平面向量的坐标运算

1、学习好资料欢迎下载2.3平面向量的坐标运算二、要点详析1平面向量的坐标表示彳44在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i, j作为基底，对任一向量a,x,y，使得a = xi + y j，则实数对(X, y)叫做向量的直角坐标，记作a = (x, y)，其中- 彳 一 一 一 y轴上的坐标，a = (x, y)叫做向量a的坐标表示，相等的向量其坐标相同，坐标易知：i=(1,0), j =(0,1)有且只有一对实数x,y分别叫做a在x轴, 相同的向量是相等的向量2.平面向量的坐标运算若 a =(Xi, yj ,-4_ 4b =(X2，y2)，贝y a + b =, a-b

2、=.如果A(xi,yi),离公式.B(X2,y2),则AB =, AB =(X2 Xi )2 +(y2 -yi Y，这就是平面内两点间的距- - 1若 a =(x,y)，贝y Za =，当 Z 时,a-a表示a方向的单位向量.同3两向量共线的坐标表示如果a =(为，yj, b =(x2,y2)，则a /b(bh 0)的充要条件是.三、基础自测1、已知 AB =(6,1 )BC =(x,y )CD =(-2,-3)则向量 AD 等于(A) (4-x,y-2)(B) (4 + x, y-2 )(C) (-4-x,-y+ 2)(D)( 4 + x,y + 2)2、下列各组向量中，能作为表示平面内所有

3、向量的基底的是(A)e1=(0,0)e2=(1,2)(B)e1 =(-1,2)e2=(5,7)(C)e1 =(3,5)e2 =(6,10)(D)e1 =(2,-3)e2 J1,-<24丿呻111-3、已知 AB =a，且 A(,4) , B(,2)，又 a ,贝U '心242(A) L1,-1(B) f1,(C)卩,1(D) L1,打丿14丿18丿 I 4丿_4、 设i , j是平面直角坐标系内分别与x轴、y轴方向相同的两个单位向量，0为坐标原点，若OA = 4+ 2，OB =3i +4j，贝y 2OA +OB 的坐标为(A) (1,2)(B)(7,6)(C)(5,0)(D)(1

4、1,8)5、 设A,B,C,D四点坐标依次是(1,0),(0,2),(4,3),(3,1)，则四边形ABCD为(A)正方形(B)矩形(C)菱形(D)平行四边形6、下列各组向量，共线的是()彳片(A) a =(-2,3),b =(4,6) (B) a =(2,3),b = (3,2)(C) a =(1,_2),b =(7,14)(D) a =(£,2),b =(6,4)T IT 7、 已知点 A( 2,4), B(3, 1), C (3, 4)，且有 CM = 3 CA, CN = 2 CB ,贝U MN =.8、已知点A(-1,5)和向量a = (2,3)若忒3则点B的坐标为.四、典

5、例精析题型一：有关平面向量的坐标表示及其运算问题 1已知向量a =(1,3 )的起点A(1,5 ),求其终点坐标；若向量a=(1,1), b=(1,3), c = (5,6 ),将c 用a和b表示。斗呻耳42、若向量 a =(1,1),b =(1,1),c =(-1,2),则 c=()1彳3彳 1呻3斗3呻1斗3彳1彳(A) -a +-b (B) - a -b (C) - a -b (D) -a + -b22 222222题型二：平行向量的坐标问题 1若向量a =(x,2 ), b =(8,x),且a和b共线，求a，b.2、若向量a =(1,2 ), b=(x,1 ), P =a+2b，予=a

6、2b且向量P和V共线，求向量P .- 片彳3、如果AB =i -2j，BC =i +mj，其中i, j分别是分别与x轴、y轴正方向上的单位向量,C三点共线，则m=题型三：关于向量与几何的问题1已知平行四边形 ABCD的顶点A(11)C(4,2)B(6,4)，求顶点D的坐标。T T T2、已知点 0(0,0), A(1,2), B(4,5)及 OP =OA+t ”AB,试问：当t为何值时，P在x轴上？ P在y轴上？ P在第二象限？四边形OABP是否能成为平行四边形？若能，则求出 t的值；若不能，说明理由题型四：综合创新问题1、已知 a =(3,2)， b =(-1,2)， c=(4,1).求满足

7、 a = xb + yc 的实数 x,y 的值; 若(a +kc )/(2b a )，求实数k的值.2、已知a =(1,0),b =(21).求|a+3b| ；当k为何实数时，ka-b与a+3b平行，平行时它们是同 向还是反向?3、利用向量的知识证明：梯形的中位线的长等于两底和的一半。4、若对n个向量ai，a2，a3,an，存在n个不为零的实数 匕*2, k?,，人，使得81+ k2a2 tks% + knQn =0成立，则称向量 a1,a2,a3/' an为"线性相关”。依此规定，能说明 ai =(1,0 )02 =(1, _1忑=(2,2 ), “线性相关”的实数 ki,

8、 k2, k3依次可以取的一组值是多少？五、能力提升-1 _ 3 1、( 07 宁夏)已知 a =(1,1), b =(1,-1).则向量一a- b 等于2 2(A) (-2,-1 )(B) (-2,1 )(C) (-1,0 )(D) (-1,2 )2、 点P在平面上作匀速直线运动，速度向量V =(4,-3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离 为V个单位)，设开始时点P的坐标为(-10，10)，贝U 5秒后点P的坐标为(A) (-2,4)(B) (-30,25)(C)(10,-5)(D)(5,-10)3、与向量a =(12,5)平行的单位向量为<1313 丿(A)(B)(125

9、、-一,-一 I k 1313丿1(C)從或I U3,13；(叫晋肩13, 13 丿T T4、 平面内有三点 A(0, -3), B(3,3), C(x, -1)，且 AB / BC，则 x 的值是()(A)1(B)5(C)-1(D)-5_5、已知四点A(-2,1),B(1,2)C(1,0 ,0(2,1)，则向量AB与CD的位置关系是(A)平行(B)垂直(C)相交但不垂直(D)无法判断6、若向量a=(x,y)，且a是单位向量，则必有.7、 已知a =(-3,2), b =(2,1), C =(3,-1), t亡R.求a+tb的最小值及相应的t值;若a tb与C共线，求实数t的值.- - -2-

10、1-1-8、已知 a =(1,2), b=(2,1), k,t 为正实数，x=a+(t 中 1)b , y = a + b. _k t是否存在k, t,使x / y ?若存在，则求出 k的取值范围；若不存在，说明理由.9、厶 ABC 中 一 A(2,4) , B(2,2), C(4,2) , D,E,F 分别是 AB,AC,BC 的中点一且 DE 交 AF 于 G 点, 求fG的坐标。A、B、C出发，各以一定10、如图一已知 ABC边上作匀速运动的点 D、E、F在时刻t = 0时一分别从 速度向B、C、A前进一当时刻t =1时到达B、C、A.试证明在运动过程中， DEF的重心不变.六、感受咼考

11、1、（07陕西）如图一平面内有三个向量OA、OB、OC ,其中与OA与OB的夹角为 120° OA与 OC 的夹角为 30°且IOA|=|OB|= 1, |OC |= 2j3 ,若OC =入OA+ uOB （ X,吐R）,则入+銅值为.2、（08安徽卷3 ）在平行四边形 ABCD中, AC为一条对角线，若 AB=（2,4）,AC =(1,3),则 BDA. ( 2, 4)B ( 3, 5)C (3, 5)D. (2, 4)3、（08 全国二 13）设向量a = （1,2）, b = （2 3），若向量 几a中b与向量c = （“, 一 7）共线，则 人=4. （2009浙江卷文）已知向量a= (1,2), b= (2, -3) 若向量 c 满足(c+a)/b ,