第五章 弯曲应力

1、第五章 弯曲应力教学学时6学时（弯曲正应力实验2学时）。基本内容纯弯曲；纯弯曲时的正应力；横力弯曲时的正应力；提高弯曲强度的措施。教学目标1、熟练掌握梁的正应力计算公式。2、了解梁的剪应力计算公式。重点、难点重点：1、纯弯曲的正应力、弯曲正应力强度计算。难点：1、纯弯曲的正应力、弯曲正应力强度计算。教学手段课堂讲授；实例说明 §5.1 纯弯曲1横力弯曲横截面上既有Q又有M的情况。如AC、DB段。2纯弯曲某段梁的内力只有弯矩没有剪力时，该段梁的变形称为纯弯曲。如CD段。3梁的纯弯曲实验（1）现象：横向线a-b变形后仍为直线，但有转动；纵向线变变为曲线，且上面压缩下面拉伸；横向线与纵向线

2、变形后仍垂直。（2）中性层：梁内有一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。（3）中性轴：中性层与横截面的交线。横截面对称轴中性轴中性层纵向对称面§5.2纯弯曲时的正应力1变形几何关系从梁中截取出长为的一个微段，横截面选用如图所示的坐标系。图中，轴为横截面的对称轴，轴为中性轴。从图中可以看到，横截面间相对转过的角度为，中yz性层曲率半径为，距中性层为处的任一纵线（纵向纤维）为圆弧曲线。因此，纵线的伸长为而其线应变为 纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比。2物理关系梁的纵向纤维间无挤压，只是发生简单拉伸或压缩。当横截面上的正应力不超过材料的比例极限时，可

3、由虎克定律得到横截面上坐标为处各点的正应力为 该式表明，横截面上各点的正应力与点的坐标y成正比。中性轴上各点的正应力均为零，中性轴上部横截面的各点均为压应力，而下部各点则均为拉应力。3静力关系横截面上坐标为的点的正应力为，截面上各点的微内力组成与横截面垂直的空间平行力系。这个内力系只能简化为三个内力分量，即平行轴的轴力，对轴的力偶矩和对轴的力偶矩，分别为，考虑左侧平衡，得， 横截面上的内力系最终归结为一个力偶矩式中积分 是横截面对中性轴的惯性距，上式可写成为 式中，越大，则曲率越小。因此，称为梁的抗弯刚度。将该式代入，即可得到弯曲时梁的横截面上的正应力计算公式 即以梁的中性层为界，梁的凸出一侧

4、受拉压力，凹入的一侧受压。则截面上的最大正应力为 §5.3横力弯曲时的正应力1横力弯曲时的正应力横力弯曲时的细长梁，即截面高度远小于跨度的梁，横截面将不在保持为平面。纵向纤维间的正应力也存在。但用纯弯曲时梁横截面上的正应力计算公式，能够满足精度的要求。横力弯曲时，弯矩随截面位置变化。一般情况下，在弯矩最大的截面上离中性轴最远处发生最大应力。有公式引入符号 ，则截面上最大弯曲正应力可以表达为 ，强度条件为称为截面图形的抗截面模量。它只与截面图形的几何性质有关。矩形截面和圆截面的抗弯截面模量分别为：高为，宽为的矩形截面： 直径为的圆截面： 2例题 受均布载荷作用的简支梁如图所示，试求：（

5、1）11截面上1、2两点的正应力；（2）此截面上的最大正应力；（3）全梁的最大正应力；解：画M图求截面弯矩求应力作业：P1655.1；5.2；5.4；5.8小 结1、纯弯曲（1）横力弯曲（2）纯弯曲（3）梁的纯弯曲试验2、纯弯曲时的正应力（1）变形几何关系：（2）物理关系：（3）静力关系：，纯弯曲时的正应力：，最大正应力： §5.4 弯曲切应力1矩形截面梁1）矩形截面中的弯曲切应力假设 大小：矩形横截面中弯曲切应力方向与剪力方向相同。方向：高宽比较大的矩形截面中的弯曲切应力沿宽度均匀分布。2）研究方法：分离体平衡。 在梁上取微段dx，在微段上再取一块如图，列平衡方程：（1）（2）（3

6、）（3）带入（1）、（2）得由剪应力互等得于是并时有2工字形截面梁工字形截面可以看作由三个矩形截面组成，因此其弯曲剪应力计算与矩形截面梁类似。仍然沿用矩形截面梁弯曲剪应力计算公式。将此式代入弯曲剪应力公式，可得腹板上弯曲剪应力的计算公式将时，在截面中性轴上时，在腹板与翼缘的交带入上式，得3圆形截面梁，§5.6梁的正应力和剪应力强度条件 、提高弯曲强度的措施1弯曲正应力和剪应力强度条件梁在弯曲时，横截面上一部分点受拉应力，另一部分点受压应力。对于低碳钢等这一类塑性材料，其抗拉和抗压能力相同，为了使横截面上的最大拉应力和最大压应力同时达到许用应力，常将这种梁做成矩形，圆形和工字形等对称于

7、中性轴的截面，对于拉压强度不等的材料，拉压应力均不应该超过各自的许用应力。于是强度条件为，例 求T形截面梁的最大切应力。 解：（1）求支反力，（2）作剪力图（3）求最大切应力2提高弯曲强度的措施1）梁的合理受力(降低最大弯矩) (1)合理放置支座(从设计方案考虑) 双杠，等强，以剪支梁为例，最大弯矩为若两端支座各向中心移动，最大弯矩减小为（2)合理布置载荷(从使用方案考虑)2）合理设计截面形状(增大抗弯截面模量) （1）梁的截面优化 ，对于宽，高为的矩形，抗弯截面模量 。因此，高度越大，越大，越小。在外边缘达到许用应力时，中性轴附近的应力很小，造成材料的浪费。例如：圆形截面。理想的情况是将面积

8、之半分布于距中性轴为处。 a.塑性材料上、下对称 抗弯更好，抗扭差。 b.脆性材料A/2A/2AAAh 采用T字型或上下不对称的工字型截面。3）等强度梁-截面沿杆长变化，恰使每个截面上的正应力都等于许用应力，这样的变截面梁称为等强度梁。由 得 若图示悬臂梁为等强度梁。等宽度h，高度为x的函数，b=b(x)。则 得出按剪切强度确定截面宽度的最小值。由于变截面梁并不节省材料，且加工麻烦，因此采用阶梯梁(加工方便)。作业：P1685.12；5.16；5.21；5.31小 结1、梁的正应力和剪应力强度条件，2、提高弯曲强度的措施（1）梁的合理受力(降低最大弯矩)a)合理放置支座(从设计方案考虑)b)合理布置载荷(