基本不等式的应用

1、最新高考数学二轮专题训练（附经典解析）基本不等式的应用x 4（x 0）上的一个动点，则点 P到x1、【优质试题高考江苏】在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y直线x+y=O的距离的最小值是【答案】4.【解析】设1 ，则P（X0,）dX01c1X0 X02X0X0X0【优质试题高考天津卷文数】设 x 0, y0, x 2y4，则（x 1）（2y 1的最小值为xy【答案】【解析】(X 1)(2y 1)xy2xy 2y X 1xy2xy 52xyxy因为x0, y 0, x 2y所以x2y 42#x 2y，即 72xy2,0xy 2，当且仅当x2y2时取等号成立.又因为2xy所以ai)(2yxy1）的

2、最小值为3、【优质试题高考浙江卷】若0,b0，则a b 4"是 ab 4 "的()A .充分不必要条件必要不充分条件C.充分必要条件既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当a>0, b>0时，b 2 jab当且仅当a b时取等号，则当a b 4时，有2需b a b 4，解得ab 4，充分性成立;当a=1, b=4时，满足ab 4，但此时a+b =5>4 ,必要性不成立，综上所述，“a b 4 ”是“ab 4 ”的充分不必要条件.【优质试题高考天津卷文数】（优质试题天津文科）已知a 1a,b R，且 a 3b 60 ,则 2的最8小值为【答案】14【解析】由

3、？? 3?+ 6 = 0可知？? 3?= -6，且2?+1_ O?亠 9-3?丽=2 + 21 因为对于任意x,2?> 0恒成立，结合基本不等式的结论可得：2?+ 2-3? > 2 x V2?x 2-3? = 2 xj?6 =-.c ? c-3?cc o当且仅当 =2，即?=3时等号成立.? 3?= 6?= -1综上可得2?+ 8?的最小值为4.【名师点睛】利用基本不等式求最值时，要灵活运用以下两个公式:a,b R,a2 b2 2ab，当且仅当a b时取等号;a,b R , a b 2jab，当且仅当a b时取等号.解题时要注意公式的适用条件、等号成立的条件，同时求最值时注意“1的

4、妙用”【优质试题高考江苏卷】在 ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c , ABC120 , ABC的平分线交AC于点D,且BD 1，则4a c的最小值为【答案】9【解析】由题意可知，？?=? ? ?+? ?由角平分线性质和三角形面积公式得2?s in 120=1 1 1 12?X1 xsin60 ° 2?x 1 x sin60 ,化简得? ?+ ?+ ?= 1,因此 4?+ ?= (4?+ ?(1?+ ? = 5 + ?+ 4?> 5+ 2V?4?= 9,当且仅当？?= 2?= 3时取等号，则4?+ ?的最小值为9.【优质试题高考江苏卷】某公司一年购买某种货物600吨

5、，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则【答案】30【解析】总费用为4x 600 64(x 空)4 2/900240 ,x的值是当且仅当x，即x 30时等xxx号成立.一、三个不等式关系:(1) a, b R, a2+ b2>2ab，当且仅当a = b时取等号.（2）a , b R, a+ b>2更，当且仅当a = b时取等号.a2+ b2 b(3) a , b R,七厂w (爭)2，当且仅当a= b时取等号.号）2）,当且仅当a = b时取等号，所以上述三个不等关系揭示了a2+ b2 , ab , a + b三者间的不

6、等关系.其中，基本不等式及其变形：a, b R, a + b>或ab< （ 当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值.二、.算术平均数与几何平均数设a>0, b>0,则a, b的算术平均数为a L b-y-，几何平均数为JOB,基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 三、.利用基本不等式求最值问题已知x>0, y>0,则 如果积xy是定值P,那么当且仅当x = y时，X+ y有最小值是 如果和x + y是定值P,那么当且仅当x = y时，xy有最大值是2也.（简记：积定和最小）24.（简记：和定积最大）a四、对于 f(x)

7、 = x+ -,x当 a<0 时，f（x）在（一8,0), (0, +S )为增函数;当 a>0 时，f（x）在（一8,翻,（a,+8 ）为增函数；在（诉,0）, （0, /a）减函数.f（x）=X+a的单调性时，需要利用导数进行证明.五、利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路:注意在解答题中利用函数（1）对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解.常用的方法有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等. 条件变形，进行“ 1”的代换求目标函数最值.在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”

8、（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.六、对于多兀冋题的不等式的基本解题思路就是把多兀冋题转化为单兀冋题。 1 '题型一运用消参法解决基本不等式中的最值问题.解题消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解 过程中要注意"一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可!例1、（优质试题常州期末）已知正数 x, y满足X+ x = 1，则1 的最小值为【解析】思路分析【答案】4多元条件等式下的最值问题通常可以考虑消元之后利用基本不等式或函数知识求解.解法1（直接消元

9、）由 x + X= 1 得 y= x - X2,故X + X=1 + X2 = X+ 1 X = X (1 X)2 = 4x + 1 x 24,当且仅当x = 1 X,即x= 2时取“ =” 故1 + x的最小值为4.解法2（直接消元）由x+x=1得y =1 X,故x+x=1 +匕，以下同解法1.解法3（消元，分离常数凑定值）同解法得x + x= x 1 x11 x + x 1 x + x +=2+=+7x A4,当且仅当1 X XX = 1X,即x=1时取“=”故x+y的最小值为4.例2、（优质试题苏北四市期末）若实数x, y满足xy+ 3x= 31310< x< 2，则X+三的

10、最小值为【答案】.81【解析】解法1因为实数x, y满足xy+ 3x= 3 0< x<_ ,所以 y= 33(y> 3),3111/所以 x+ 三=y+3+ypy 3+三+6A 2 Vy 31 1匚孑+ 6 = 8,当且仅当y 3=三，即y= 4时取等号，此时x=7所以X+亡的最小值为8.1解法2因为实数X, y满足xy+ 3x = 3 0< xv 233，所以 y= - 3(y>3), y 3= ； 6>0,所以3+古=x +亡xx- 6+13_ + 623 6 x313+ 6= 8,当且仅当3 6=宀，即x="7时x - 6x3取等号，此时y=

11、 4，所以3+x y 3的最小值为8.题型二、运用1的代换解决基本不等式中的最值问题1的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形。例3、（优质试题扬州期末）已知正实数 x, y满足x + 4y xy = 0,若x + ym恒成立，则实数 m的取值范围为【答案】（一汽9【解析】m< x+y恒成立，mW （x + y）min.解法（“ 1的代换）因为X, y是正实数，由x + 4y xy = 0,4141 4y x得x+y= 1，x+y=（x+y）匚+1 =寸+x5心 -：+ 5 = 9，当且仅当x = 6, y= 3时，等号

12、成立,x + y的最小值是9,故mW9.例4、（优质试题苏州学情调研）若正实数x , y满足x y4的最小值是y【答案】【解析】因为正实数x ,y满足x4（X y） yx4xy当且仅当x y 1，即 x13，yI，等号成立，即4取得最小值&y例5、（优质试题徐州、宿迁三检）若0,b1，则a+ 2b的最小值为解析：由已知等式得2a2b1 2ab2ab2b，从而ab b2 12ba 2b2b2b23 12，故有最小值弩题型三、运用双换元解决基本不等式中的最值问题若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系

13、。例6、（优质试题苏州期末）已知正数X，y满足X + y = 1,【答案】9【解析】 解法1令X + 2 = a，y+1= b，则a+ b= 4（a > 2,41141b > 心；+亍 4（a+b）a+b19842>4（5 + 4） = 4，当且仅当 a= 3，b = 3，即 X = 3,y= 3时取等号.例7、（优质试题苏锡常镇、宿迁一调）已知实数2X，y 满足 x>y>°，且 x+ yw 2，则帀 + X y1'的最小值为X + 3y= m，【解析】设X y= n.解得m+ 3nX=4m ny=P所以 x+y=fpw2，即 m+n w 4设t

14、=爲+亡=m+n，所以g m+冷+n）=3+斛m >3+2"即t >牡严，当且仅当铝m，即吩回时取等号.解后反思 本题所给条件为X， y的和的不等式，所求的为与X,X, y相关的倒数和最值问题，可以先对分母进“X+ y < 2” 改为“ X + y = 2” 答行还原处理后，再结合“1 ”的代换技巧来处理，这里要说明的时候条件 案不会变化.题型四、基本不等式中多元问题的处理 多元最值问题是最典型的代数问题，代数问题要注重结构的观察和变形，变形恰当后，直接可以构造几何意义也可以使问题明朗化，具体归纳如下:（1）多元最值首选消元：三元问题7二元问题7元问题.二元最值考查

15、频率高，解决策略如下：策略一：消元.策略二：不好消元一一用基本不等式及其变形式, 线性规划，三角换元.（3）多元问题不好消元的时候可以减元，常见的减元策略：策略一：齐次式一一同除减元.策略二：整体思想代入消元或者减元.例8、（优质试题南京、盐城一模）若正实数a,b,c满足ab= a+ 2b,abc= a+2b+c,则c的最大值为【答案】【解析】思路分析1注意到求c的最大值，所以将参数 c进行分离，为此，可以利用abc= a+2b+ c进行分离得a+ 2ba+ 2b1c= 1+，从而将问题转化为求a+ 2b的最小值;ab 1 a+ 2b 1a+ 2b 1ab1思路分析2结合abc= a+2b+

16、c与ab= a+ 2b化简得abc= ab+ c来进行分离得 c= 1 +,ab 1 ab 1进而求ab的最小值.思路分析3由于所求解的c与a, b有关，而a, b不对称，因此，将 2b看作一个整体，则它与a就是对称的，根据对称原理可以猜想得到问题的答案.a+ 2b a+ 2b112解法1 由 abc=a+ 2b+ c得, c= abr冇=1+冇，由 ab=a+ 2b 得, 1+;=1,所以 a+ 2b = (a+ 2b) 1+ | = 4+：+ 乎4+ 2寸b 詈=4 + 4 = 8，故 c号.ab解法 2 因为 abc= a+2b+ c, ab = a+2b,所以 abc= ab+c,故

17、c=ab 11=1 +，由 ab= a+ 2b 利ab 1用基本不等式得 ab>/2ab，故ab>8,当且仅当a= 4, b= 2时等号成立，故c= 1+亠 1+丄ab 18 1 7-1 1解法3（对等性猜测）因为已知条件可以改写为“ 1 a 2b= a+ 2b, 1 a 2b c= a+2b+ c”，故 a 与8 82b对等，不妨设 a= 2b,解得a= 2b= 4, c=7 故c的最大值为-.例9、（优质试题南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调）已知a, b, c均为正数,且 abc= 4(a+b），贝U a+b+ c的最小值为【答案】.844【解析】由a, b, c均为

18、正数，abc= 4（a+ b），得c= 4 + 4，代入得a ba+b+ c= a+b+ 4 + 4 = a b44a + ； + b+ b> 2、yaa+=8,当且仅当a=b=2时，等号成立，所以a+ b+ c的最小值为8.题型五基本不等式的综合运用多变量式子的最值的求解的基本处理策略是“减元”或应用基本不等式，其中“减元策略”的常见方法有：通过消元以达到减少变量的个数，从而利用函数法或方程有解的条件来研究问题；通过“合并变元”以代换的方式来达到“减元”，一般地，关于多变元的“齐次式”多用此法.而应用基本不等式求 最值时，要紧紧抓住“和”与“积”的关系来进行处理，为了凸现“和”与“积”

19、的关系，可以通过换元 的方法来简化问题的表现形式，从而达到更易处理的目的,例10、(优质试题扬州期末)已知正实数x, y满足5x2 + 4xy y2= 1,贝U 12x2 + 8xy y2的最小值为【答案】7 解法1(双变量换元)因为x>0，y>0,且满足5x2+ 4xy y2= 1,由此可得(5x y)(x + y) = 1,令u = 5x y, v = x+ y,"亠、u + V5v u 八、 22则有 u>0, v>0, uv= 1,并且 x, y = 6，代入 12/ + 8xy y5v u 5v u 2 u2+ 9v2 + 22uv>2寸u2

20、- 9v2 + 22uv 28uv 28X 1 71212当且仅当 u = 3v, uv= 1,即 u = /3, v=¥，亦即 x=293, y二習时，12x2 + 8xy y2取得最小值7.解法2(常数1的代换)因为x>0, y>0,且满足5x2 + 4xy y2= 1,由此可得(5x y)(x + y) = 1,因为 x>0, y>0, x + y>0,所以 5x y>0,即有 0<yv5，令 t=f，贝0<t<5，所以 12x2 + 8xy 212x2 + 8xy y212x2 + 8xy y2y2=1+ 7x2 + 4x

21、y =5x2 + 4xy y2+ 5x2 + 4xy y27+4xy 2x1+5+碱-4t+ 71+ t2 + 4t + 5.再令f(t)4t + 7=1 + t2+ 4t+ 5(0<t<5)-人"皿4 (t2 + 4t+ 5) ( 4t+ 7)( 2t+ 4) 令 T詢2 (2t 1)(t + 4)(t2 + 4t+ 5) 2(12+ 4t+ 5) 2 二0,因为 0<t<5,1当t 0, 2时，f' (t)v0, f(t)单调递减；当t12,时，f' (t)>0, f(t)单调递增，所以当117t=2时，f(t)取极小值，也是最小值f

22、2 = 3.此时 x = 2y,结合 5x2+ 4xy y2= 1,解得 x=誓，y =当,即当x=誓,y舌时,12x2+ 8xy y2取得最小值£解法 3(基本不等式)因为 x>0, y>0,设 u>0, v>0,则 ux2 + vy2 > 刘UVxy.x2 + 8xy y2> 12x2 + 8xy y2 + (2 丽xy ux2 vy2)，即 12x2 + 8xy y2 > (12 u)x2 + (8 + 2/Uv)xy (v + 1)y2.令(12- u)x2 + (8+ 2/UV)xy (V + 1)y2= t(5x2 + 4xy y

23、2)t，贝U 12-u = 5t, 8+ 2/UV= 4t, v + 17143，v-3.=t,解得 t=3， u=3， v=o例11、（优质试题南京、盐城一模）若不等式ksin2B + sinAsinC>19sinBsinC对任意 ABC都成立，则实数k 的最小值为【答案】100【解析】思路分析本题首先用正弦定理将三角函数转化为边，然后再利用三角形中的边的不等关系，消元后转化为二元问题研究.二元问题的最值问题，可以用基本不等式来处理.解法1（函数的最值）因为 ksin2B + sinAsinC>19sinBsinC,所以由正弦定理可得kb2+ ac>19bc,19bc ac

24、k>.因为b2ABC为任意三角形，所以a>|b c|,即聖*19bc-|b- c|cb2b2c2cb +20 b,0<bw 1,bcc当 0<cw 1 时，- bbcb>jcc+ 18 b w 19;当->1 时，一2 + 20 b w 100,19bc Tb-c|c的最大值为b2100,所以k> 100,即实数k的最小值为100.解法2（基本不等式）因为ksin2B + sinAsinC>19sinBsinC,所以由正弦定理可得kb2+ ac>19bc,k>.又 19bc ac cb2b2acacaaa=b19b.因为 c<a

25、 +b，所以L<1 + a，即b19b < 1 + b 19b=100（要求最大值，19 a至少大于0）.当且仅当1 + 7= 19a即£= 9时取等号.bbb b1、（优质试题苏锡常镇调研）已知a>0, b>0,且2+ 3=価，贝y ab的最小值是a b【答案】2寸6【解析】 思路分析 利用基本不等式，化和的形式为积的形式.因为 阿=1+32寸！ -b，所以ab2书，当且仅当2= b = 6时，取等旦19 一2、（优质试题苏北四市一模）已知正数a, b满足-+ b = 何 5，则ab的最小值为【答案】.36【解析】 思路分析注意到条件中有 a, b的和形式，

26、又有a, b的乘积形式，而所求的结论与积有关,因此，应用基本不等式将“和”转化为“积”，通过解不等式来求得 ab的取值范围，从而求得它的最小值.1因为正数a, b满足-a+ ¥=剧5,所以阿一52、y書，当且仅当9a = b时等号成立，即 ab - 5 寸 ab -60，解得Qab6或pabW 1（舍去），因此ab36，从而（ab） min = 36.143、（2020年镇江期末） 已知x> 0, y>0, x + y= -+ -,则x + y的最小值为X y【答案】3【解析】 思路分析本题既可用权方和不等式也可运用“1的代换求解.12 2(1 + 2) 2解法1因为x&

27、gt;0, y>0,所以X + y=丄+ - ,得X + y3,当且仅当-=1, y= 2时取等号.X y x + y解法 2 x + y= / ( x+ y) 2= p (x + y) g + 4 =p5+2 + 气寸5+ 2护=3,当且仅当 =冷,即 x = 1, y = 2时取等号.1 14、（优质试题苏北三市期末）已知a>0, b>0，且a+ 3b=才，贝U b的最大值为1【答案】.11111111【解析】由a+ 3b=-,得7 3b= a+-.又a>0,所以7 3b = a+-2(当且仅当a= 1时取等号)，即：b a babab3b > 2,又 b&g

28、t;0，解得1 10<b w1，所以b的最大值为3.5、（优质试题苏州期末）1 1 1 1已知正实数a,b,c满足-+丁1, H+1=1，则c的取值范围是a+ b c【答案】1, 4【解析】思路分析由第二个等式知，要求出c的取值范围，只要先求出a+ b的取值范围，而这可由第一个等式求得.解法1 因为 a+ b=（a+b）a+b =2+：+*4,），所以0,1134从而c=1 石 3, 1，得 ce 1 3.ab1解法 2 由题两等式得 ab= a+ b, c+(a+ b) = c(a+ b)，所以 c+ ab= c(ab),即卩 c_ = 1+ _；.因为ab一 1ab一 114ab=

29、a+ b>205，所以 ab>4，所以 c= 1 + 曲一 1, 3 .6、（优质试题苏州三市、苏北四市二调）已知关于x的不等式ax2 + bx + c>O（a, b, C R）的解集为x|3<x<4,c2+ 5则c+的最小值为【答案】【解析】思路分析 先根据一元二次不等式的解集，确定a<0,以及a, b, c的关系，再将所求运a+ b-b=7,ab = 7a,则c= 12a,用消元法，统一成单变量 a的函数问题，运用基本不等式求最值.依题意得a<0,且3和4是方程ax2 + bx + c= 0的两根，即a= 12,m c2 + 5144a2 + 51

30、44a2 + 5,、5所以= ( 24a) + a+ ba 7a即a= H时取等号，所以所求最小值为4心A 詔（-24八走=Z5， 当且仅当144a2 = 5,7、（优质试题苏锡常镇调研 （二）已知正实数a,b满足22a 1a+ b= 1,则a4的最小值为b【答案】.11【解析】思路分析：由于目标式比较复杂，不能直接求最小值，需要对该式子进行变形，配凑出使用基本不等式的条件，转化为熟悉的问题，然后利用基本不等式求解22a 122b 4b2a2(ab)(-a4b）（ab)2瓷T 7 11当且仅4a7，即3时取“3”，所以2a2 12b24的最小值为11.b8、（优质试题苏锡常镇调研2 11已知a

31、, b为正实数，且a b 4（ab）3，则丄 丄的最小值为厶a b【答案】2庞【解析】解题过程:2 2因为(a b) (a b)4ab 4(ab)34ab，所以1(ab)24(ab)3 4ab(ab)24abab8，故a1 厂ab 1b 2应，当且仅当（a b）24，即7211时取得等号,所以的最小值为2罷.9、（优质试题无锡期末）已知a > 0,b>0，c>2,且a+ b=2，则ac+ab-i+再的最小值为【解析】思路分析根据目标式的特征，进行恰当的变形，利用基本不等式知识求解.因为 a>0, b>0,2所以a+ab-1=b+粘1 a , a'=+ 2

32、b+ 4ab士3 -r需+4a寺，当且仅当7a时等号成立.又因为c> 2,由不等式的性质可得琴+話|+ C 2 bab 2'c 2 2 一 c 2又因为（c- 2） + 竺;+75+寸5,当且仅当c= 2 +羽时等号成立.C 2所以爭+ ab-2+严2的最小值为 眄或54110、（优质试题苏州期末）已知正数X, y满足X+ y = 1,则x+2+ y+7的最小值为【答案】.94411411【解析】解法 1 令 X+ 2= a,y+ 1 = b，则 a + b= 4(a>2，b> 1)，4+b=；(a+ b)才b =；98421(5 + 4) = 4，当且仅当a = 3

33、，b= 4，即X = 3, y=1时取等号.414122121 + 2 29解法2 (幂平均不等式)设a=X+ 2, b=y+1,则X+i+不=a+1=去+11+27 = 44141 a + ba + b5b a 9解法3(常数代换)设a=X+2,b=y+1,则一+=a+萨"+r+"+r=2+b+応9，当且仅当 a = 2b时取等号.1 1 2 ,11、（优质试题苏州期末）已知ab= 4，a, b （0,1）,则厂a +的最小值为【答案】4+響3【解析】思路分析 两元问题通常化为一元问题，先尝试消去一个变量.最新高考数学二轮专题训练(附经典解析)1111218a12由题意得

34、 b=4o,所以 0<<1,即 a (4, 1),消去 b,得 1+口=1+4a7=口+ 石二1 +2.12421解法 1 若注意到 4(1- a)+ (4a-1)=3,记 S=+扃1，则 S= 4a+407=3(4-4a) +(4a-1)(+丄)=2+ | g +小 4 4a 4a 13 4a 14 4a> 2 +攀当且仅当於1 = X时等号成立，所以最小值为4+缪.解法2 在+4a7 = 1a;；1，令 2a+ 1 = x,2x12、(优质试题徐州、连云港、宿迁三检)已知对满足x+y+ 4 = 2xy的任意正实数 x, y,都有x2+ 2xy2x 2原式=2x2+ 9x

35、9 = r 9 c 2x + 9x2=2+ 晋.以下同解法1.+ y2 ax ay+ 1 >0,则实数a的取值范围是17【答案】8,【解析】思路分析 不等式x2+2xy+ y2 ax ay+ 1 >0的构造比较特殊，可以化为关于x+ y的不等式, 再根据不等式及 X+ y+ 4= 2xy求出x+ y的范围即可.x+ y 2对于正实数 x, y, 由 x+y + 4= 2xy 得 x+y+ 4 = 2xyw2，解得 x+ y4,不等式 X2+ 2xy + y2 ax ay+ 1 > 0 可化为(x+ y)2 a(x + y) + 1 > 0,令t= x+ y(t>

36、4),则该不等式可化为t2 at+ 1> 0,即a< t+；对于任意的t>4恒成立,1 1 令 u(t) = t+ -(t >4),贝U u (t)= 1 12 =字>0对于任意的t> 4恒成立，从而函数u(t)= t + 1(t> 4)为单调13、(优质试题苏锡常镇一调)若实数递增函数，所以U(t)min= U(4) = 4+ 1 = 17,x, y满足x2 4xy+ 4y2 + 4x2y2 = 4,则当x + 2y取得最大值时，【答案】2【解析】思路分析设x= a,2y= b,则问题变简单了.解法 2 (2xy 1)2= (5y+ 2)(y 2),

37、即2x- y2=1y，则乂=込止，所以最新高考数学二轮专题训练(附经典解析)设 x= a,2y= b,则实数 a, b 满足(a b)2 + (ab)2= 4.因为(a+ b)2= (a b)2 + 4ab= 4 (ab)2 + 4ab= 8-(ab 2)2w 8,当且仅当a= b=2时，a+ b取最大值2谄,此时x= 2y,所以；=2.解后反思 作换元变换x= a,2y= b,得(a b)2 + (ab)2 = 4后，猜都可以猜出答案了.常用恒等式(a+ b)2= (a b)2+ 4ab.更好看的解法：由(a b)2+ (ab)2 = 4,得(a + b)2+ (ab 2)2= 8.当a + b取最大值22时，ab= 2,此时a = b =14、(优质试题泰州期末)若正实数X, y满足(2xy 1)2= (5y+ 2)(y 2),则x +亦的最大值为【答案】竽1【解析】 思路分析 处理双元最值问题，常用消元法或整体法，也可以构建方程转化为方程有解去处1理.如本题，思考方向一，可以设X+ = Z,代入之后转化为关于 y的方程(4z2 5)y2 8(z 1)y + 8= 0在(2,+ 8)上应有解，由0解出z的范围，并验证最大值成立；思考方向二，消去X再用均值不等式去处理;1 2思考方向三，观察得到2x y 2