微专题【数列求和】

1、复习课:数列求和22一、【知识梳理】1等差、等比数列的求和公式Sn=4= nand ,2 2ba'q =1)Sn = <印(1-qn)4-a1-q公比含字母时一定要讨论.1q E2.错位相减法求和：如：已知 aj成等差，血成等比，求+ a2b2+3池.3.分组求和：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和.4.合并求和：如：求 1002 -992 +982 -972 +22 -12 的和.5.裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项.常见拆项:1 1 n(n +1) n n +1(2n1)(2n+1)弓冇-时)，n 11一n一=1-一&#

2、39;一(理科).(n +1)! n! (n +1)!n(n +1)(n + 2) "2n(n +1) " (n +1)(n + 2) 6倒序相加法求和：如等差数列求和公式的推导.7其它求和法：归纳猜想法，奇偶法等.二、【经典考题】【1.公式求和】例1.（浙江）在公差为d的等差数列an中，已知a10，且印,2&2+23成等比数 列.(0 求 d,an;(2)若 d c0，求 |aj+|a2|+|a3|+m + |an|.【分析】第一问注意准确利用等差等比数列定义即可求解，第二问要注意去绝对值时项的正负讨论. 【解答】（1）由已知得到：2 2 2(2a2 中2)2 =

3、5a1a3= 4佝 中 d +1)2 = 50(a1 中 2d)= (11 + d)2 = 25(5 + d)=121 + 22d +d2 =125 + 25d= d2 - 3d -4=0= F"4 或"一16=4n + 6 Ian = 11 - n（2）由（1）知，当 d <0时，an =11 - n.当 1 < n < 11 时，an > 0,|a,| + |a2| + |a3| + |li+|anFa,+a2 + a3+IH + an=n1rg-血卫当n > 12时，an < 0二 lall +Ia2 丨 + 丨时 +Il|+Ian

4、 l=a1 +a2 +a3 +川 + a11 -(42 +a13 +ill + an)2n 2 -21 n + 220)(21 ,(1W n<11)所以，综上所述：laj + a | + |a3| + |H+|an |2n2-21n+220,(n12)= 2(a1+a2+a3 + IE11)-»a2+a3W+an)4i-4)【点评】本题考查等差数列、等比数列的概念，等差数列通项公式、求和公式等基础知识，同时考查运算 求解能力.变式训练：（重庆文）设数列an满足:a1 = 1 , an+ 3an , n N .（1）求an 的通项公式及前n项和Sn ；（2）已知bJ是等差数列,（

5、1）由题设知an是首项为Tn 为前 n项和，且bi=a2,b3=ai +a2 +a3，求T?。.【解答】1 _ 3n11，公比为 3 的等比数列，”. an =32, Sn = (3n-1).1-32(2) b =a2 =3,3 =1 +3=9=13,t3 -h =10,二 2d =10,d =5,故T20 =20X3 + 20i9x5=1010 .2【2.倒序相加法】例2已知函数1f(x)=Ex汨.1(1)证明：f(X)+ f (1x)= ；2（2）若数列an的通项公式为an =f （卫）（m迂N,n =12川，m），求数列a.的前m项和Sm ; m1 111 1(3)设数列bj满足：b,

6、= ,bn+=b；+bnTn=+(|(+，若(2)中的Sm满3'b, +1 b2 +1 bs +1bn +1足对任意不小于2的任意正整数m,Sm <Tn恒成立，试求m的最大值.【分析】第（1）问，先利用指数的相关性质对f（1-x）化简，后证明左边=右边即可；第（2）问，注意利用（1 ）中的结论，构造倒序求和；第（3）问，由已知条件求出 Tn的最小值，将不等式转化为最值问题求解.1 1I解答】(1* f(x)=产PX"产+2 4 + 2 4x 2(2+4x)4X4X1/. f(x) + f(1-x)4x4x +21=+=xxx4 +22(2 +4 )2(2 +4 )2（2

7、）由（1）知,1 kk1f(X)+ f (1-x) = , A f () + f (1-) =(1w k < m-1,k忘 N),2 mm211即aam-2,af(mf(16，又 Sm =a, +a2 + lll+amjL +am,且有Sm =am_1 +am/ +IH + a, +am,两式相加得1 m 1m12 =(m -1) + 2am = 丁-T，即 Sm =二-石(m N)-2 2 64 12(3)由 D = ,bn 卅3=b： +bn =bn(bn +1)，知对任意的 h 亡 N ,bh > 0，则1bn +bnbn 中1所以bn 中1 bnbn +)+( 11(1b1

8、b2b2 bbS川+（丄-1 ）b4bnbn+bl-1 =3- 1+ = 17bh+-bh =b" >0/. bn + A bn，即数列bh是单调递增数列.Tn关于n递增，二n<N时，人>T,.2+r 养 Tn" wT3由题意知Sm V ,4m 1 10即4一14，解得m，" m的最大值为3 -【点评】解题时，对于某些前后具有对称性的数列，可以运用倒序相加法求和. 变式训练：2x已知函数f（X =.2X+运(1)证明：f (x)+f (1X ) = 1；20142014（2）求f（丄）+ f（昙rn+f（翁）+ f（翁）的值【解答】（1）2x2x

9、2xf(x) ff! X) 2 +品 z1"血 272 2+2X72 272 72(72+2X)（2）利用第（1）小题已经证明的结论可知,20142014f (丄)+ f (0 f (丄)+ f=川-f (皿)+ f (皿)=1 ,"八 "八20142014201420141 ) + f(丄)+川 + f(述)+ f(201)PS"f(20142014201420142013 2012小 21则S = f()+f()+ +f() + f(),2014 201420142014两式相加得：2S=2O13xf(_) + f(2013) =2013 所以 S=

10、_2013201420142【3.错位相减法】例3.（山东理）设等差数列an的前n项和为Sn,且St =4S2,a2n = 2a 1.（1）求数列an的通项公式;a +1（2）设数列bn前n项和为Tn ,且Tn +；n =人（A为常数）令C=b2n（N）,求数列cj的前P项和Rn.【分析】第（1）问利用等差数列通项公式及前 n项和公式列方程组求解 a1及d即可；第（2）问先利用an与Tn关系求出an，进而用乘公比错位相减法求出Rp .【解答】（1）设等差数列an的首项为a,，公差为d ,由 S4 = AS?, a2n = 2an +1 得，f4a<6d =8印 +4dg +(2 n 1)

11、d =2 +2( n 1)d +1解得，d =1,d =2 .因此an =2n -1(n N).(2)所以故,所以由题意知：Tn =入- a；：1 =)" 一歩 ,"斗 , 十 十、 n 八 n-1、 n-2n > 2 时， d =Tn Tn J =人九= nJ ,2 2 2.2n 2八/1nz L K駅Cn =b2n = 22n=(1)(-) (n 匸 N)-1111 1Rn 丸“1)0 十仔仃)1 +2咒(1)2 +3x(；)3 +川 +(n -1产(-)n,444441 1111 1 1 则一Rn =0X(y 中1咒(一)2 +2X()3 +3X()4 卄 H+

12、(n 2)X()2+( n 1产(一)n ,4444444(1)n两式相减得二申+(4)2+(寸)3+(寸)4+川+(扩-(门一1)咒(4)山十-(门一1产由, 整理得Rn =9(4 芳).94A+ A所以数列数列Cn的前P项和Rn = （4.94【点评】用错位相减法求和时，应注意：（1）要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数时的情形;（2）在写出Sn与的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出 Sn-qSh的表达式；般情况要先对参数加以讨论，主（3）利用错位相减法转化为等比数列求和时，若公比是参数（字母） 要分公比为1和不等于1两种情况分别求和.变式训练： （山东文）设

13、等差数列an的前n项和为Sn，且S4 =4S2,a2n =2an+1 .（1）求数列an的通项公式;（2）设数列bn满足虹+直+川+如=12,（n忘N），求bn的前n项和Tn . a1 a2an2【解答】（1）（2）由已知当n =1时,同例3. （1）.直=1_±,（ n 迂 N）, an2y112 25111工=1 -丄-（1-一）=丄2'2* 4 丿qn，a1 a2 b1a1bhan结合（町知虫=丄an2n（nN）.2n -1-2n:+g+川+2 n122 23丄+?22 2"两式相减得，二丄人2.T C 2n +3Tn = 3 - 2'n .又：站n

14、=2 n 1,二 bn2n 丄 +川 +2n 3 +2n T73 汕 2n2“ 十，1 2 2 2二豕中歹中川+歹）2n +2n -1=321 2n-12门42门十【4.裂项相消法】例4.（广东）设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，满足= a2+ 4n-1,n迂N，且&285,印4构成等比数列.证明：=診+5 ；求数列%的通项公式;11< -anan十21 1证明：对一切正整数 n，有一+ +HI +【分析】本题主要考查利用an与Sn关系求出an，进而用裂项相消法求出和，然后采用放缩的方法证明不等式.【解答】n =1 时，4a, =a2-5,a2 =43, +5, ； an

15、0二 a2 = (4印 +5n2 时，4Sn J =an 4( n - 门一 X 4an = 4Sn 4Sn=务屮-an -42an -12 2 .=an +4an +4 =(an +2), , a. :>0二 a.* -a. +2二当n > 2时，aj是公差d =2的等差数列.I *222285,64 构成等比数列a5 =a2 a14, (82+8)=a(a<H24 )，解得 a3 ,由可知，4 =a2 -5=4,二 4=1:'42-4 =3-1=2，二an是首项6=1，公差d =2的等差数列./.数列 的通项公式为an=2n1.1 1 1a1a2+a2a3讪云卞十

16、31 1 1十乔十山十(2n-1)(2n+1)_1_2_21 1(3(3-5(1-2n +1111小155-7)+川+(乔 1 V -12n +1)2【点评】(1) 利用裂项相消法求和时，应注意抵消后不一定只剩第一项和最后一项，也有可能前后各剩两项或若 干项；将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等.1 1 1 1(2) 一般情况下，若an是等差数列，则= );此外，根式在分母上时可考虑利用anan"h d an an+1分母有理化相消求和.变式训练：(大纲卷文)等差数列 a中，a4,a12a9,(1)求an 的通项公式;A(2)设bn =,求数列

17、 仏的前n项和Sn.nan【解答】(1)设等差数列an的公差为d，则an =a, +(n-1)d因为a74a19 =2a9，所以彳 + 6d -4 +18d =2(印 +8d)解得，a1= 1,d1_【解答】()由 a3+a4+a5= 84,39= 73 可得 3內=84,= 28,C 十4所以an的通项公式为an =1 2 2 2(2) 0=丄= 一上-丄nan n(n +1)n n+1所以 Sn =(2-2)+(2-2)+川 +(2-n 1223" n22 2n丙2百【5.分组求和法】例5.（安徽）设数列aj满足a1 =2， a2 + a8，且对任意n壬N，函数 f(X)=(an

18、 an 屮 +an Jx +anH1兀cosxan半 sinx 满足 f'() = 0（1）求数列aj的通项公式;4an（2）若bn = 2（an +歹T），求数列0的前n项和Sn .3T【分析】f'（X）=（an-an卅+anQ-an卅si nx-an* cosx，由（亍）=0可知数列（aj为等差数列.【解答】(1)由 f(x) =(an -an出 +an半)X +an出 cosx-an书 sinx，得 f(X)= an an+ +an七一an+ sinxan七、cosx，,兀f弓二时时乜占务十0所以，2an+=an +4七，而印=2,=4d =1 an =2 + (n-1)

19、1= n+1 ./C、111(2) bn =2(a2)2( n +1 十尹)=2(n+1) + 班,S-丄)S _2(2+n +1) n2n"221 二n（n +3） +1 -班2 1=n +3n +1 飞.2n【点评】本题主要考查了分组求和法，具体求解过程中一定要注意观察数列通项的构成特点，将其分成等差、等比或其它可求和的式子，分组求出即可.变式训练： （2012山东）在等差数列an中，= 84月9 = 73.（1）求数列an的通项公式;（2）对任意m忘N，将数列an中落入区间（9m,92m）内的项的个数记为bm，求数列bm的前m项和Sm .1 39 =73，贝U 5d = 39

20、34 = 45,二 d =9 ,二印=34 -3d =28-27 =1，于是 3n =1 +(n - 1)咒9 =9n -8，即 39n 8 (2)对任意 m亡 N, 9m *9n -92m，则 9m +8 9n+8 ,nr, 8c2m，8 I I L/ 2m A.c2mj 小二即 9+vn<9 nN , 9+1 < n < 9，二 bm=9-999于是 Sm =b1 +b2 + bm =0 +93 + 92m(90 + 91 + 9m)9_92m +"1-921 -9m 92m* -9 9m-192m*109m +19801-9802m+ +1809m-8山东）等

21、比数列%中，31,32,33分别是下表第一、二、三行中的某一个(201192m* +1 9m 即 Smy -第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818【6.奇偶项求和】例6 数，且31,32,33中的任何两个数不在下表的同一列.（1）求数列3n的通项公式；（2） 若数列bn满足：bn =3 n + （-1）n In3n,求数列bn的前n项和Sn 【分析】根据等比数列定义先判断出31,32,33，求出通项；求和时要对 n分奇偶讨论.【解答】（）由题意知31 =2,32 =6,33 =18，因为3n是等比数列，所以公比为 3所以数列3n的通项公式3n =2x3n(2)解法一：bn

22、 =an +(1 ) In an =2 3n+1)nln2 3n =2 彳心+(1)nln 2 + (n 1)ln 3当 n = 2k(k 迂 N*)时,S. »b2+|l|+b2k = 2(1 +3+111+32k4) +1 +(-2 + 3)+HI + (-(2k-2)+(2k-1)l n3 =2圧+53=3-1+%3 132当 n =2k -1(k 迂 N*)时,Si =bi +b2 +)H+b2kjL = 2(1 +3+川+322) +(1 -2) + 川 +(2k - 3)-(2k -2)ln3 -In 21 32k 1( 1)=2-(k-1)ln 3-ln2 =3nn3-

23、ln2132n为偶数3n 1 +nl n3, 故Sn才 21)l3n_1_(nln3_ln2, n为奇数L2nnn解法二：令 Tn =Z (-1)kln 2 3k，即 Tn =2 (-1)kln 2+2 (1)k(k1)ln 3kikAk4Tn =1+(1)2 + lll+(1)nln2+(-1)2 1+(-1)3 2+|+(-1)n ( -1)ln3 Tn =(-1)2+(1)3 + 11片(1)n5n2+(1)3 1+(1)4 2钟1 + (1)n(n1)ln3则 2Tn =1-(1)n+ln 2 + (-1)2 +(-1)3 +|li + (-1)n -(1)n*(n 1)ln3Tn1

24、(1)nrn2+1(")(j)-(-1严(n- 1)ln 32 2 244Tn=1-1-(-1)lnU(-1)2 ")%n-1)ln3 故 Sn =b1 也 +111 +bn =2(1+ 3+i| )+34) +Tn=3 -1+-1一（一1） ln 2 + 一（一1） 一（一1） （2n- 1）ln 3.24【点评】解法一分n为奇数和偶数对（-1）n进行化简求和，而解法二直接采用乘公比错位相减法进行求和, 只不过此时的公比 q=（-1）.本题主要意图还是考查数列概念和性质，求通项公式和数列求和的基本方 法.变式训练：已知数列ankn = 2n （ 1）n，求 Sn .【解答

25、】an=2 n+2(1)n,若 n =2m ,贝U Sn = -2(1 +2+3+111 +n) + 0 = -n(n +1)若 n =2m-1,则Sn =S2mj =S2m a2m =-(2m+1)2m+22m-(1)2m = -(2m + 1)2m + 2(2m-1) =Ym2 +2m-2 = (n+1)2 +(n+1)-2 = n2 -n-2.-n(n +1) (n为正偶数)Sn.-n2 -n-2 (n为正奇数)三、【解法小结】1.数列求和的关键在于分析数列的通项公式的结构特征，在具体解决求和问题中，要善于从数列的通项 入手观察数列通项公式的结构特征与变化规律，根据通项公式的形式准确、迅

26、速地选择方法，从而形成“抓通项、寻规律、定方法”的数列求和思路是解决这类试题的诀窍.2 .一般地，非等差（比）数列求和题的通常解题思路是：如果数列能转化为等差数列或等比数列就用公 式法；如果数列项的次数及系数有规律一般可用错位相减法、倒序相加法来解决；如果每项可写成两项之差一般可用裂项法；如果能求出通项，可用拆项分组法;如果通项公式中含有（_1）n可用并项或分奇偶项求和法.四、【小试牛刀】11 21 31 4"前n项的和为（2 4' 8 一 '1.数列162.3.4.5.6.7.9.A.数列A.数列A.1+n2n2an的前n项和为112- r+1Sn ，若 ann（n

27、 +1）1 丄 n2 +n2 2，则S等于（B 56二_ 1_，若前n项的和为10,则项数n +Jn +1B .（2013大纲）已知数列A. -6（13°）D.1尹130）121%满足3an卅+ an = 0, a2 =,则 an 的前10项和等于（）399B.设首项为1,公比为错误!A. Sn 2an 1B.未找到引用源。Sn =3an -2C. 120C. 3（1-3°）D. 3（1+才0）的等比数列an的前n项和为Sn,则（）C. Sn =43anD. Sn = 3-2an（2013新课标）设等差数列 僦的前n项和为Sn,Sm_t =2,Sm =0,Sm41 =3，则m =（）A. 3sin2+si n22"+si n23" +| 川 +sin2 89°