圆锥曲线知识点归纳与解题方法技巧.

1、圆锥曲线解题方法技巧第一、知识储备：1. 直线方程的形式（ 1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。（ 2）与直线相关的重要内容倾斜角与斜率 ktan,0,)ky2y1x2x1点 P(x0 , y0 ) 到直线 AxByC0 的距离Ax0 By0 CdB2A2l1: y k1x b1夹角为，k2k1夹角公式：直线则 tanl2 : y k2 x b21 k2 k1（ 3）弦长公式直线 ykxb 上两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 间的距离 AB( x2x1 )2( y2y1 )2 AB1k2x1x2(1k 2 )( x1x2 ) 24x1x2

2、 AB11y1y2k2（ 4）两条直线的位置关系（）l1 : yk1xb1l2 : yk2 xb2 l1 l2k1k2 =-1 l1 / l2k1k2且 b1b2（） l1 : A1 xB1 y C10l2 : A2 x B2 y C20 l1 l2A1 A2B1B2 0 l1 / /l 2A1B2 - A2 B1 =0且AC12- A2C10或 A1B1C1者（ A2 B2C20 ）A2B2C2两平行线距离公式l1 : y kx b1| b1b2 |l2 : y kx b2距离 dk 21l1 : Ax By C10|C1C2 |l2 : Ax By C20距离 dB2A22、圆锥曲线方程及

3、性质1. 圆锥曲线的两定义 ：第一定义 中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F1 ，F 2 的距离的和等于常数 2a ，且此常数 2a 一定要大于 F1 F2 ，当常数等于F1 F2 时，轨迹是线段 F1 F2 ，当常数小于 F1F2 时，无轨迹； 双曲线中 ，与两定点 F1 ， F2 的距离的差的绝对值等于常数 2a ，且此常数 2a 一定要小于 | F1 F2 | ，定义中的 “绝对值”与 2a |F 1 F2 | 不可忽视 。若 2a |F 1 F2 | ，则轨迹是以 F1 ，F2 为端点的两条射线，若 2a |F 1 F2 | ，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表

4、示双曲线的一支。如方程( x6)2y 2( x6)2y28 表示的曲线是 _（答：双曲线的左支）2. 圆锥曲线的标准方程 （标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（ 1）椭圆 ：焦点在 x 轴上时 x2y2y 轴上时 y2x222 1 （ ab 0 ），焦点在22 1abab（ a b 0 ）。方程22表示椭圆的充要条件是什么？（ ，且A，B，CAxBy CABC 0同号， AB）。椭圆的方程的形式有几种？（三种形式）标准方程： x2y 21(m 0, n 0且 m n)mn距离式方程：(xc)2y2( xc) 2y 22a参数方程： xa cos , ybsin

5、若 x, yR ，且 3x 22 y26 ，则 xy 的最大值是 _，x2y2 的最小值是 _（答：5,2 ）（2）双曲线：焦点在 x 轴上： x 2y 2=1，焦点在y 2x 2（a 0, b 0）。方程 Ax 2By 2a 2b 2y 轴上：a 2b 21C 表示双曲线的充要条件是什么？（ABC0，且 A， B 异号）。如设中心在坐标原点 O ，焦点 F1 、 F2 在坐标轴上，离心率 e2 的双曲线 C 过点P(4, 10)，则C的方程为（答：226）_xy（3）抛物线 ：开口向右时 y 22 px( p0) ，开口向左时 y22 px ( p0) ，开口向上时 x22py ( p0)

6、，开口向下时 x22 py( p0) 。3. 圆锥曲线焦点位置的判断 （首先化成标准方程，然后再判断） ：（1）椭圆：由 x 2 , y 2 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。如已知方程x 2y2m 121表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 m 的取值范围是 _（答：m3(, 1)(1,)）22（2）双曲线：由 x, y项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；提醒：在椭圆中， a 最大， a2b2c2 ，在双曲线中， c 最大， c2a2b2 。4. 圆锥曲线的几何性质 ：22（1）椭圆（以 x2y21（ a b 0 ）为例）：范围：a xa, by b ；ab焦点：两个焦点 ( c,0

7、)；对称性：两条对称轴 x 0, y 0 ，一个对称中心（ 0,0 ），四个顶点 ( a,0),(0, b) ，其中长轴长为 2a ，短轴长为 2 b ；准线：两条准线 xa2； c ，椭圆c离心率： e0e 1 ， e 越小，椭圆越圆； e 越大，椭圆越扁。a25 ）；如（ 1）若椭圆 x2y 21的离心率 e10 ，则 m 的值是 _（答： 3 或5m53（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为 _（答： 22 ）（ 2）双曲线（以 x2y21（ a 0, b 0 ）为例）：范围： xa 或 xa, y R ；焦a2b2点：两个焦点 ( c,0)

8、；对称性：两条对称轴 x 0, y 0，一个对称中心（ 0,0 ），两个顶点 (a,0) ，其中实轴长为 2 a ，虚轴长为 2 b ，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为 x2y2k , k 0 ；准线：两条准线 xa2；c离心率： ec ，双曲线e 1，等轴双曲线e2 ， e 越小，开口越小， eab越大，开口越大；两条渐近线：yx 。双曲线的方程的形式有两种a标准方程：x2y20)m1(m nn距离式方程： |( x c) 2y2( xc)2y2 |2a（ 3）抛物线（以 y22 px ( p0) 为例）：范围： x0, yR ；焦点：一个焦点 ( p ,0) ，

9、其中 p 的几何意义是：焦点到准线的距离；对称性：一条对称轴2y 0 ，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；准线：一条准线 xp ； 离心率： ec ，抛物线e 1 。2a如设 a 0,aR ，则抛物线 y4ax2 的焦点坐标为 _（答： (0, 1 ) ）；16a5 、点 P( x0 , y0 ) 和椭 圆 x 2y21 （ ab0 ）的关系 ：（ 1 ）点 P( x0 , y0 ) 在椭圆外x02y02a 2b2x02y021 ；（ 2）点 P( x0 , y0 ) 在椭圆上 1；（ 3）点 P( x0 , y0 ) 在椭圆内a2b2a 2b2x02y021a2b26.记住焦半径公式：（

10、 1） 椭圆焦点在 x轴上时为 a ex0 ;焦点在 y轴上时为 a ey0 ，可简记为“左加右减，上加下减”。（2） 双曲线焦点在 x轴上时为 e | x0 |a（3） 抛物线焦点在 x轴上时为 | x1 |pp, 焦点在 y轴上时为 | y1|227.椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？第二、方法储备1、点差法（中点弦问题）设 A x1 , y1、 B x2 , y2， M a, b 为椭圆 x2y 21的弦 AB 中点则有43x12y121， x22y221；两式相减得x12x22y12y220434343x1x2 x1 x2y1y2 y1 y2kAB =3a434b2、联立消元法：你会

11、解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什么？如果有两个参数怎么办？设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使用判别式0，以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点A(x1, y1 ), B(x2 , y2 ) ，将这两点代入曲线方程得到12两个式子，然后 1 -2 ，整体消元······，若有两个字母未知数，则要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点A 、B、 F 共线解决之。若有向量的关系，则寻找坐标之间的关系，根与系数的关系结合消元处理。一旦设直线为ykxb ，就意

12、味着 k 存在。例 1、已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆4x 25 y280 上，且点A 是椭圆短轴的一个端点（点A 在y 轴正半轴上）.（ 1）若三角形ABC 的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC 的方程 ;（2）若角 A 为 900 ，AD 垂直 BC 于 D，试求点 D 的轨迹方程 .分析：第一问抓住“重心” ，利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦BC 的斜率，从而写出直线BC的方程。第二问抓住角A为900 可得出ABAC，从而得x1 x2 y1 y2 14( y1y2 ) 16 0 ，然后利用联立消元法及交轨法求出点D 的轨迹方程；解：（1）设 B（x1, y1）,C( x2 , y2

13、),BC中点为则有 x12y12x22y22( x0 , y0 ),F(2,0)1,201201616两式作差有(x1x2 )( x1x2 )( y1y2 )( y1y2 )x0y0 k0(1)2016045F(2,0)为三角形重心，所以由x1x22 ，得 x03 ，由 y1y2 40 得 y02 ，代入33（ 1）得 k65直线 BC 的方程为6x5y 2802)由 ABAC 得 x1x2y1 y214( y1y2 ) 160 （2）设直线 BC 方程为 ykx b,代入 4x25 y 280 ，得 (45k 2 ) x210bkx5b 2800x1x210kb5b2805k2， x1 x2

14、5k244y1y28k, y1 y24b 280 k 2代入（ 2）式得5k245k249b 232b160，解得 b445k 24(舍 ) 或 b9y449 y 422直线过定点（ 0，设 D （x,y），则1 ，即 9y9x32 y160)x9x所以所求点 D 的轨迹方程是 x2( y16)2( 20) 2 ( y 4) 。994、设而不求法例 2、如图，已知梯形 ABCD 中 AB2 CD ，点 E 分有向线段 AC 所成的比为，双曲线过 C、 D 、E 三点，且以 A、B 为焦点当 23 时，求双曲34线离心率 e的取值范围。分析：本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和

15、性质，推理、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力。建立直角坐标系xOy ，如图，若设C c ,h ，代入 x2y21，求得 h，进而求得 xE, yE, 再代入 x2y2 1 ，2a2b2a2b2建立目标函数 f (a, b, c,)0，整理 f (e, ) 0，此运算量可见是难上加难 .我们对 h 可采取设而不求的解题策略,建立目标函数f ( a, b, c,)0，整理 f (e,)0 ,化繁为简 .解法一：如图，以 AB 为垂直平分线为y 轴，直线 AB 为 x 轴，建立直角坐标系xOy ，则 CD y 轴因为双曲线经过点C、D ，且以 A、B 为焦点，由双曲线的对称性知C、 D关于

16、y 轴对称依题意，记 Ac, 0，C c ,h，E x0, y0，其中 c1| AB |为双曲线22的半焦距， h 是梯形的高，由定比分点坐标公式得cc2 chx02，y01211设双曲线的方程为 x2y 21，则离心率 eca2b2a由点 C、E 在双曲线上，将点 C、E 的坐标和 ec 代入双曲线方程得ae2h21，4b2e22h21411b2由式得h 2e21 ，b24将式代入式，整理得e24412，4故13e21由题设 23得，21e23334324解得7e10所以双曲线的离心率的取值范围为7 ,10分析：考虑 AE , AC 为焦半径 ,可用焦半径公式 ,AE , AC 用 E, C

17、 的横坐标表示， 回避 h的计算 , 达到设而不求的解题策略解法二：建系同解法一，AEaexE , ACaexC ，cc2 cAExE2，又，代入整理1323，由题设121AC 1134e2得， 213233e24解得7 e10所以双曲线的离心率的取值范围为7,105、判别式法例 3 已知双曲线 C : y2x21，直线 l 过点 A 2,0 ，斜率为 k ，当 0 k1时，双曲22线的上支上有且仅有一点B 到直线 l 的距离为 2 ，试求 k 的值及此时点 B 的坐标。分析 1：解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段. 从“有且仅有”这个

18、微观入手，对照草图，不难想到：过点 B 作与 l 平行的直线，必与双曲线C 相切 . 而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式0 . 由此出发，可设计如下解题思路：l : y k( x2 ) 0 k 1直线 l在 l 的上方且到直线l 的距离为2l': y kx2k 2 22k把直线 l的方程代入双曲线方程，消去y，令判别式0解得 k的值解题过程略 .分析 2：如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“有且仅有一点B 到直线 l 的距离为2 ”，相当于化归的方程有唯一解. 据此设计出如下解题思路：问题kx2 x 22k关于 x 的方程2 0 k 1 有唯一解k 21

19、简解：设点 M (x,2x 2 ) 为双曲线 C 上支上任一点，则点 M 到直线 l 的距离为：kx2x 22 k0 k 1k 212于是，问题即可转化为如上关于x 的方程 .由于 0 k1，所以2 x 2x kx ，从而有kx2 x 22kkx 2 x 22k.于是关于 x 的方程kx2x222(k21)k22(2(k 21)2kkx) 2 ,x22(k 21)2kkx0k 21 x22( k 22( k 222k1)2k x1)2k2 0,2( k 21)2k kx0.由0 k可知：1方 程 k 21 x22k2(k 21)2k x2(k 21)2k20的二根同正，故22(k 21)2k

20、kx0 恒成立，于是等价于k 21 x22k 2(k 22(k 221)2k x1)2k2 0 .由如上关于 x 的方程有唯一解，得其判别式0，就可解得25k.5点评：上述解法紧扣解题目标，不断进行问题转换，充分体现了全局观念与整体思维的优越性 .例 4 已知椭圆 C: x22 y28 和点 P（4，1），过 P 作直线交椭圆于A、B 两点，在APAQ线段 AB 上取点 Q，使，求动点 Q 的轨迹所在曲线的方程 .PBQB分析：这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，学生往往不知从何入手。其实，应该想到轨迹问题可以通过参数法求解. 因此，首先是选定参数，然后想方设法将点 Q 的横、纵坐标用

21、参数表达，最后通过消参可达到解题的目的.由于点 Q (x, y) 的变化是由直线AB 的变化引起的，自然可选择直线AB 的斜率 k 作为参数，如何将x, y 与 k 联系起来？一方面利用点Q 在直线 AB 上；另一方面就是运用APAQ4( xAxB )2x A x B题目条件：来转化 .由 A、 B、P、Q 四点共线，不难得到，xPBQB8( xAxB )要建立 x 与 k 的关系，只需将直线AB 的方程代入椭圆C 的方程，利用韦达定理即可.通过这样的分析，可以看出，虽然我们还没有开始解题，但对于如何解决本题，已经做到心中有数 .APAQPBQB4(xAxB )2x AxBx(xAxB )8将

22、直线方程代入椭圆方程，消去y，利用韦达定理xf k利用点 Q 满足直线 AB 的方程： y = k (x4)+1，消去参数k点 Q 的轨迹方程在得到 xf k 之后，如果能够从整体上把握，认识到：所谓消参，目的不过是得到关于 x, y 的方程（不含 k），则可由 yk( x4) 1 解得 ky1 ，直接代入 xfk 即可得x4到轨迹方程。从而简化消去参的过程。简解：设 A x1, y1, B(x2， y2 ), Q (x, y) ，则由 APAQ 可得： 4x1xx1，PBQBx24x2x4( x1x2 ) 2 x1 x2（ 1）解之得： xx2 )8 ( x1设直线 AB 的方程为：y k(

23、 x4)1 ，代入椭圆 C 的方程，消去 y 得出关于 x 的一元二次方程：2k 21 x 24k(1 4k)x 2(1 4k ) 28 0（ 2）x1 x24k (4k1) ,2k 21x1 x22(14k )28.2k214 k3(3)代入（ 1），化简得： x.k2与 yk (x 4)1联立，消去 k 得： 2xy 4 ( x4)0.在（ 2）中，由64k 264k240，解得210k210 ，结合（ 3）可求得4416 210x16 2 10.99故知点 Q 的轨迹方程为： 2 xy40（ 16210x162 10）.99点评：由方程组实施消元，产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程

24、，其判别式、韦达定理模块思维易于想到. 这当中，难点在引出参，活点在应用参，重点在消去参 .，而“引参、用参、消参”三步曲，正是解析几何综合问题求解的一条有效通道.6、求根公式法例 5 设直线 l 过点 P（ 0，3），和椭圆 x 2y 21顺次交于 A 、B 两点，试求 AP 的取94PB值范围 .分析：本题中，绝大多数同学不难得到：AP =x A ，但从此后却一筹莫展 , 问题的PBxB根源在于对题目的整体把握不够. 事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系.AP=

25、x A 已经是一个关系式，但由于有两个变量分析 1: 从第一条想法入手，PBxBxA , xB ，同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第3 个变量直线AB 的斜率 k. 问题就转化为如何将xA , xB 转化为关于 k 的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去y 得出关于 x 的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.把直线 l 的方程 y = kx+3 代入椭圆方程， 消去 y 得到关于 x 的一元二次方程求根公式xA = f （k）， xB = g（ k）AP/PB = （ xA / x B）得到所求量关于k 的函数关系式由判别式得出k 的取值范围所求量的取值范围简解 1：当直

26、线 l 垂直于 x 轴时，可求得 AP1 ;PB5当 l 与 x 轴不垂直时，设 A x1 , y1 , B( x2， y2 ) ，直线 l 的方程为： ykx 3，代入椭圆方程，消去 y 得 9k 24 x254kx 45 0解之得x1 ,227k69k25 .9k 24因为椭圆关于 y 轴对称，点 P 在 y 轴上，所以只需考虑 k0的情形.当 k0 时， x127k 6 9k25 ， x227k 6 9k 25 ，9k 249k24所以APx1=9k29k25= 118k= 118.PBx29k 2 9k 29k 2 9k 255929525 ，k由( 54k )21 8 09k 24

27、0 , 解得 k 29所以11181 ，综上1AP1 .55PB59292k分析 2: 如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到： 判别式往往是产生不等的根源 . 由判别式值的非负性可以很快确定k 的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与 k 联系起来 . 一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于APx1不是关于 x1 , x2 的对称关系式 . 原因找到后，解决问题的方PBx2法自然也就有了，即我们可以构造关于x1, x2 的对称关系式 .把直线 l 的方程 y = kx+3 代入椭圆方程， 消去 y得到关于 x 的一元二次方程韦达定理xA+ xB =

28、 f（ k），xA xB = g（k ）AP/PB = （ xA / xB）构造所求量与 k 的关系式简解 2：设直线 l 的方程为： y kx由判别式得出 k 的取值范围3 ，代入椭圆方程，消去 y 得关于所求量的不等式9k 24 x254 kx 45 0（ *）x1 x29k54k ,则2445x1 x2.29k4x1，则，1324 k2令245k 2.x220在（ * ）中，由判别式0, 可得 k 25 ，9136 ，解得1236 ，所以从而有4324 k425 .45k 220555结合 01得 11.AP51 .综上，1PB5点评：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不

29、等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等. 本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法 .解题犹如打仗，不能只是忙于冲锋陷阵，一时局部的胜利并不能说明问题，有时甚至会被局部所纠缠而看不清问题的实质所在，只有见微知著，树立全局观念，讲究排兵布阵，运筹帷幄，方能决胜千里 .第三、推理训练：数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式，它是数学求解的核心。以已知的真实数学命题，即定义、公理、定理、性质等为依据，选择恰当的解题方法，达到解题目标，得出结论的一系列推理过程。在推理过程中，必须注意所使用的命题之间的相互关系（充分性、必要性、充要性等），做到思考缜密、推理严密。通过编写

30、思维流程图来锤炼自己的大脑，快速提高解题能力。例 6 椭圆长轴端点为 A, B ， O 为椭圆中心， F 为椭圆的右焦点，且 AFFB1，OF1（）求椭圆的标准方程；（）记椭圆的上顶点为M ，直线 l 交椭圆于 P, Q 两点，问：是否存在直线l ，使点F 恰为PQM 的垂心？若存在，求出直线l 的方程 ;若不存在，请说明理由。思维流程：（）由 AFFB1， OF1(ac)(ac)1 ， c1写出椭圆方程a2,b1由 F 为PQM 的重心PQMF , MPFQk PQ1（）yxm3x 24mx 2m22 0x22y22消元两根之和，得出关于两根之积MPFQ0解出 mm 的方程解题过程：x2y2

31、1(a b 0) ,则 c1（）如图建系，设椭圆方程为b2a2又 AF FB1即 (a c) (a c)1 a2c2 ， a22故椭圆方程为x2y212（）假设存在直线l 交椭圆于P,Q两点，且F 恰为PQM的垂心，则设 P( x1 , y1 ), Q(x2, y2 ) ，M (0,1), F (1,0) ，故k PQ1 ，于是设直线 l 为 yxm ，由yxm24mx 2m22 0x22 y2得， 3x2 MPFQ0 x1 (x21)y2( y1 1) 又 yi xi m(i1,2)得 x1( x2 1)(x2m)( x1 m1)0即2x1x2(x1x2 )( m 1) m2m0由韦达定理得2 2m224m (m1)m2m033解得 m4或 m1（舍）经检验 m43符合条件3点石成金：垂心的特点是垂心与顶点的连线垂直对边，然后转化为两向量乘积为零例 7、已知椭圆 E 的中心在坐标原点， 焦点在坐标轴上， 且经过 A( 2,0) 、 B(2,0) 、C 1, 3 三点 2（）求椭圆 E 的方程：（）若点 D 为椭圆 E 上不同于 A、 B 的任意一点， F ( 1,0), H