列方程(组)求线段长

1、初一数学优质专题学案（附经典解析）列方程（组）求线段长二、方法剖析与提炼例1. 8块相同的小长方形地砖拼成一个宽为 60厘米的大长方形，每块小长方形地砖的长和宽分别是多少?【解答】小长方形的长为45厘米，宽为15厘米。【解析】列二元一次方程组或列一元一次方程来求解。列方程或方程组一定要根据题意和图形直观来解决。根据大长方形的宽为60厘米，得出x+y=60;根据大长方形的长既可以看作两个小长方形的长，又可以看作一个小长方形的长 与三个小长方形的宽的和，得出 2x=x+3y或x=3y;【解法】一种解法：设小长方形的长与宽分别为 x厘米与y厘米,根据大长方形 的宽为60厘米，得出x+y=60;根据大

2、长方形的长既可以看作两个小长方形的 长，又可以看作一个小长方形的长与三个小长方形的宽的和，得出2x=x+3y或x=3y;上述的两个方程组成方程组。另一种解法：设小长方形的宽y厘米,根据大长方形的长既可以看作两个小长方形的长，又可以看作一个小长方形的长与 三个小长方形的宽的和，得出长为 3y;根据大长方形的宽为60厘米，得出 3y+y=60,得出y=15;求出小长方形的长为45厘米，宽为15厘米。【解释】（1）从图形上来看，发现不同角度来表示长方形的长为解题的关键（2）如果能发现小长方形的长是小长方形的宽的3倍，则让问题变得简单化化，运用整体的思维加以解决变得尤为重要 .例 2. （ 2019

3、金华）如图，Rt ABC 纸片中，/ C=90， AC=6,BC=8,点D在边BC 上，以AD为折痕 ABD折叠得到 AB D, AB与边BC交于点E.若 DEB为直角三角形，则BD的长是.（折叠问题）.先依据勾股定理求得AB的长，然后 由翻折的性质可知：AB =10, DB=DB ,接下来分为/ B' DE=90 和/ B' ED=9O , 两种情况画出图形，设DB=DB =x,然后依据勾 股定理列出关于x的方程求解即可.【解法】 Rt ABC 纸片中,/ C=90 , AC=6, BC=8,二 AB=10 以 ad 为折痕 ABD 折叠得至厶 AB D, BD=DB , A

4、B =AB=10如图1所示：当/ B' DE=9O时，过点B'作B' F丄AF,垂足为 F.bd=db Rt AFB (6+x ) 2 +设在即解得：xi=2 ,2如图2所示：=x,贝U AF=6+x , FB' =8 - x .中，由勾股定理得：AB 2=AF2+FB 2 2 2(8 - x)=10 .X2=0 (舍去). BD=2当/ B' ED=9O时,C与点E重合. AB =10, AC=6, B' E=4设 BD=DB =x,贝U CD=8 - x .在 Rt BDE 中，DB JdW+B' E2 ,即 x2= ( 8 - x)

5、 2+42.解得：x=5 . BD=5综上所述，BD的长为2或5 .故答案为：2或5 .【解释】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，根据勾股 定理列出关于x的方程是解题的关键.例3.四条线段的长分别为9, 5, x,1（其中x为正实数）,用它们拼成两个直角三角形，且AB与CD是其中的两条线段，如图所示，则 x可取值的个数为（）A.2 个 B.3 个 C.4个D.6【解答】D.这类问题的常用方法CD平移到EB位置,【解析】这是一道由图形存在来求某条线段应满足的条件, 是把四条线段变换到同一个三角形中来研究。如图所示，把 构成三角形AEB,再由勾股定理求解。【解法】过点B作BE/CD交AC

6、延长线于点E.显然AB是四条线段中最长的.故AB=9或 AB=x.若AB=9,当CD=x时，由92x2(15)2,得 x3真;当CD=5时，由9252(x1)2,得 x2414 1 ；当CD=1时，由9212(x5)2,得 x445 5 ；若 AB=x,当CD=9时，由x292(15)2,得 x33 ;当CD=5时，由x252(19)2,得 x5715 ；当CD=1时，由x212(95)2,得 x7197 ;故x的可取值的个数为6个，故选D【解释】此题的关键在于把四条线段变换到同一个三角形中，再抓住AB必为最长线段进行分类求解。三、能力训练与拓展1.8块相同的长方形地砖拼成一个宽为 100厘米

7、的长方形，每块长方形地砖的长和宽分别是多少?2 . （ 2019贵州）如图，正方形ABCD的边长为9,将正方形折叠，使6顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH 若BE: EC=2: 1,则线段3. （2015黑龙江）在矩形ABCD中，AB=4 , BC=3，点P在AB上。若将 MAP沿DP折叠，使点A落在矩形对角线上的 A处，则AP的长为4.已知一个梯形的四条边的长分别为1, 2,3, 4,则此梯形的面积等于A.4B.6 C.842D.75厘米或25厘米五、参考答案与说明1.【答案】每块长方形地砖的长和宽分别为【解析】一种解法：设小长方形的长与宽分别为 x厘米与y厘米,根据大长方形的宽为100

8、厘米，得出x+y=100;根据大长方形的长既可以看作两个小长方形的长，又可以看作一个小长方形的长与三个小长方形的宽的和，得出2x=x+3y或x=3y;上述的两个方程组成方程组。另一种解法：设小长方形的宽y厘米,根据大长方形的长既可以看作两个小长方形的长，又可以看作一个小长方形的长与三个小长方形的宽的和，得出长为3y;根据大长方形的宽为100厘米，得出3y+y=100,得出y=25;求出小长方形的长为75厘米，宽为25厘米。2.【答案】B【解析】 由题意设CH=xcm ,贝y DH=EH= ( 9 - x) cm ,BE : EC =2 : 1 ,CEiBC=3cm在 Rt -.ECH 中，EH

9、 2=EC2+CH 2,即(9 - x) 2=32=32 + x2 ,解得：x=4，即CH =4 cm .393.【答案】3或924【解析】点A落在矩形对角线BD上，如图1,/ AB=4，BC=3, / BD=5,根据折叠的性质，AD=AD=3, AP=A', A=.PA'D=90° / BA' =2设 AP=x，贝U BF=4 - x， / bf2=ba'+ pa2,3/ (4 - x) 2=x2+22，解得：X*,3 APp 点A落在矩形对角线 AC上，如图2,根据折叠的性质可知 DP AC,DA PT ABC,.塑出丽冠AD-BC 3X3 9AB 44392或故答案为:C/ AP=4.【答案】D【解析】