对数平均数的不等式链的几何解释及应用

1、学习必备欢迎下载对数平均数的不等式链的几何解释及应用中学数学教育专家安振平先生在剖析2014年陕西高考数学试题时指出，其压轴题的理论背景是:a + b a b Ja b设a,b0,a H b,则 >> Tab，其中被称之为对数平均数.2 In a InbIn a Inb童永奇老师构造函数，借助于导数证明了对数平均数的上述不等式，难度较大，为此, 探讨，给出对数平均数的不等关系的几何解释，形象直观，易于理解.1对数平均数的不等关系的几何解释1f（x） = （x>0 ）的图象，如图所示，AP IlBCllTU U KVx我作了深入地反比例函数，MN II CD U x 轴,fa

2、+ b怎丿,作f（x）在点KW'訐J- B(b,0 ),Q b,1" Jab,- a丿I b丿因为S曲边梯形abqP > S梯形ABFE - S矩形ABNM ，(b- a),b 1所以 A -dx= In b- In a> Q X又窃边梯形AUTPVab 1百dx= In vab- In a , X1 1=2(ln b- ln a)=目边梯形 ABQP，S梯形AUTP = 2?|+ 法齊-a)= 2? Tab 2 盼ABCD，根据右图可知,Sa边梯形AUTP < S梯形AUTP ，所以ln b- ln a <b- aTab '另外，氐形ABQX

3、< &边梯形ABQP < S梯形aBQP < S矩形aBYP，可得:(b- a)< Inb- b')lna<2l+b 眇 a)<综上，结合重要不等式可知:1(b- a)<4<lnb- b')a+ bIn a <b- a 忌<1v-(b- a), a即b>u b- a >2 ln b- ln aTab >2> a1 1a b(b> a> 0).2不等式链的应用对数平均数的不等式链，提供了多种巧妙放缩的途径，可以用来证明含自然对数的不等式问题对数 平均数的不等式链包含多个不等式，

4、我们可以根据证题需要合理选取其中一个达到不等式证明的目的.2.1b- ab>>a(a>0)的应用(2014年陕西)设函数 f(x) = ln(1+x)，g(x) = xf'(x)，其中 f'(x)是 f(x)的导函数.(1)(2)(略)设n亡N+，比较g(1 )+g(2 )+HI + g(n )与n f (n )的大小，并加以证明.解析(3)因为 g(X )=1 +x12n广所以他+曲广川+g(n)寸2+1片百e而 n-f (n) = n-ln(n+1),因此，比较 g(1 )+g(2g(n )与n-f(n)的大小，即只需比较1 1 1+与ln(n +1 )的

5、大小即可.23 n +1b a1根据 b>a>0, b>，即 b(b- a)<lnb- lna,1令 a = n,b= n + 1,则< ln(n + 1)- In n,n+ 1111n +1所以一< l n2T n1 = l n2 , - < l n3T n2 , HI,< l n(n + 1)T nn ,231 1 1将以上各不等式左右两边相加得：一中中11 (+< In (n +1),23 n +1故 g + g(2)+H| + g(n)An- f (n).评注 本题是高考试题的压轴题，难度较大，为了降低试题的难度采取多步设问，层层递

6、进，上问结 论，用于下问，其第二问是为第三问做铺垫的“梯子”，尽管如此，步骤依然繁琐，求解过程复杂，但我 们这里应用对数平均数不等式链来证明，思路简捷，别具新意，易于学生理解、掌握.当b> a> 0时，In b- In ab- a1> a，即 In b- In av - (b- a),令 a = n,b = n + 1, a11则 ln(n + 1)- Innv,可得：ln(n +1)<1+ n21+L(2012年天津)已知函数 f(x) = x I n(x+ axaO )的最小值为o.(1)n 2(2)(略)(3)证明：送 一一ln(2n + 1)<2(n忘 N

7、 * ). y 2i -1解析(3)易求a =1，待证不等式等价于 2 +23572+ 111 +<l n(2n+1).2n 1b a根据b> a> 0时，b> Inb- Ina1，即 b(b- a)<In b- In a,令 a = 2n-1,b=2n+1,2<2n+ 1ln(2n+ 1)- ln(2n- 1),In3-In1, 2/a + bb- a 小，J> (b> a> 0)的应用V 2 Inb- Ina< In5- In3, 2 < In7- In5,L ,572(n+1)-1<In(2n+1)-In(2n-1)

8、,将以上各不等式左右两边分别相加得:5 7川需2n+12 cln(2n+1 ),2.22 2 越Tnm2 一茁V得证.例3设数列aj的通项anJn(n +1) + 1,其前n项的和为Sn ,证明：Sn <1 n(n +1).解析 根据b> a> 0时,戸>令b= n + 1,a = n,则 ln(n + 1)- lnn>2.3a+ b b- a> 解析b- a，即 In b-Inb- Inalna> d(b- a)Taw42Jn2 + (n+ 1)2 J2n2 + 2n+ 1> J2n2 + 2n+ 2> an，易证 & <l

9、n (n + 1).(b> a> 0)的应用2 In b- Ina'1设数列a,的通项an =1中-11+ - + |( + -，证明：an < In(2n +1).3n根据b>a>0时，学>，即 Inb- lna> 2(b- a)Inb- Inaa+ b1令b= 2n + 1,a = 2n- 1,则 ln(2n+ 1)- In(2n- 1)> ,易证 an < In(2n + 1). n2.4In b- Ina21 _1+ -b5( 2010年湖北)y = x-(1)(b> a> 0)的应用已知函数f(x)二ax +c

10、(a> 0)的图象在点(1, f (1)处的切线方程为证明：1+L + >23n(1)b= a- 1,c= 1- 2a ;当b>cb- aa> 0时，(略)用a表示出b, c ；(2)解析Inb- InaIn (n + 1) +>2(n+ 1)(n ?1).21,即 ln b- l+ b 壬b- a),令 a= n,b= n + 1,则 In (n + 1)- Innv所以 In 2- In1 < 1?1 iln3- ln2v2 -1骣骣1亠I2桫 +3iL，ln(n +1)- lnn*1 桫将以上各不等式左右两边分别相加得:ln(n+1)< 2+彩+

11、1 -+37+l2(n+ 1)'即 ln(n +1)<1+2+1 -+312(n+1)2,故1+1+1+L + T>3nln(n+ 1)+2(n+ 1)(1)(2013年新课标I)已知函数f (x)=l nd + xl-X + x)若X 3 0时，f (X)兰0,求A的最小值;设数列 4的通项an =1+ 1 + 1，证明:23 n1a2n - an r >ln2 .4n解析(1)易得 f (0 )= 0, f '(X)=(1 一2几)x- AX22(1 + X),1 2k令 f (x) = 0,则 x=0,x =Af(x)A f(0)=0,不符合题意；若若几

12、< 0 ,则当X A 0时，f ( X ) A 0, f ( X )是增函数,OEac1，则当0<xc匕"时，f'(x)>0, f(x)是增函数，f (x)> f (0)=0,不符合题意;2A1心2，则当5时nomx)是减函数，f(X)f 0)7符合题意;综上，几的最小值是1 2(2)当 b> a> 0时,b- a > ln b- ln a2T + aJ'即lnb-1门*<1桫|+¥ib- a)，b令 a = n,b = n + 1,则ln(n+ 1)- lnn< 1?| +所以 ln(n+ 1)- In

13、 n<In2n-2)- In (n+ 1)<+ 11亠:n+ 2 -3)- ln(n+2)<1l2?n+-2+ n+ 3，Lln(2n- 1)<1ln17+2n将以上各不等式左右两边分别相加得:In2n- lnn<1骣2S +2+n+ 12+n+ 22 + 2n- 1即 ln2<2n+in+7+ n+ 2+ n+ 3+ L亠1+ 2n- 1才 4n'故丄+n+1 n+21 1+川+丄+丄l n2 2n 4n评注本题提供标准答案是借助于第一问的的最小值几=1时,21加以赋值，并进行变形，令x = kl212 k +k丿1,1 (1 1 、"O

14、+kik-旷丙丿达到放缩的目的.两者相比较，自然是运用对数平均值的不等式链的方2.5占>(b>a>0)的应用X +1成立.(1)(略)求证:2 + - +4<12 -14X22 -14咒于一14+11 +>-In (2n+1)对一切正整数 n 均4x n 14解析b a根据 b> a > 0时，一>Inb- InaTab，即 ln b- lna<(2014福建预赛)已知 f(x)=aln(x+1)+丄 +3x-1.令 b = 2n + 1,a = 2n- 1,则 ln(2n + 1)- In (2n- 1)<1 彳 变形可得：一轾(2

15、 n+1)- l n(2 n- 1) <24 'J4n2- 144n2- 1n+ 1E则1(1 n3- In1)v 2, -(ln5- In3)v4') 4?12 1 4')324? 22 1丄，n+ 1)- In(2n- 1) <n+ 124n - 1将以上各不等式左右两边相加得:2,3,4+4x1 _i 4x22-14x32-1+川+册ihn(2 n+1)对一切正整数n均成立.4即丄x+11评注 本题提供标准答案是借助于第一问的a的最小值a =-2时，-21n(x + 1) +3x-1a0,x + 1+ 3x-1a2In(x+1 ),结合待证不等式的特征,k+14k2 1-1 >2ln(+1)2k-12k-11>-ln (2k +1 )-ln (2k -1),借此作为放缩的途径达到名校模拟数学试题、高考数学真题的理论背景，正对数平均数的不等式链的运用是近几年数学竞赛、如罗增儒教授指出：通过有限的典型考题的学习