内切球与外接球优质专题

1、立体几何中的最值问题 专题汇编1立体几何中的“内切”与“外接”问题的探究进而将空间问题转化为平面问题1球与柱体规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分 的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题1.1 球与正方体例1 棱长为1的正方体ABCD ABQiDi的8个顶点都在球O的表面如图1所示，正方体 ABCDA1B1C1D1 ,设正方体的棱长为E,F,H ,G为棱的中点，O为球的球心。匕E, F分别是棱AA，DDi的中点，贝y直线EF被球O截得的线段长常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球,截面图为为（正方形E

2、FHG和其内切圆，则1。2A. B . 1 C. 1 出 D. 422 2fit由题意可SH竦为正方怵册外接球.平面曲£耳截面所獰凰而册年徑是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形EFHG和其外接L巴T曲匸Bigq .酸 幽鱷0截得赠段輝a®而鯛直淫丘=血. 2 21.2 球与长方体三是球为正方体的外接球，截面图为长方形ACCiA和其外接长方体各顶点可在一个球面上，故长方体存在外切球.但是不圆，贝y |AiO'J 3a=R =2定存在内切球.设长方体的棱长为a,b,c,其体对角线为l .当球为长方通过这三种类型可以发现， 解决正方体与球的组合问题,常用体的外接球时，截

3、面图为长方体的对角面和其外接圆，和正方体工具是截面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通的外接球的道理是一样的，故球的半径re=冲过两个截面图的位置关系， 确定好正方体的棱与球的半径的关系,立体几何中的最值问题 专题汇编例2在长、宽、高分别为2，2，4的长方体内有一个半径为的球，任意摆动此长方体，贝y球经过的空间部分的体积为10 n8 n 7 nA.B.4 n C.D.3333解，利用运动的艮贴分析在小球移动的过程中.迸过部分的几何体.因半径角L的小球检好角棱扶尚2的正 方体的內切球.故4谭经过空间由上往下看为：半个丿驾、鬲为2的圆柱初半个丿应求，三韶分的体积为： xix2 + ;rx

4、 x2=TT323例3正四棱柱ABCD A,BCiDi的各顶点都在半径为 R的球面上，则正四棱柱的侧面积有最值，为1.3 球与正棱柱球与一般的正棱柱的组合体，常以外接形态居多。下面以正三棱柱为例，介绍本类题目的解法一一构造直角三角形法。设正三棱«=如图乩 戡面图丸长方形ZC7AC1和其外接同.球心为捏马的中点.o 则ROA.设正四檢柱的测按长次占，底面边长；两则AC = 42a, AS =匹码。丑=(，+(-)2 2 2 2.4夙2 = 2/十&2,则正四棱柱的侧面积：柱ABC -ABQ的高为h，底面边长为a，如图2所示，D和Di分别为上下底面的中心。根据几何体的特点，球心必

5、落在高DDi的中S =4沁=V2 2&至4二區Z + 2凸= A區史、故侧面积育最大值" 沖4虽2 , 当且仅当a = 旋出时等号威立.t点0，OD弓A。=R,AD =牛，借助直角三角形AOD的勾股定理，2 球与锥体可求R =O规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.立体几何中的最值问题 专题汇编A图4c将半径都为1的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器2.1球与正四面体正四面体作为一个规则的几何体，它既存在外接球，也存在内切 球，并且两

6、心合一，利用这点可顺利解决球的半径与正四面体的 棱长关系。外接球如图4，设正四面体S ABC的棱长为a，内切球半径为的半径为R，取AB的中点为D , E为S在底面的射影，连接CD,SD,SE为正四面体的高。在截面三角形SDC,作一个与边SD和DC相切，圆18心在高SE上的圆，即为内切球的截面。里，这个正四面体的高的最小值为R+ r =£a, R2 -r2 =|CE2弓，解得：R呼十存这个解法是通过利用A 后 2763B. 2+普C. 4+普D.迈泮因为正四面体本身的对称性可知，外接球和内切球的球心同为O。此时， CO =OS = R,OE = r,SE= J|a,CE贝U有晞；“容器

7、四面悴中的这四牛小球-段四牛日海湘球心沖顶点构威了 一牛梗岳天2的&球心正四面悴叫 这个四面体酌高是'羊位正四面悴*'髙萼）的£佶即沖兰夢.“球心正四面悴实的底面到M容器正四 商悴”的地面试rJ'球半® 1-而"球心正四面悴"顶*.到“容器正四面悴”的顶点的距离淘3 （小球半®的 3倍）.于足"容黑正四面悻E购高试夢+3+1 选择这亍"小球半径的3仲呈这样想的，儆一!小两心合一的思路，建立含有两个球的半径的等量关系进行求解时我们可以发现，球心 O为正四面体高的四等分点.如果我们牢记球的外切正四

8、面体，这个小球球心与外切正四面体的中心重合，而正四面体的中心到顶点的距离是中心到地面距离的这些数量关系，可为解题带来极大的方便3倍.2.2球与三条侧棱互相垂直的三棱锥球与三条侧棱互相垂直的三棱锥组合问题，主要是体现在球为三棱锥的外接球.解决的基本方法是补形法，即把三棱柱补形成 正方体或者长方体。常见两种形式:是三棱锥的三条棱互相垂直且相等，则可以补形为一个正»=如圏 5,正三擾雄对换相互垂S,AC丄册”袁方体，它的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心。如图沏 皿曲丄AC”又窗丁二AM.:. 21丄平E&4U三棱锥Ai-ABDi的外接球的球心和正方体ABCD AiBiCiDi的

9、夕于是册丄平面EE丄SAa 丄SC.从而册丄8.此时正三棱谨E - ABC三粲侧橈呈相垂直并且相等，故将的球心重合，设AA=a，则R=¥a。工二粒锥补形再正右悴是如果三棱锥的三条侧棱互相垂直且不相等，则可以补形为一个长方体，它的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心，2 丄 L.2 丄 2. 2R2/ +b +C :=-（I为长方体的体对角线长）4D-4C图'2.3球与正棱锥球与正棱锥的组合，常见的有两类,例5 在正三棱锥S-ABC 中,M、N分别是棱SC、BC的中点，AM丄MN ,若侧棱SA = 273,则正三棱锥 S-ABC外接球的表面积是球为三棱锥的外接球，此时三棱锥的各

10、个顶点在球面上，根据截面图的特点，可以构造直角三角形进行求解是球为正棱锥的内切球， 例如正三棱锥的内切球，棱锥四个面相切，球心到四个面的距离相等，都为球半径球与正样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离，故可采用等体积法解决，即四个小三棱锥的体积和为正三棱锥的体积例6在三棱锥P ABC中所成的R.这,PA = PB=PC= 73 侧棱 PA 与底面 ABC角为60 °,则该三棱锥外接球的体积为（O，由直角三角形的性质可得:OA=OS = OB = OC ,所以O点为三棱矩形ABCD中瞄 C. D. 3如图T所示，过P点作底面ABCm垂统，垂定齿0,逵捏为外按球的球心，建援卫O因斤2

11、乙FA（ = 6gP =畐.故 0 =七 ,P0 = m 又 AH0 为图卑 角三角 形，AH PH = r,: AH = AC+OH,锥S- ABC的外接球的球心，则R=S2CAB = 4,BC = 3,沿AC将矩形ABCD折成一个直二面:.宀疥+一叽八1盯=1胃叽1托角B-AC-D,则四面体ABCD的外接球的体积是（）2.4球与特殊的棱锥A毕12C.d6球与一些特殊的棱锥进行组合，一定要抓住棱锥的几何性质，可 综合利用截面法、补形法、等进行求解。例如，四面体都是直角三角形的三棱锥，可利用直角三角形斜边黑 由題意分析可扯四®体屈CD的外接球的球心落在加的中点，此时满足OA = OD

12、 = OB = OC,.5 4125R二=一，7=-戚=幵.2 236中点几何特征，巧定球心位置。如图8，三棱锥S-ABC,满足SA丄面ABC， AB丄BC，取SC的中点为3 球与球4球与几何体的各条棱相切对个多个小球结合在一起，组合成复杂的几何体问题，要求球与几何体的各条棱相切问题，关键要抓住棱与球相切的几何性有丰富的空间想象能力，解决本类问题需掌握恰当的处理手段，质，达到明确球心的位置为目的，然后通过构造直角三角形进行如准确确定各个小球的球心的位置关系，或者巧借截面图等方法，转换和求解.将空间问题转化平面问题求解如与正四面体各棱都相切的球的半径为相对棱的一半:r =a4例8在半径为的球内放

13、入大小相等的4个小球，则小球的半径的例8把一个皮球放入如图10所示的由8根长均为20 cm的铁丝最大值为（）例r在半径黄R的球内施入大可寸目等的4个小球，则小球半径F的最天值次（ A. I迈一I迟E .価一J貝D. +?谯裳便得小球的半径最大.需便得4个小球的琲心沟一吓正四S体的 四个顶点.如團9所示，此时正四®体A-BCD的外接球的球心为O, 即次半径为R的球的球心，则启0 =氏-尸又因O为北6的四分点.故4= -吩.在尿A肋q中，肿=2笃EQ二£辰（左_町xlf =（纣-岸后冗广=（苗一2）丘.接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点，则皮球的半径为（）9

14、图gA. 10J3cmB. 10cm C. 10J2cmD. 30cm解=如图11所示，由题意球心在AP上，球心为0，过0作EF閉垂线 仙 垂足淘0片民0（圧為 因为各个棱部为所L2ABP=20,设 母刊=*在应沽EIFH中，总耳 =所以PM = 10若.在 葩“酬 中，=所以在左沁ABP中ms等=普=琴在血5卩豎二罗=飾所sin a =,所滋 OF =忑只.在农沽 OAH 中，=+所=CP 2解得.A=10或30 （舍），所1乩故选E.综合上面的四种类型，解决与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的

15、对角面来作;外接球内切球问题把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的内接问题.解决这1.（陕西理）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（等于球的半径.发挥好空间想象力，借助于数形结合进行转化，问题即可得解.如果是一些特殊的几何体，如正方体、正四面体等可以借助结论直接求解，此时结论的记忆必须准确12答案2.棱柱ABC-ABiG的各顶点都在同一球面上，若AB= AC= AA = 2,NBAC =120。，贝U此球的表面积等于解:在 也ABC中AB =AC =2,NBAC =12

16、0。,可得BC = 2/3 ,由正弦定理，可得答案 DMBC外接圆半径 r=2,设此圆圆心为 O，球心为0，在RTAOBO,中，易得球半径r = 75，故此球的表面积为24兀R= 20兀.3 .正三棱柱ABCABiG内接于半径为2的球，若A,B两点的球面距6.（山东卷）正方体的内切球与其外接球的体积之比为 （）B. 1 ：D. 1 9答案 C离为兀，则正三棱柱的体积为答案 84.表面积为273的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为7.（海南、宁夏理科） 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂 直底面.已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9，底面周长为3，则这个球的

17、体积为兀3答案3答案8.（天津理）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1 ,2,3,则此球的表面积为【解析】 辰242 cm的球此正八面体是每个面的边长均为 a的正三角形，所以由 = 273知，a=1，则此球的直径为72，故选A。答案 14 n9.（全国n理）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为面上。如果正四棱柱的底面边长为1 cm，那么该棱柱的表面积为5.已知正方体外接球的体积是32 兀3,那么正方体的棱长等于（）cm2.A.2血接球的表面积为B .2rD .以上都不对答案C10.（辽宁）如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥 P -ABCDEF ,则此正六棱锥的侧面积是13.（吉林省吉林市）设正方体的棱长为o刈3，则它的