基本不等式√ab≤(a+b)2

1、最新高二数学优质课时训练（专题学案附经典解析）基本不等式:vOb < a+b2一、对基本不等式的理解及简单应用 1若a,b R,且ab>0,则下列不等式中，恒成立的是A. a+b > 2v?f 112B.?+ ?> V? ?C. + 2? ?D. a2+b2>2ab 答案:C 解析:因为ab>0,所以3>0,?>0,即?+ ?.?>2/?冬2,所以选C.? ? ? ? '2. 设0<a<b，则下列不等式中正确的是（）- ?+?A.avbv v? ？+?B. av “？<» ？+?C.av V?侮一 ?+?

2、D. V?卧" 答案:B ?+?解析:0<a<b? a2<ab<b2? a<v?b,0<a<b ? 2a<a+b< 2b? a<-?<b，又角？亍?所以a<存严b.3. x+1?>2;|?+ ? >2;第>2;?>xy;?+? >v|?P?其中正确的是（写出序号即可）.答案: 解析:当 x>0时,x+?>2;当XVO时,x+?< -2,不正确;- X与?同号，二|?+ ?=|X|+点2,正确;当x,y异号时，不正确;当x=y时,?+? =xy，不正确;当x= 1,y

3、=-1时不正确故填.二、利用基本不等式求最值 4.（课时训练河南郑州高二期末，8）已知a>0,b>0,且2是2a与b的等差中项， 则2的最小值为（）? 、 /B.2C.2D.4答案:B 解析:V2是2a与b的等差中项，二2a+b= 4.又 */a>0,b>0,2?+? 2 4 221 1 二?>2.故选 B.2ab< () =(4)=4,当且仅当 2a=b=2,即 a=1,b=2 时取等号.2 1 ?5.（课时训练福建厦门高二期末，8）已知a>0,b>0，若不等式?+ ;?>莎?恒亘成 立，则m的最大值等于（）A.7B.8C.9D.10答案

4、:C 解析:va>0,b>0,不等式!?+ 1?>岛恒亘成立,? ? 2?+? m< (2?+?(?+?.min- (2a+b)(|?+=5+詈+ 春 5+2X2v?x?=9,当且仅当 a=b 时取等号. m的最大值等于9.故选C.6.设 x>0,贝y y=3-3x-?的最值为答案:大3-2v3解析:很0" 3X+护2也 -(3?+< -2v3.-y=3-3x-? 3-2 v3 . y有最大值3-2v5,当且仅当3x=1 时，即当x=r时等号成立. :37.（课时训练河北邯郸三校联考，15）设x,y满足x+4y=40且x>0,y>0,则

5、Ig x+lg y的最大值是 答案：2 解析:因为x,y满足x+4y=40且x>0,y>0.所以 Ig x+lg y=lg(xy)=lg(x4y)-lg 4?+4? 2< lg(2) -Ig 4=lg 400-Ig 4=2.当且仅当x=4y,即x=20,y=5时，等号成立.8.设常数a>0，若9x+?>a+1对一切正实数x成立则a的取值范围 答案:1,+勺5解析:vx>0,a>0,9x+>6a,当且仅当9x=?,即x二?时取等号.?3从而由原不等式对x>0恒成立得6a>a+1, a> 5.三、利用基本不等式解决实际问题 9.(课

6、时训练江西吉安联考，20)新余到吉安相距120 km,汽车从新余匀速行驶 到吉安，速度不超过120 km/h,已知汽车每小时的运输成本(单位:元)由可变 部分和固定部分两部分组成：可变部分与速度v(km/h)的平方成正比，比例系 数为b,固定部分为a元.1(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(km/h)的函数;并求出当a=50,b=200 时，汽车应以多大速度行驶，才能使得全程运输成本最小；(2)随着汽车的折旧，运输成本会发生一些变化，那么当a=,b=2,此时汽车的速度应调整为多大，才会使得运输成本最小.解:(1)由题意知,汽车从新余匀速到吉安所用时间为号?120 ?全程成本为 y=(bv

7、2+a) -?=120(?+ ?j,v (0,120.当 a=50,b=200时,y=120(盘？?+ 为 >240?5?=120(当且仅当v=100时取等号).所以汽车应以100 km/h的速度行驶，能使得全程运输成本最小.当 a詈b=20r 时，y=120(20r-+ 笔),由双勾函数的单调性可知 v=120时,y有最小值.所以汽车应以120 km/h的速度行驶，才能使得全程运输成本最小.（建议用时：30分钟）1. 已知0VXV1,则x（3-3x）取最大值时x的值为B.4C.3D.f答案:A 解析:V0<x< 1,二 1-x>0,99+1? D.Ovx < 2

8、时,X-?无最大值则 x(3-3x)= 3x(1-x) < 3X( 9-)当且仅当x=1-x，即x=2时取等号.2. 下列结论正确的是（）1A.当x>0且X詢时，lg X+-2 1B. 当 x>0 时,v-+ 希 2v?1C. 当x> 2时,x+-的最小值为2解析选项A,当x (0,1)时,lg x<0,不满足基本不等式恒为正数的要求；选项B中满足一正、二定、三相等”的条件，是正确选项;11 R选项C,当x>0时,x+?> 2,等号成立的条件为x=1，当 x>2时,X+?迁(利 用函数单调性处理);113对于D,设f(x)=x-?则f'(

9、x)=1 + ?2>0,函数为增函数，因而最大值为-.3. 若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是A 24A.-B.28C.5D.6答案:C 解析:x+3y=5xy, 5?+5?=1.3?12?、13 c 3? 12?13_ +5?5?5 ' 5?5?57=5.当且仅当5?=罟，即x=2y时等号成立.4. 小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(avb),其全程的平均时速为v,A.avvv V?B.v= V? ?+?+?D.v=h2?T2V?f V?答案:A肋疋22?解析:V=L=<-+ - ?+? ?E、f 2?2?-?多-? ?多-?!十，、，2? E

10、因为-a= = > =0,所以一>a,即 v>a.故选 A.?+?+?+?+?"八？+? 95. 已知函数y=x-4+?+i(x>-1),当x=a时,y取得最小值b,则a+b=()D.8A.-3B.2C.3 答案:C 解析:y=x-4+?+i=x+1+?+i-5,因为x>-1,所以x+1>0,岛>0.所以由均值不等式得y=x+1+禽-52Vt?H 1) X侖-5=1, 当且仅当X+仁島，即(x+1)2=9,所以x+1 = 3,x=2时取等号,所以 a=2,b= 1,a+b= 3,选 C.6. 函数y=loga(x-1)+1(a>0,且的

11、图象恒过定点A,若点A在一次函数_ 1 2y=mx+n的图象上，其中m,n>0,则+ ；的最小值为? ?答案：8 解析:由题意，得点A(2,1),则1 = 2m+n,又m,n>0,所以丄 + 2= 2?+?2+ 迢2?也=4+2?+ 422 > 4+2v4=8.? 当且仅当?= 3x+4y=(3x+4y)(5?+ 5?| =2?,即mW,n时取等号,则:+ I的最小值为8.? ?7. 已知x>0,则?-的最大值为 答案：1499 解析:因为?9.设a,b,c都是正数求证：2?+ 2?+1 、 1 1 1 A+ .2? ?+? ?+? ?+?角，又x>0时,x+A2

12、V?¥=4,当且仅当x=?即x=2时取等2?号所以0<?+广4,即总的最大值为1.8. 建造一个容积为8 m3,深为2 m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造元.价每平方米分别为120元和80元，则水池的最低总造价为 答案:1 760 解析:设池底的长和宽分别为a,b,则2ab=8,ab=4,总造价 y= (2a+2b) X2 X80+ 120ab= 320(a+b)+ 480 > 320X2v?+?l80= 1 760(当且仅当 a=b=2 m时取等号）.证明:va,b,c都是正数,二1(+丄)A丄A丄.2 '2?2?2 V? ?+?同理可证 2(2?+ 21?) A土?“?* 2?* A止?三式相加得-+ -+ -丄+丄+丄,2? 2? 2? ?+? ?+? ?+?当且仅当a=b=c时取等号.10.（如图）某村计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室，温室内沿 左右两侧与后墙内侧各保留1 m宽的通道，沿前侧内墙保留3 m宽的空地, 当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？UmdmTO3 ni解:设矩形的一边长为x m,则另一边长为80?m,因此种植蔬菜的区域宽