小升初第1讲最大公因数和最小公倍数(含答案)

1、，an表示，例如12和 18的公 记作12 , 18=36。自然数儿倍数有：36,8 , 12=24 , 6 , 9, 15=90。3.互质数如果两个数的最大公约数是1，那么这两个数叫做互质数。 常用的求最大公约数和最小公倍数的方法是分解质因数法和短除法。用短除法求若干个数的最大公约数与最小公倍数的区别：求n个数的最大公约数：必须每次都用n个数的公约数去除；一直除到n个数的商互质（但不一定两两互质）；，an的最小公倍数通常用符号a1，a2,72,.其中36是12和 18的最小公倍数,(1)n个数的最大公约数即为短除式中所有除数的乘积。（3）求n个数的最小公倍数:数学小升初分班考第一讲最大公约数

2、与最小公倍数（一）教学目标：1. 通过学生对应用题的条件与问题的全面分析，培养学生发现问题和解决问题的意识。2. 通过比较与辨析，使学生进一步理解和掌握最大公约数和最小公倍数”应用题的解 题规律。3. 培养学生的合作交流意识和创新意识，发展学生的空间观念与想像力。 教学过程：、基本概念知识1. 公约数和最大公约数 如果一个自然数a能被自然数b整除，那么称a为b的倍数，b为a的约数。 如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个 自然数的公约数。在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个自然数的 最大公约数。例如：12的约数有：1, 2, 3, 4, 6, 12;18的约

3、数有：1, 2, 3, 6, 9, 18。自然数a1,a2, ,an的最大公约数通常用符号（印耳，a ）表示，例如，12和 18的公约数有：1, 2, 3, 6.其中6是12和 18的最大公约数，记作（12, 18）=6。（8, 12） =4, （6, 9, 15） =3。2.公倍数和最小公倍数如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数。在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的 最小公倍数。84,例如：12的倍数有：12, 24, 36, 48, 60, 72,的倍数有：18, 36, 54，72, 90,1811（1）必须先用（如果有）n个数

4、的公约数去除，除到n个数没有除去1以外的公约数后，在用n 1个数的公约数去除，除到 n 1个数没有除1以外的公约数后，再用n 2个数的公约数去除，如此继续下去，为保证这一条，每次所用的除数均可选质数；（2） 只要有两个数（被除数） 能被同一数整除，就要继续除，一定要除到 n个数的商两两互质为止；（3） n个数的最小公倍数即为短除式中，所有除数和最后两两互质的商的乘积。例1用60元钱可以买一级茶叶144克，或买二级茶叶180克，或买三级茶 叶240克。现将这三种茶叶分别按整克数装袋， 要求每袋的价格都相等，那么每 袋的价格最低是多少元钱？分析与解：因为144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克

5、三级茶叶都是60元, 分装后每袋的价格相等，所以144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶 叶, 分装的袋数应相同，即分装的袋数应是 144, 180, 240的公约数。题目要求每袋 的价格尽量低，所以分装的袋数应尽量多，应是 144 , 180, 240的最大公约数。是144, 180, 240的最大公约数。!|144130240计T2W1203尿45GO12150所以（144，180，240）=2X 2X 3=12,即每60元的茶叶分装成12袋，每袋 的价格最低是60*12=5（元）。例2 B用自然数a去除498, 450，414,得到相同的余数，a最大是多少? 分析与解：因为49

6、8, 450, 414除以a所得的余数相同，所以它们两两之差 的公约数应能被a整除。498-450=48, 450-414=36, 498-414=84。所求数是（48, 36, 84） =12。例3 C现有三个自然数，它们的和是1111,这样的三个自然数的公约数中， 最大的可以是多少？分析与解：只知道三个自然数的和，不知道三个自然数具体是几，似乎无 法求最大公约数。只能从唯一的条件“它们的和是111T入手分析。三个数的1111，所以三个自然数都101是可能的，比如取三个和是1111,它们的公约数一定是1111的约数。因为1111=101X 11,它的约数 只能是1, 11, 101和1111

7、，由于三个自然数的和是 小于1111, 1111不可能是三个自然数的公约数，而 数为101, 101和909。所以所求数是101。（见下页上图），这条对角例4 B在一个30X 24的方格纸上画一条对角线线除两个端点外，共经过多少个格点（横线与竖线的交叉点）？i i !24-30分析与解：（30, 24） =6，说明如果将方格纸横、竖都分成6份，即分成6X6 个相同的矩形，那么每个矩形是由（30十6）X（ 24十6） =5X 4 （个）小方格组成。在6X6的简化图中，对角线也是它所经过的每一个矩形的对 角线，所以经过5个格点（见左下图）。在对角线所经过的每一个矩形的5X4个小方格中，对角线不经过

8、任何格点（见右下图）。、1所以，对角线共经过格点（30, 24） -1=5 （个）。例5甲、乙、丙三人绕操场竞走，他们走一圈分别需要1分、1分15秒和1分30秒。三人同时从起点出发，最少需多长时间才能再次在起点相会？75秒和90秒，因为要在起点60, 75，90的公倍数。所求7倍，过几年是你的6倍，再 ”你知道爷爷和小明现在的年分析与解：甲、乙、丙走一圈分别需60秒、 相会，即三人都要走整圈数，所以需要的时间应是 时间为60, 75，90=900 （秒）=15（分）。例6爷爷对小明说：“我现在的年龄是你的 过若干年就分别是你的5倍、4倍、3倍、2倍。 龄吗？分析与解：爷爷和小明的年龄随着时间的

9、推移都在变化， 但他们的年龄差是 保持不变的。爷爷的年龄现在是小明的7倍，说明他们的年龄差是6的倍数；同 理，他们的年龄差也是5，4，3，2，1的倍数。由此推知，他们的年龄差是 6, 5, 4, 3, 2的公倍数。6 , 5, 4, 3, 2=60 ,爷爷和小明的年龄差是60的整数倍。考虑到年龄的实际情况，爷爷与小明的年 龄差应是60岁。所以现在小明的年龄=60-（ 7-1 ） =10 （岁），爷爷的年龄=10X 7=70 （岁）。习题三、随堂练习1. 十越疋d姒删二ZixiL,十姒规口取小公倍数是54,甲数是多少？ 乙数是多少？2. 块长方形地面，长1对米，宽站米，要在它的四周和四角种树，每

10、两 裸之间的距离相等，最少要种树苗多少棵？每相邻两棵之间的距离是多少米?乱己知两个自然数的积是5W6,它们的最大公约数罡31.求这两个自然数召4兄弟三人在外工作，大哥&天回家一次，二哥呂天回家一次，小弟12天回 家一次.兄弟三人同吋在十月一0回家，下一次三人再见面是哪一天？5將长25分氷宽20分曲高15分米的长方体木块锯成完全一样的尽可能 大的立方体，不能有剩余，每个立方体的体积罡多少？ 一共可锯多少块？6箱地雷,每个地雷的重量相同，且都是超过1的茎千克数，去掉箱子 后地雷浄重201千克，拿出若干个地ff后，J争重开克求一个地雷的重量7最大公约数与最小公倍数(二)摘要：这一讲主要讲最大公约数与

11、最小公倍数的关系，并对最大公约数与最小公倍数的概念加以推广。在求18与12的最大公约数与最小公倍数时，由短除法g| 18 Ig耳9 63可知，(18, 12) =2X 3=6, 18 , 12=2 X 3X 3X 2=36。如果把 18 与 12 的 最大公约数与最小公倍数相乘，那么(18，12)X 18，12=(2X 3)X( 2X 3X 3X 2)=(2X 3X 3)X( 2X 3X 2)=18X 12。也就是说，18与12的最大公约数与最小公倍数的乘积，等于18与12的乘积。当把18, 12换成其它自然数时，依然有类似的结论。从而得出一个重要结论：两个自然数的最大公约数与最小公倍数的乘积

12、，等于这两个自然数的乘 积。即，(a, b)x a , b=a x b。例1两个自然数的最大公约数是6,最小公倍数是72。已知其中一个自然数 是18,求另一个自然数。解：由上面的结论，另一个自然数是(6X 72)- 18=24。例2两个自然数的最大公约数是 7,最小公倍数是210。这两个自然数的和 是77,求这两个自然数。分析与解：如果将两个自然数都除以7,则原题变为：“两个自然数的最大公约数是1,最小公倍数是30。这两个自然数的和是11,求这两个自然数。” 改变以后的两个数的乘积是1X 30=30,和是11。30=1 x 30=2x 15=3X 10=5X 6,由上式知，两个因数的和是11的

13、只有5X 6,且5与6互质。因此改变 后的两个数是5和6,故原来的两个自然数是7X 5=35和 7X 6=42。例3已知a与b, a与c的最大公约数分别是12和15, a, b, c的最小公倍 数是120,求a, b,分析与解：因为12, 15都是a的约数，所以a应当是12与15的公倍数，“a 是 60或 120, (a, ”当 a=60时， b= (a, b)x a , b -a b= (a, b)x a , b宁a c 为 60, 24, 15 或 120, 12, 15。4-千克、3-千克和2-千克。现要将它们649即是12 , 15=60的倍数。再由a , b, c=120知，a只能是

14、60或120。a , c=15，说明c没有质因数2,又因为a , b, c=120=23 x 3x 5,所以c=15。 因为a是c的倍数，所以求a, b的问题可以简化为：b) =12, a , b=120，求 a, b。=12x 120-60=24;当 a=120 时，=12x 120- 120=12。所以 a, b,例4有甲乙丙三种溶液，分别重全部分别装入小瓶中，每个小瓶装入液体的重量相同。问：每瓶最多装多少 千克？分析与解：如果三种溶液的重量都是整数，那么每瓶装的重量就是三种溶液重量的最大公约数。现在的问题是三种溶液的重量不是整数。要解决这个 问题，可以将重量分别乘以某个数，将分数化为整数

15、，求出数值后，再除以 这个数。为此，先求几个分母的最小公倍数，6 , 4, 9=36，三种溶液的 重量都乘以 36 后，变为 150, 135 和 80,( 150, 135, 80) =5。上式说明，若三种溶液分别重150, 135, 80千克，则每瓶最多装5千克。 可实际重量是150, 135, 80的1/36，所以每瓶最多装舟(千克)在例4中，出现了与整数的最大公约数类似的分数问题。为此，我们将最大 公约数的概念推广到分数中。如果若干个分数(含整数)都是某个分数的整 数倍，那么称这个分数是这若干个分数的公约数。在所有公约数中最大的一 个公约数，称为这若干个分数的最大公约数。由例4的解答，

16、得到求一组分数的最大公约数的方法：(1) 先将各个分数化为假分数；(2) 求出各个分数的分母的最小公倍数 a；（3）求出各个分数的分子的最大公约数 b;（4）b即为所求。a例5求55，25，6-的最大公约数。689罟，得到552 二（坯 汩 _7汪气、Q -6, 8, 972类似地，我们也可以将最小公倍数的概念推广到分数中。如果某个分数（或 整数）同时是若干个分数（含整数）的整数倍，那么称这个分数是这若干个 分数的公倍数。在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个分数的最 小公倍数。求一组分数的最小公倍数的方法：（1）先将各个分数化为假分数；（2）求出各个分数的分子的最小公倍数 a；（3）求

17、出各个分数的分母的最大公约数 b；（4）所求*例6狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳&扌米，黄鼠狼每次跳? 1內它们每秒都只跳一次.比赛途中，从起点开始，每隔药米设有W1 一个陷井。它们之中谁先掉进陷井？它掉进陷井时另一个跳了多远？分浙与黑狐狸掉逬陷井时与起点的距离应是碍和詁的最小整数倍(% 2),即碍和专的最小公倍数Q百I,詁=，=严= = 56 （米， J Zy i y i同理，黄鼠狼掉进陷井时与起点的距离为3163763, 7631 亠、低帀勺F莎g Q 丁丐咪，2所以狐狸掉进陷井时跳了56- 6# = 9 （次（次）。所以黄鼠狼掉进陷井时跳了 31 1/2 - 6 3/10=5黄鼠狼

18、先掉进陷井，它掉进陷井时，狐狸跳了专题练习1.将72和120的乘积写成它们的最大公约数和最小公倍数的乘积的形式。2. 两个自然数的最大公约数是12,最小公倍数是72。满足条件的自然数有 哪几组？3. 求下列各组分数的最大公约数：（1）2 2. （2 - 1丄*J 丿旷，1044. 求下列各组分数的最小公倍数：辺 22.（2）1 11.54；和2的乘积是否等于它们的最大公约数与最小险倍数的乘积?6 yS S ?6有甲，乙 丙三种溶紘分别重 2舟和砖千克。现要将它们全589部分别装入小瓶中，每个小瓶装入液体的重量相同。问：最少要装多少瓶？7有一块圆形绿地，周围种花卉，每隔&氷种一袜芙蓉，每隔米种一株牡丹，每隔4；米种一株茶花，每隔債彳米种一株菊花。己知4聃花卉