八年级数学动点问题

1、八年级数学动点问题L (2012常德)已知四边形ABCD是正方形，0为正方形对角线的交点，一动点P从B开始， 沿射线BC运动，连接DP,作CN_LDP于点且交直线AB于点N,连接0P, 01 (当P在线 段BC上时,如图L当P在BC的延长线上时,如图2 )(1)请从图1,图2中任选一图证明下面结论：BN:CP：且OPJ_ON；(2)设AB=4, BPr,试确定以0、P、B、N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系.图1图2解答：.(1)证明：如图1, .,四边形ABCD为正方形， 0C=OB, DC=BC, ZDCB=ZCBA=90° , ZOCB=ZOBA=45° , ND

2、0C=90° , DCAB, VDP±CN,A ZCMD=ZD0C=90° ,A ZBCN+ZCPD=90° , ZPCN+ZDCN=90° ,/. NCPD= NCNB,VDC/7AB. ZDCN=ZCNB=ZCPD, :在 ADCP 和 ACBN 中9AADCPACBN (AAS), ACP=BN, VAOBNAOCP 中AAOBNAOCP (SAS), )，0N=OP, ZBON=ZCOP,A ZBON+ ZBOP= ZCOP+ ZBOP, 即 NNOP= NBOC二90° , AON±OP,即 ON=OP, ON&#

3、177;OP.(2)解：四边形ABCD是正方形,，。到BC边的距离是2,图 1 中，S 四边形 OPBN=SAOBN+SABOP,1 1- 2X（4-x） >2+2”xx2,T （0<x<4）,图 2中'OBNPS A POB-S A PB>,1 1-2xxx2* 2x （X - 4） xx3=4（0<x<4）1 27=x - X（X>4）=杂2 - X （x>4）,即以O、P-. B-. N为顶点的四边形的面积、与乂的函数关系是，2.已知正方形ABCD,点P是对角线AC所在直线上的动点，点E在DC边所在直线上，且随 着点P的运动而运动，

4、PE二PD总成立.（1）如图（1）,当点P在对角线AC上时，请你通过测量、观察，猜想PE与PB有怎样的关 系（直接写出结论不必证明）：（2）如图（2）,当点P运动到CA的延长线上时，（1）中猜想的结论是否成立如果成立，请 给出证明：如果不成立，请说明理由；（3）如图（3）,当点P运动到CA的反向延长线上时，请你利用图（3）画出满足条件的图 形，并判断此时PE与PB有怎样的关系（直接写出结论不必证明）解答：（1）解：PE=PB,PEJ_PB.（2）解：（1）中的结论成立.四边形ABCD是正方形，AC为对角线, ，CD=CB, ZACD=ZACB>又 PC二PC,）PDCdPBC,，PD 二

5、 PB,VPE=PD,，PE 二 PB.：由，得PDCg/kPBC,A ZPDC=ZPBC. （7 分）又 YPE = PD,/. ZPDE=ZPED.A ZPDE+ZPDC=ZPEC+ZPBC=180° , ，NEPB=3600 - (ZPEC+ZPBC+ZDCB) =90c ,，PEJ_PB.解：如图所示 B结论：PE=PB,PELPB.3.已知，矩形ABCD中，AB=lcm, BC=8cm, AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F, 垂足为o.(1)如图1,连接AF、CE.求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长：(2)如图2,动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿AAE

6、B和4CDE各边匀速运动一周.即 点P自A-F-B-A停止，点Q自C-D-E-C停止.在运动过程中，已知点P的速度为每秒5cm,点Q的速度为每秒4cm,运动时间为t秒，当A、C、P、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值.若点P、Q的运动路程分别为a、b (单位：cm, abHO),已知A、C、P、Q四点为顶点的 四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式.E D解：(1);四边形ABCD是矩形,解答：，ADBC,NCAD=NACB, NAEF二NCFE,EF垂直平分AC,垂足为0,，OA=OC,/.AOEACOF,AOE=OF,，四边形AFCE为平行四边形,XVEFXAC,.四边形

7、AFCE为菱形，设菱形的边长AF=CFrcm,则BF=(8-x) cm, 在 RtAABF 中，AB=4cm,由勾股定理得42+ (8-x) 2=x2, 解得x=5,*.AF=5cm.（2）显然当P点在AF上时，Q点在CD上，此时A、C、P、Q四点不可能构成平行 四边形：同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上或P在BF, Q在CD时不构成平行四边形，也 不能构成平行四边形.因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，.以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC二QA,.点P的速度为每秒5cm,点Q的速度为每秒4cm,运动时间为t秒，/.PC=5t, QA=12-4t

8、,/.5t=12 - 4t, _4解得与，_4以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，秒.由题意得，四边形APCQ是平行四边形时，点P、Q在互相平行的对应边上.分三种情况：i）如图1,当P点在AF上、Q点在CE上时,AP=CQ,即a=12 - b,得-12； ii）如图2,当P点在BF上、Q点在DE上时，AQ=CP,即12 - b=a,得a+b=12； iii）如图3,当P点在AB上、Q点在CD上时，AP二CQ,即12 - a=b,得a+b=12.4、如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0. 2）,点P是x轴上一动点，以线段AP为一 边，在其一侧作等边三角形APQ.当点P运动到原点0

9、处时，记Q的位置为B.（1）求点B的坐标：（2）求证：当点P在x轴上运动（P不与0重合）时，NABQ为定值：（3）是否存在点P,使得以A、0、Q、B为顶点的四边形是梯形若存在，请求出P点的坐标： 若不存在，请说明理由.解答：（1）解：过点B作BC_Ly轴于点C, VA （0, 2）, ZXA0B为等边三角形， ，AB=0B=2, ZBA0=60° ,/.BC=73* OC=AC=1：即B （ a/3 . 1），（2）证明：当点P在x轴上运动（P不与0重合）时，不失一般性, ,NPAQ=N0AB=60° ,J NPA0=NQAB, 在APO和AAQB中，/. AAPOAAQB

10、 （SAS）, /. ZABQ=ZA0P=900 总成立， ，当点P在x轴上运动（P不与0重合）时，NABQ为定值90° ：（3）解：由（2）可知，点Q总在过点B且与AB垂直的直线上，可见A0与BQ不平 行.当点P在X轴负半轴上时，点Q在点B的下方，此时，若ABOQ,四边形AOQB即是梯形，当 ABOQ 时，NBQ0=90° , ZBOQ=ZAB0=60° .A解答：解：当点0运动到AC的中点（或OA=OC）时，四边形AECF是矩形. 证明：.CE平分NBCA,r.zi=Z2,又MNBC,AZ1=Z3,Z3=Z2,，E0 二 CO, 同理，FO二CO, ，EO=F

11、O,XV0A=0C,.四边形AECF是平行四边形， ?CF是NBCA的外角平分线,AZ4=Z5,又N1=N2,AZ1+Z5=Z2+Z4,XVZ1+Z5+Z2+Z4=18O° , AZ2+Z4=90° , ，平行四边形AECF是矩形.6.正方形ABCD中，点0是对角线DB的中点，点P是DB所在直线上的一个动点，PE1BC 于 E, PFLDC 于 F.（1）当点P与点0重合时（如图），猜测AP与EF的数量及位置关系，并证明你的结论;（2）当点P在线段DB上（不与点D、0、B重合）时（如图），探究（1）中的结论是否成 立若成立。写出证明过程：若不成立，请说明理由；（3）当点P在

12、DB的长延长线上时，请将图补充完整，并判断（1）中的结论是否成立若 成立，直接写出结论：若不成立，请写出相应的结论.解答：解：（1） AP=EF, AP_LEF,理由如下：连接AC,则AC必过点0,延长F0交AB于M：V0F±CD, 0E±BC,且四边形ABCD是正方形，四边形0ECF是正方形，Z.0M=0F=0E=AM,V ZMA0=Z0FE=45° , NAM0=NE0F=90° , AAAMOAFOE (AAS),AAO=EF, KZAOM=ZOFE=ZFOC=45° ,即 OC_LEF, 故 AP=EF,且 AP_LEF.(2)题(1)

13、的结论仍然成立，理由如下：延长AP交BC于N,延长FP交AB于M：VPM±AB, PE±BC, ZMBE=90° ,且NMBP=NEBP=450 , .四边形MBEP是正方形，AMP=PE, NAMP二NFPE二90° ：又 TAB-B仁 AM, BC-BE 二 EC 二 PF,且 AB = BC, BM = BE,JAM 二 PF,AAxWAFPE (SAS),JAP二EF, ZAPM=ZFPN=ZPEFV ZPEF+ZPFE=90° , NFPN=NPEF,/. ZFPN+ZPFE=90° ,即 AP_LEF,故 AP=EF,且

14、AP_LEF.（3）题（1） （2）的结论仍然成立：如右图，延长AB交PF于H,证法与（2）完全相同.7、如图，一个直角三角形纸片的顶点A在NMON的边0M上移动，移动过程中始终保持AB _LON于点B, AC_LOM于点A. NMON的角平分线0P分别交AB、AC于D、E两点.（1）点A在移动的过程中，线段AD和AE有怎样的数量关系，并说明理由.（2）点A在移动的过程中，若射线ON上始终存在一点F与点A关于0P所在的直线对称，判断并说明以A、D、F、E为顶点的四边形是怎样特殊的四边形（3）若NM0N=45° ,猜想线段AC、AD、0C之间有怎样的数量关系，只写出结果即可.不用 证明

15、.解答：解：(1) AE=AD. S理由如下：VAB±ON, ACXOM,/. ZAED=900 -NMOP, NADE=N0DB二900 - NP0N, 而 NM0P = NN0P,/. ZAED=ZADE.AAD=AE.(2)菱形. 理由：连接DF、EF,.点F与点A关于直线0P对称，E、D在0P上， ，AE 二FE, AD=FD.由得AE二AD,Z.AE=FE=AD=FD.四边形ADFE是菱形；(3) OC=AC+AD.理由：四边形ADFE是菱形，r. NAEO=/FEO, / NAOE=NFOE,/. NEFO=NEAO,VAC±OM, OP 平分NMON, AE=

16、EF, AEF±OC, ，NEFO=90° , ，AE二EF二AD, OA=OF,V ZM0N=45° ,A ZAC0=ZA0C=45° ,/.OA=AC, NFEC= NFCE,AEF=CF, ACF=AE, ，OC=OF+FC=OA-AE=AC+AD.8.如图，ABC中，点P是边AC上的一个动点，过P作直线MNBC.设MN交NBCA的平 分线于点E,交NBCA的外角平分线于点F.（1）求证:PE=PF；S（2）当点P在边AC上运动时，四边形AECF可能是矩形吗说明理由：AP V3（3）若在AC边上存在点P,使四边形AECF是正方形，且BC 2'

17、;.求此时NBAC的大小.E解答：(1)证明：TCE平分NBCA,J NBCE=NECP,又MN/ZBC,/. ZBCE=ZCEP,； ZECP=ZCEP,APE=PC：同理PF二PC,APE=PF：(2)解：当点P运动到AC边中点时，四边形AECF是矩形.理由如下: 由可知PE二PF,P是AC中点，JAP 二 PC,.四边形AECF是平行四边形.VCE. CF 分别平分NBCA、NACD,KZBCA+ZACD=180° ,1 1，NECF=NECP-NPCF=, (ZBCA-ZACD) =2xlSOMOS 平行四边形AECF是矩形：(3)解：若四边形AECF是正方形，则ACLEF,

18、 AC=2Ap.AAC±BC, ABC是直角三角形，且NACB=90"，BC _J_ VS UnNBAC=75=9.如图，在直角梯形ABCD中，ADBC, ZB=90c , AD=6, BC=8,，点M是BC的中点.点 P从点M出发沿MB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，到达点B后立刻以原速度沿 BM返回：点Q从点M出发以每秒1个单位长的速度在射线MC上匀速运动.在点P, Q的运 动过程中，以PQ为边作等边三角形EPQ,使它与梯形ABCD在射线BC的同侧.点P, Q同时 出发，当点P返回到点M时停止运动，点Q也随之停止.设点P，Q运动的时间是t秒（t>0）.（1）

19、设PQ的长为y,在点P从点V向点B运动的过程中，写出y与t之间的函数关系式（不 必写t的取值范围）；（2）当BP=1时，求EPQ与梯形ABCD重叠部分的而积；（3）随着时间t的变化，线段AD会有一部分被覆盖，被覆盖线段的长度在某个时刻 会达到最大值，请回答：该最大值能否持续一个时段若能，直接写出t的取值范围：若不能， 请说明理由.解答:解： y=MP+MQ=2t：（2）当BP=1时,有两种情形: |如图1，若点P从点响点B运动，有MbKbCt x（p=mq=3, -PQ=6,连接EM,.史15是等边三角形，工立（3.丁国仁3会.,汕=班，'点E在AD上.EPQ与梯形ABCD重登部分就是

20、EPQ,其面积为.若点P从点B向点M运动，由题意得55.PQ=BM-MQ - BP=8, PC=7.设PE与AD交于点F, QE与AD或AD的延长线交于点G, 过点P作PH±AD于点H,则眸则由m，AH=L.在 RtHPF 中，ZHPF=30° ,.HF=3, PF=6.，FG=FE=2.又.FD=2,* *.点G与点D重合，如图2.此时EPQ与梯形ABCD的重叠部分就是梯形FPCG,其面积为 （3）能,此时，4WtW5.过程如下：如图，当t=4时，P点与B点重合，Q点运动到C点， 此时被覆盖线段的长度达到最大值，PEQ为等边三角形，AZEPC=60° ,，NAP

21、E=30° , AB=3 a/35AAF=3, BF=6,AEF=FG=2,AGD=6 - 2 - 3=1,所以Q向右还可运动1秒，FG的长度不变, ，4WtW5.10.（正方形ABCD中，点0是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PFJ_CD 于点F.如图1,当点P与点0重合时，显然有DF二CF.（1）如图2,若点P在线段A0上（不与点A、0重合），PE1.PB且PE交CD于点E.求证：DF=EF：写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系，并证明你的结论；（2）若点P在线段0C上（不与点0、C重合），PE_LPB且PE交直线CD于点E.请完成图3 并判断（1）中的结论、是否分别成立若不成立，写出相应的