法(4)连结对角线,把平行四边形转

3、化成两个全等三角形例4、如图,在平行四边形ABCD中,点E,F在对角线AC 上,个端点,和图中已标明字母的某一点连成一条新线段,且AECF ,请你以F D缶h 1刎为一ZJS相等(只需证明一条线段即可)(5)平移对角线,把平行四边形转化为梯形。例5、如右图2,在平行四边形ABCD中,对角线AC和BD相交于点0,如果AC 12,AC 。B图2例6、已知:如图,四边形 ABCD为平行四边形例7、已知:如右上图4,在正方形ABCD 中,E,F分别是CD、DA的中点,BE与CF交BD10,ABm,那么m的取值范围是()A、1m11B、2 m 22C、10m12D、5 m 6(6)过一边两端点作对边的垂

4、线,把平行四边形转化为矩形和求证:AC2 BD2 AB2 BC2 CD2 DA2(7)延长一边中点与顶点连线,把平行四边形转化为三角形。于P点,求证:AP AB、课堂练习:1、如图,E是平行四边形ABCD的边AB的中点,AC与DE相交于点F,若平行四边形ABCDBEC图31的面积为S,则图中面积为2s的三角形有(A. 1个 B . 2个2、顺次连接一个任意四边形四边的中点,得到一个四边形.3、如图,AD , BC 垂直相交于点 0, AB / CD, BC=8, AD=6 ,则AB+CD的长=4、已知等边三角形 ABC的边长为a, P是厶ABC内一点,PD/ AB, PE/ BC, PF /

5、AC,点DE、F 分别在 BC、AC AB上,猜想:PM PE+PF=并证明你的5、平行四边形ABCD中, E,G,F,H分别是四条边上的点,且 AE CF ,BC DH ,9、已知六边形 ABCDEF勺 6 个内角均为 120°, CD= 2cm, BO 8cm/AB= 8cm AF=5CmO猜想.DE、ABAfi!DE ;连结EC,取EC的中点求此六边形的周长.10、已知 ABC是等腰三角形,AB=AC D是BC边上的任DF AC,CH AB,垂足分别为 E、F、H,求证:DE DF CH11、已知:在 Rt ABC 中,AB BC ;在 Rt ADE 中,ADM ,连结DM和B

6、M .(1)若点D在边AC上,点E在边AB上且与点B不重合,如图,求证:BM DM 且 BM DM ;(2)如果将图8-中的ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角,如图,那么(1)中的结论是否仍成立?如果不成立,请举出反例;如果成立,请给予证明.图图- 答案:例4、连结BFBF DE证明:连结DB, DF ,设DB,AC交于点0四边形ABCD为平行四边形 A0OC, DO OBT AE FC二 A0AE OC FC 即 OE OF四边形EBFD为平行四边形 BFDE例5、解:将线段DB沿DC方向平移,使得DBCE ,DCBE ,则有四边形CDBE为平行四边形,在 ACE 中,AC12,

7、CEBD10, AE 2AB2m-12 10 2m1210,即 22m22解得1m 11故选A例6、证明:过A,D分别作AEBC于点E ,DFBC的延长线于点F AC2AE2 CE2AB2 BE2 (BCBE)2AB2BC2 2BE BC贝U AC2 BD2 AB2BC2 CD2DA22BC CF2BC BE四边形ABCD为平行四边形 AB / CD 且 AB CD , AD BCABC DCFAEB DFC 900 BE CFABE DCF2 2 2 2 2 2二 AC BD AB BC CD DA例7、证明:延长CF交BA的延长线于点K四边形ABCD为正方形900 AB / CD 且 AB

8、 CD , CD AD , BAD BCD又D DAK 900, DF AFKAF AK CDABv CE CD.DF2AD2 CEDFBCDD 900CDF90023900CPB90°,则KPB900 AP AB、课堂练习1、C 2 、平行、1045、分析:观察图形,EF与HG为四边形HEGF的对角线,若能说明四边形HEGF是平行四边形,根据平行四边形的对角线互相平分这一性质即可得到 EF与GH相互平分。4t E6分析:观察图形,GF与EH为四边形GEHF的对边,若能说明四边形EHFG是平行四边形,平行四边形具有对边平行的性质可得 GF / EH .7、分析:延长CE至F,使EF

9、= CE,连结AF、BF,得四边形平行四边形的性质证明 DBCFBC即可。8、分析:过点E作MN / AB,交BC于N,交AD的延长线于行四边形,ABE与四边形ABNM等底等高,所以&ABE = 1SS梯形ABCD平行四边形ABNM即可。10、证明:过D点作DG丄CH于G又DE丄AB于E, CH丄AB于H四边形DGHE为矩形 DE = GH EH / DG:丄 B=Z GDC又 AB = AC又/DGC = / DFC = 90°CD = DC (公共边) CDG DCF (AAS) DF = CG又 CH = CG + GHCH = DF + DG (等量代换)11、平行四

10、边形中常用辅助线的添法平行四边形(包括矩形、正方形、菱形)的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质,所以在添辅助线方法上也有共同之处,目的都是造就线段的平行、垂直,构成三角形的全等、相似,把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理,其常用方法有下列几种,举例简解如下:(1)连对角线或平移对角线:过顶点作对边的垂线构造直角三角形 连接对角线交点与一边中点,或过对角线交点作一边的平行线,构造线段平行或中位线连接顶点与对边上点的线段或延长这条线段,构造三角形相似或等积三角形。过顶点作对角线的垂线,构成线段平行或三角形全等第一类:连结对角线,把平行四边形转化成两个全等三角形。例1如左下图1

11、,在平行四边形ABCD中,点E,F在对角线AC上,且AE CF ,请你以F为一个端点,和图中已标明字母的某一点连成一条新线段,猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等(只需证明一条线段即可)连结BFBF DE证明:连结DB,DF,设DB,AC交于点0四边形ABCD为平行四边形 AO OC, DO 0B AE FC二 AO AE OC FC 即 OE OF四边形EBFD为平行四边形二BF DE第二类:平移对角线,把平行四边形转化为梯形。例2如右图2,在平行四边形ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,如果AC 12,BD 10,AB m,那么m的取值范围是()A1 m 11B2 m 22C10 m

12、 12D5 m 6解:将线段DB沿DC方向平移,使得DB CE,DC BE,则有四边形CDBE为平行四 边形,在 ACE 中,AC 12,CE BD 10,AE 2AB 2m12 10 2m 12 10,即 2 2m 22 解得 1 m 11故选 A第三类:过一边两端点作对边的垂线,把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。例3已知:如左下图3,四边形ABCD为平行四边形QQQQQQ求证:AC BD AB BC CD DA证明:过A,D分别作AE BC于点E,DF BC的延长线于点F AC2 AE2 CE2 AB2 BE2 (BC BE)2 AB2 BC2 2BE BC贝 U AC2 BD2 A

13、B2 BC2 CD2 DA2 2BC CF 2BC BE四边形ABCD为平行四边形 AB / CD且AB CD , AD BC ABC DCF/ AEB DFC 90° ABE DCF BE CF AC2 BD2 AB2 BC2 CD2 DA2第四类:延长一边中点与顶点连线,把平行四边形转化为三角形。例4:已知:如右上图4,在正方形ABCD中,E,F分别是CD、DA的中点,BE与CF交于P点,求证:AP AB证明:延长CF交BA的延长线于点K四边形ABCD为正方形AB / CD 且 AB CD, CDAD, BADBCDD 9001K又DDAK 90 °,DFAF CDF

14、也 KAFAKCDABv CE1CD,DF1AD CE DF22BCDD 90°BCE也 CDF 1 21390°2390° CPB900,则 KPB 900APAB第五类:延长一边上一点与一顶点连线,把平行四边形转化为平行线型相似三角形。例5如左下图5,在平行四边形ABCD中,点E为边CD上任一点,请你在该图基础上,适当添加辅助线找出两对相似三角形。解:延长AE与BC的延长线相交于F,则有 AED s FEC , FAB s FEC , AED s FAB第六类:把对角线交点与一边中点连结,构造三角形中位线1例6已知:如右上图6,在平行四边形 ABCD中,AN BN ,BE BC ,

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