启迪教育讲义

1、21一、选择题2007年中考试题分类汇编(二次函数)含答案1、( 2007天津市)已知二次函数 y =ax2 +bx +c(a H0)的图象如图所示,有下列5个结论：abc> 0 : bca+c ; 4a+2b+c；>0 :2c< 3b : a+b>m(am+ b)，(mH 1的实数)其中正确的结论有()oXA. 2个B. 3个(2007南充)如图是二次函数,对称轴为x= 1.给出四个结论:).B2、0)< b .其中正确结论是(A)(B)3、( 2007广州市)二次函数C. 4个D. 52 . .y= ax + bx+ c图象的一部分，图象过点A ( 3,b2&

2、gt;4ac;2a+ b=0;a b + c=0; 5aB. 1(C)(D)A2=x-2x +1与x轴的交点个数是(C. 24、( 2007云南双柏县)在同一坐标系中一次函数y =ax +b和二次函数y =ax2 +bx的图象可能为()Ayxx5、( 2007四川资阳)已知二次函数2), (1 , 0).下列结论正确的是(y随x的增大而增大y随x的增大而减小使得当X<X0时，函数值y随x的增大而减小；当x> X0时,y =ax)D+ bx + c(aM 0)的图象开口向上，并经过点(-1,A. 当x>0时，函数值B. 当x>0时，函数值C. 存在一个负数 y随X的增大而

3、增大D. 存在一个正数 y随X的增大而增大 6、( 2007山东日照)X0,X0,使得当x<X0时，函数值y随x的增大而减小；当Qx0时,已知二次函数函数值函数值小于0,(A) m-1(C) m-1二、填空题那么下列结论中正确的是 的函数值小于0 的函数值等于02y=x -x+a(a>0),当自变量x取m时，其相应的函数值 ()B(B) m-1的函数值大于0(D) m-1的函数值与0的大小关系不确定1、( 2007湖北孝感)二次函数ax2+bx+ c的图象如图8所示,且 P=| a-b+ c 1+ | 2a+ b |, Q=| a + b + c |+ | 2a b |,则P、Q的

4、大小关系为.P<Q( 2007四川成都)如图9所示的抛物线是二次函数y =ax2 _3x +a2 _1的图象，那么a的值是3、( 2007江西省)已知二次函数y=-x1 2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程X2 +2x + m =0 的解为'y/O *x图924、(2007广西南宁)已知二次函数y =ax + bx +c(第 3 题)的图象如图所示，则点P(a, bc)在第象限.'y0、xx第4题三、解答题1、( 2007天津市)知一抛物线与 X轴的交点是 A(2,0)、B (1 , 0),且经过点C (2, 8)。(1) 求该抛物线的解析式；(2) 求

5、该抛物线的顶点坐标。解：(1)设这个抛物线的解析式为2y = ax + bx + c由已知，抛物线过 A(2,0) , B (1, 0), C(2, 8)三点，得4a -2b +c =0« a + b + c = 0 I4a +2b + c =8(3 分)解这个方程组，得所求抛物线的解析式为y =2x2 +2x -4(6 分)2(2) y=2x + 2x4=2* + X 2) =2(x t1)22A(1, 4),且过点 B(3 ,0).(2) 令 y =0，得 X2 -2x _3 = 0，解方程，得 X! = 3 , X2 = 1 .二次函数图象与x轴的两个交点坐标分别为（3,0）和

6、（-1,0） -二次函数图象向右平移 1个单位后经过坐标原点.平移后所得图象与X轴的另一个交点坐标为（4 ,0）3、（ 2007广东梅州）已知二次函数图象的顶点是（_1,2），且过点0,-2丿（1）求二次函数的表达式，并在图10中画出它的图象;（2）求证：对任意实数m，点M （m, -m2）都不在这个二次函数的图象上.解：（1）依题意可设此二次函数的表达式为y = a（x +1）2 + 2 ,2分又点0,3 b它的图象上，可得I 2丿31=a + 2，解得 a =-21 2 所求为 y = _-（x +1） +2 .2画出其图象如右.（2）证明：若点M在此二次函数的图象上,2 1 2 则-m

7、=一一（m +1） + 2 .2得 m2 2m +3 =0 .方程的判别式：4 12 = 8 C0所以原结论成立.，该方程无解.3/3 -2 101冷37fyX2 = 34、（ 2007贵州省贵阳）二次函数y2=ax+ bx +c（a HO）的图象如图9所示，根据图象解答下列问题:(1)写出方程ax2 +bx + c =0的两个根.（2分）写出不等式ax 2 +bx + C ：0的解集.（2分）写出y随X的增大而减小的自变量 X的取值范围.（2分）解:若方程ax 2 +bx +c =k有两个不相等的实数根，求k的取值范围.（3211'yl-1。M 2 34X-1 -24分）-1 图9=

8、1 , X2 =31 <x C3X >2k V25、（ 2007河北省）如图13,已知二次函数 y =ax2 _4x+c的图像经过点A和点B.（1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；（3）点P （m, m）与点Q均在该函数图像上（其中m> 0）,且这 两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q到X轴的距离.解：（1 ）将 x=-1 , y=-1 ； x=3, y=-9 分别代入 y=ax2_4x +c 得F2匕.二次函数的表达式!_1=ax（1） 4x（）+c,解得 （a _9 =a X32 _4 X3 +c.'c为 y =x2 _4x 一6

9、 .（2）对称轴为X =2 ;顶点坐标为（2,-10）.（3）将（m, m）代入 y =x2 4x 6得 m=m24m6 ,解得 mt = 1, m2 =6 . - m> 0,-=1 不合题意，舍去. m=6点P与点Q关于对称轴x=2对称，.点Q到x轴的距离为6.6、（ 2007四川成都）在平面直角坐标系2 xOy中，已知二次函数 y = ax图象与x轴交于A, B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，其顶点的横坐标为1,且过点（2，3）和（_3, -12）.（1）求此二次函数的表达式;（2）若直线丨：y =kx（k工0）与线段BC交于点D （不与点B, C重合），则是否存在这样的直

10、线丨，使得以B, O, D为顶点的三角形与 BAC相似？若存在, 表达式及点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点,求出该直线的函数试比较锐角NPCO与NACO的大小（不必证明），并写出此时点 P的横坐标Xp的取值范围.解：（1）寫二次函数图象顶点的横坐标为1，且过点（2 ,3）和（3,12）,b=1,2a/.由 <4a +2b +c =3,9a 3b +2 = -12.la = 1,解得怕=2,Ic =3./.此二次函数的表达式为y =-x2 +2x +3 .（2）假设存在直线I : y =kx（k工0）与线段BC交于点D （

11、不与点B, C重合），使得以B, O, D为顶点的三角形与 BAC相似.在 y = -x? +2x+3 中，令 y=0，则由-x2+2x+3=0，解得 Xi = 一1,X2 = 3二 A(1,0), B(3,0).令 X = 0，得 y =3 二 C(0,3).设过点O的直线l交BC于点D，过点D作DE丄x轴于点E .（3 ,0），点C的坐标为（0,3），点A的坐标为（-1,0）.二 AB=4, OB=OC=3, NOBC =45 二 BC/2 2=V3 +3要使 BOD s BAC 或 BDO s bAC ,BDBOBCBA已有NB =NB，则只需BOBDBCBA或成立.xlCE :yx =

12、AO若是，则有二在 Rt BD解得BEBDBO I 會BCBAE中，由勾股定理,ZOBC=45，/.BE = DE .9=-（负值舍去）4/3 9、”点D的坐标为I 一,一b 4丿二满足条件的直线或求出直线ACy =3x .此时易知BE二 OE2=2BE=OB - BEBD将点D的坐标代入y =kx（k H0）中，求得k = 3 .l的函数表达式为y =3x .的函数表达式为y =3x+3，则与直线AC平行的直线 BOD s bAC ,再求出直线 BC的函数表达式为l的函数表达式为y = -x + 3 .联立y =3x, y =-x +3求得点D的坐标为若是，则有 BDBOBC二在Rt BD

13、E中，由勾股定理,3咒4=2 証.而 N OBC = 45得 BE2+ DE2=2 BEBE=DE .=(2 72)2.解得 BE = DE=2 (负值舍去). OE = OB _ BE= 3-2=1.-点D的坐标为(1,2).将点D的坐标代入 y =kx(kHO)中，求得k = 2 . /.满足条件的直线I的函数表达式为y =2x .二存在直线I : y =3x或y =2x与线段BC交于点D (不与点B, C重合)，使得以B, O, D为顶点的三角形与 BAC相似，且点D的坐标分别为,或(1,2).14 4丿设过点C (0 ,3), E (1,0)的直线y = kx +3(k H0)与该二次

14、函数的图象交于点将点E(1,0)的坐标代入y =kx +3中，求得k = d . ”.此直线的函数表达式为y = -3x + 3 .设点P的坐标为(X，-3X +3)，并代入y2/口2=-x +2x+3，得 X -5x=0 .解得Xt =5, X2 = 0 (不合题意，舍去).X =5, y = _12 ./.点P的坐标为(5 , -12).此时，锐角 ZP CO =NACO .又丁二次函数的对称轴为 X =1 ,/.点C关于对称轴对称的点C 的坐标为(2 ,).”.当Xp：5时，锐角NPCZACO ；当 Xp =5 时，锐角 NPCO =NACO ；当 2 exp <5 时，锐角 NP

15、CO aNACO .C，COAE :X =7、(2007四川眉山)如图，矩形 A'BC'O'是矩形OABC(边OA在x轴正半轴上， y轴正半轴上)绕B点逆时针旋转得到的. O'点在X轴的正半轴上，B点的坐标为(1) 如果二次函数y = ax2+bx+ c(aM 0)的图象经过 O、O'两点且图象顶点 M的纵坐标为 1.求这个二次函数的解析式；(2) 在(1)中求出的二次函数图象对称轴的右支上是否存在点P,使得POM为直角三角形？若存在，请求出 P点的坐标和 POM的面积；若不存在，请说明理由；求边C'O'所在直线的解析式.边(1 ,OC在

16、3).解：(I)连结帆 B(r wjBO二no* "A 丄 o(rAO >-n (J, 3)代"(2, 0), M (I, 4a + 3t + c "0. a + 6 # c - 1x-0鶴得 fl I * 6 = "2, e =0X咒所求二ftffi数的解析式为y(2)设存在洙足®设条件的点P?)连结Q叭刊仁OF、过P作PN"轴于艸 M CH )，A (I, 0), |4tfl = f04i /, Z；POjV = 45 a lOZVl = NP 即 x=y 【尸(叭r)在二次pS数y=d-24的03象上r.解得 “0或&qu

17、ot;3 vP (i, y)在对称轴的右支上AX>1A* =3厂3即p (儿3)是所求的点 连结/0',显然UM©为導S直角三角形.小为購足条件的点"2,0.满足条件的点是尸(23)或戶3)疗，04爲 :* th.KM - 0M = =75或S也W =斗0財0制=1(3)设AR与G<r的交点为D (H J)显燃AZUDOy阳C7?Z? 在她ZU£Xr中A"才+3亠=：0炉 W I +/= (3-y)'解得 + D (I * y)设边C"所在ft线的解析式为"辰+ h 则 1?解谒 *= -y> 6 =

18、 丁-所求直线解析式为y =-令+号卄M建筑面积即t=S用地面积& (2007山东日照)容积率t是指在房地产开发中建筑面积与用地面积之比,并适当的控制建筑物的高度，一般地容 结合往年开发经验知，建筑面 I来表示；1 m2建筑面积上的 中的一段抛物线段 c来表示.为充分利用土地资源， 更好地解决人们的住房需求，积率t不小于1且不大于& 一房地产开发商在开发某小区时， 积M （m2）与容积率t的关系可近似地用如图（1 ）中的线段 资金投入Q （万元）与容积率t的关系可近似地用如图（2）（I）试求图（1）中线段I的函数关系式，并求出开发该小区的用地面积;（n）求出图（2）中抛物线段c

19、的函数关系式.解：（I）设线段I函数关系式为 M=kt+b,由图象得2k6k+ b = 2 8 0 00k =13000 ,解之，得J+ b =800002= 2000 .线段I的函数关系式为 M = 13000t+2000,1 < tw 8.M建筑面积由t=知，当t=1时 ,S用地面积 =M 建筑面积 ,S用地面积建筑面积把 t=1 代入 M = 13000t+2000 中，得 M=15000 m2. 即开发该小区的用地面积是15000 m2.（n）根据图象特征可设抛物线段c的函数关系式为2Q= a( t- 4)2+k,把点(4, 0.09),k =0.09,(1,0.18)代入，得

20、I2解之,la(1 -4)+ k = 0.18.11009100_1广-二 t +，1 w tw 8.254抛物线段c的函数关系式为 Q=（ t- 4）2+丄，即Q =丄 M 2100 100 10029、（2006四川资阳）如图10,已知抛物线 P : y=ax+bx+c（aM 0）与x轴交于A、B两点（点A在x轴的正半轴上），与y轴交于点C,矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：x-3-212y-52-4-520(1) 求A、B、C三点的坐标；(2) 若点D的坐标为(m, 0),矩形DEFG的面积为S,求S与 m的

21、函数关系，并指出 m的取值范围；(3) 当矩形DEFG的面积S取最大值时，连接DF并延长至点 M，使FM=k - DF，若点M不在抛物线P上，求k的取值范围.若因为时间不够等方 面的原因，经过 探索、思考仍 无法圆满 解答本题，请不要轻易放弃，试试将上述(2)、(3)小题换为下列问题解答(已知条件及第 小题与上相同，完全正确解答只能得 到5分)：(2)若点D的坐标为(1 , 0)，求矩形DEFG的面积.解：解法一：设 y = ax 2 + bx + c(a 0),任取x,y的三组值代入，求出解析式y = ix2 + X- 4 ,2令 y=0，求出 x1 = - 4, x2 = 2 ;令 x=0

22、,得 A、B、C三点的坐标分别是 A(2 , 0),解法二：由抛物线P过点(1, - 5 ), (-3,2x= -1,(-2, -4)，则由抛物线的对称性可知， A(2, 0), B(-4, 0), C(0, -4).-BcDA X图10 分标为抛物线P的对称轴方程为 又抛物线点 A、B、C由题意,P 过(2 , 0)、 的坐标分别为ADAOy=-4,B(-4, 0), C(0, -4).-纠可知，23分 分3分DG，而 AO=2, OC=4, AD=2-m,故 DG=4-2m,-OC4 "分又里=里，BO OC2Sdefg =DG DE=(4- 2m) 3m=12m-6m (0&l

23、t; mv 2).注：也可通过解 RtBOC及Rt AOC,或依据 BOC是等腰直角三角形建立关系求解SDEFG=12m-6m (0< m< 2)，- m=1时，矩形的面积最大，且最大面积是 当矩形面积最大时，其顶点为D(1, 0), G(1,易知，k=2 ,31 2y = X + x -2EF = DG，得 BE=4-2m,. DE=3m,5分6分设直线DF的解析式为y=kx+b.又可求得抛物线P的解析式为:991令 2x-2=-x2 +x- 4,可求出332-1-陌,过N作x轴的垂线交3-1- 46-2 FN HE _3=:DF D E3点M不在抛物线P上，即点k工-5 +且

24、k > 0.9说明：若以上两条件错漏一个, 若选择另一问题：6 .-2), F(-2, -2), E(-2, 0),7 分b=- 238分X=- 1 陌.设射线3x轴于H，有DF与抛物线-5+ 9M不与N重合时，此时k的取值范围是本步不得分P相交于点N,则N的横坐9分 彳。. AD = DGAO OC 又.FG = CPAB OC'Sdefg =DG FG =6.而 AD=1 , A0=2 , 0C=4，贝U DG=2,而 AB=6, CP=2, 0C=4，贝U FG=3,4 分x210、( 2007山东威海)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1,2) 1点B的坐标为(3,

25、1) 1 二次函数 y =x2的图象记为抛物线11 .(1)平移抛物线h，使平移后的抛物线过点A 1但不过点B，写出平移后的一个抛物线的函数表达式:(任写一个即可).(2)平移抛物线l1 1使平移后的抛物线过 A, B两点，记为抛物线l21如图，求抛物线l2的函数表达式.(3)设抛物线l2的顶点为C 1 K为y轴上一点.若 S abk = S ABC，求点K的坐标.(4)请在图上用尺规作图的方式探究抛物线12上是否存在点P，使 AB P为等腰三角形.若存在，请判断点 P共有几个可能的位置(保留作图痕迹)；若不存在，请说明师.yO111图x122x解：(1)有多种答案，符合条件即可.例如2y =

26、 X +11+ x 1 y =(X -1)2 + 2 或(2)设抛物线l2的函数表达式为y = x+ bx +c ,l 2y =x2 -2x +3 1 y =(x + J2 -1)2丁点A(1,2) ,B(3 ,1)在抛物线l2上,I _90+b+c=2112«解得29 +3b +c =1 I 11'C=二抛物线i2的函数表达式为y =x29一XL 2/. C点的坐标为f-丄(4 16F2911f9)7一一X= I X 一 1，22I4 丿16过 A,B, C三点分别作x轴的垂线，垂足分别为D , E ,贝U AD =2 ,7CF =165BE =1 , D E =2 , D F =43FE =4£ ABC =S 梯形 AD EB S梯形 AD FC S梯形 C FEB16丿411=-(2 + 1)X2 -22 V(7 ) 3151 +仅一= 2( 16 丿 416延长BA交y轴于点G，设直线AB的函数表达式为y=mx!m打点 A(1,2) ,B(3 ,1)在直线 AB 上,/.直线AB的函数表达式为y = -1 X2+ - 二G点的坐标为2设K点坐标为(0 , h),分两种情况:若K点位于G点的上方,5-连结AK ,2S ABK = $ bKG S AK G1=-X 3X215V._5ABK = S ABC =，h 16 21