圆锥曲线定值结论.

1、椭圆中的一组“定值”命题圆锥曲线中的有关“定值”问题，是高考命题的一个热点，也是同学们学习中的一个难点。笔者在长时间的教学实践中，以椭圆为载体，探索总结出了椭圆中一组“定值”的命题，当然属于瀚宇之探微，现与同学们分享。希望对同学们的学习有所帮助，也希望同学们能在双曲线、抛物线等的后续学习中，能够利用类比的方法，探索总结出相关的结论。命题 1 经过原点的直线l 与椭圆 x2y21(a b 0) 相交于 M、N两点， P 是椭圆上的动点，a2b2直线 PM、 PN的斜率都存在，则b 2k PM kPN 为定值2 .a证明：设 P( x0 , y0 ) ，M (x1 , y1 ) ，N (x1 ,y

2、1 ) ，则 kPMk PN而点 P、 M 均在椭圆 x2y21上，故 y02b2 (1x2) ， y122202abay0y1y0y1y02y12x0x1x0x1x02x12（* ），2b2 (1x12 ) ，代入（ * ）便可得到 akPMkPNb2a2 .练习： 已知 A、B 分别是椭圆 x2y 21 的左右两个顶点， P 是椭圆上异于A、B 的任意一点，169则 kPAkPB.（答案：9 ） .16命题 2设 A、B、 C是椭圆 x 2y21(ab0) 上的三个不同点，B、 C关于 x 轴对称，直线a 2b2AB、 AC分别与 x 轴交于 M、N 两点，则 OM ON 为定值 a2 .

3、证明：设 A ( x1 , y1 ) ， B( x2 , y2 ) ， C(x2 ,y2 ) ，则直线 AB的方程为 yy1y1y2(xx1 ) ，x1x2令 y0得 M点的横坐标 xMy1x1x2x1x1 y2x2 y1 ，y1y2y2y1同理可得 N 点的横坐标 xNx1 y2x2 y1 ，于是 OM ON xM xNx12 y22x22 y12 ，y2y1y22y12x12y12x12 y22y12 y222由于a2b21a 2b 2y2x12 y22x22 y1222，222222a2y2y1x2y21x2 y1y2 y1y12a2b2a 2b 2因此有 OMONxMxNx12 y22

4、x22 y12a2.y22y12练习：设 B1，B2x2y 21的上下两个顶点，P 是椭圆上异于 B1， B 2 的动点，分别是椭圆1625直线 PB1， PB 2 分别交 x 轴于 M、 N 两点，则 OM ON.（答案： 25） .命题 3过椭圆 x 2y 21(a b0) 上一点 P(x0 , y0 ) 任意作两条斜率互为相反数的直线交a 2b 2椭圆于 M、 N 两点，则直线MN的斜率为定值 b 2 x0 .a2 y0证明：设直线PM 的方程为 y y0k ( xx0 ) ，则直线PN 的方程为 yy0k( xx0 ) ，联 立yy0k( x x0 )x2y 21组 成 方 程 组 ，

5、 消 去 y可 得和b2a2( a 2k 2b2 ) x22a 2 k ( y0kx0 ) x a 2 ( y0kx0 ) 2a 2 b20. 设 M (x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ， 则x1x02a2 k ( y0kx0 )， 可 得(a 2k 2b2 ) x02a 2ky0，同理可得a 2k 2b2x1a 2 k 2b 2( a2 k 2b 2 ) x02a 2 ky02(a2 k 2b2 )x04a 2 ky0x2a2 k 2b2， 则 x1x2a 2 k 2b 2， x1x2a 2 k 2b2， 于是y1y2k( x1x0 )y0k( x2 x0 )y0k( x1

6、x2 )2kx04b 2kx 0， 故直线 MN的斜率a 2 k2b2为y1y2b 2 x0.x1x2a 2 y0练习：已知椭圆 x2y 21，过点 A (2, 3 ) 作两条倾斜角互补且不平行于坐标轴的直线，162分别交椭圆于P、 Q两点，则直线PQ的斜率为.（答案：3） .12命题4 分别过椭圆 x 2y 21( ab0) 上两点 P(x0 , y0 ), Q ( x0 , y0 ) 作两条斜率互为相反数a 2b 2的直线交椭圆于M、 N 两点，则直线MN 的斜率为定值b2 (x0x0 ).a2 ( y0y0 )证明： 设直线 PM的方程为 yy0k ( xx0 ) ，联立yy0k(x x

7、0 )和x2y21 组成方程组，消去ya2b 2可得 (a 2 k 2b 2 ) x 22a 2k ( y0kx0 )x a 2 ( y0kx0 ) 2a2 b20 . 设 M ( x1 , y1 ), N (x2 , y2 ) ，则x1x02a2 k ( y0kx0 )，可得 x1(a 2 k 2b2 ) x02a 2ky 0 ，a 2k 2b2a 2 k 2b2同理可得 x2(a 2k 2b 2 ) x02a 2 ky0，则 x1x2(a 2 k 2b2 )( x0x0 )2a 2 k( y0 y0 ) ，a 2 k 2b 2a2 k 2b2x1x2(a 2k 2b 2 )( x0x0 )

8、 2a 2 k( y0y0 )，a 2k 2b 2于是有y1y2k( x1x0 ) y0k( x2x0 ) y0k (x1x2 ) k( x0x0 ) y0y02b 2 k( x0x0 ) (a 2 k 2b2 )( y0y0 )因为点x02y021，a 2 k 2b 2.P、 Q 都在椭圆上，所以2b 2ax02y021 ，两式相减可得y0y0b2 (x0x0 ) ，同理可得y1y2b2 ( x1x2 ) ，令a2b 2x0x0a 2 ( y0y0 )x1x2a 2 ( y1y2 )y0y0tb 2 ( x0x0 )，x0x0ta 2 ( y0y0 )，则y1y2b2 ( x1x2 )b 2

9、 ( a2 k 2b 2 )( x0x0 ) 2a 2 k( y0y0 )，将、代入便有x1x2a2 ( y1y2 )a 2 2b 2 k( x0x0 ) (a 2 k 2b2 )( y0y0 )y1y2b2 ( x0x0 )b 2 ( x0x0 )x1x2a 2 ( y0，即直线 MN的斜率为定值a 2 ( y0.y0 )y0 )练习： 分别过椭圆 x 2y 21上两点 A (2,2), B(6,1) 作两条倾斜角互补且不平行于坐标84轴的直线，交椭圆于另外两点P、Q，则直线 PQ的斜率为.（答案：623222与圆锥曲线焦点弦相关的一个优美结论众所周知，焦点弦的性质能够体现圆锥曲线几何特征，

10、是研究圆锥曲线时的主要对象之一，在历届高考中也占有重要的地位笔者根据焦点弦所在直线的倾斜角、焦点分焦点弦所成的比及圆锥曲线的离心率e 之间的关系得出一个优美结论，并结合高考试题彰显了它的重要作用，希望能和读者共勉一结论及证明定理已知焦点在x 轴上的圆锥曲线C ，经过其焦点F 的直线交曲线于A 、 B 两点，直线的倾斜角为， AFFB ，则曲线 C 的离心率 e 满足等式：ecos1 1下面以椭圆为例证明之2 ）.以AB证明： 如图 1，弦 AB 过椭圆的左焦点F ，左准线为 l ，由 AFFB可设 |AF |t ， | FB | t ( t0 ) ，当直线 AB 的倾斜角为锐角时 ，如图（ a

11、 ），显然1 ，分别过 A、B 两点作 AA1l 、 BB1l ，垂足分别为A1、B1 ，过 B点作 BDAA1 ，由椭圆的第二定义可得ADAA1BB1AFBF(1)teee，在 RtADB 中， cosAD(1)t1 ，故 ecos1 ，ABe(1)te( 1)1如果点 A 、 B 的位置互换，则01，则有 ecos11yyllA1DAA1AB1FOxFOxBB1DB(a)(b)图 1当直线 AB 的倾斜角为钝角时 ，如图（ b ），显然01，同理在 Rt ADB 中，可得 cos(BD(1)t1，故 ecos1 ，)ABe(1)te(1)1如果点 A 、 B 的位置互换，则1，则有 eco

12、s11当直线 AB 的倾斜角为直角时 ，显然 cos0 且1 ，等式成立；当直线 AB 的倾斜角0 时，弦 AB 为椭圆长轴，显然易得原等式也成立综上，在椭圆中等式ecos1 恒成立证毕1当圆锥曲线 C 为双曲线（如图2）时，同样可以证明等式ecos1 成立；当曲线 C 为抛1物线（如图 3）时，离心率 e 1，等式简化为cos1 （其中0 ）1总之，在任意圆锥曲线中， 对于其焦点弦所在直线的倾斜角，焦点分对应弦的比值（0 ），总有等式 ecos1 成立，它将看似没有必然联系的三个量有机地结合在一起，显得如此和谐、1优美，更加体现了数学的魅力ylylA1DD AAA1FxOFxOB1 BB1B

13、图 2图 3由于在解决具体的数学问题中，大多遇到的焦点弦AB 的斜率 k 是存在且不为0的，所以，根据直线的倾斜角和斜率的关系，不难得出：CFABAB推论 1 已知焦点在 x 轴上的圆锥曲线，经过其焦点的直线交曲线于两点，直线、的斜率为 k （ k 0 ）， AF FB，则曲线 C 的离心率 e 满足等式e1 k 21 1当圆锥曲线的焦点在y 轴上时，同理还可得推论 2已知焦点在 y 轴上的圆锥曲线C ，经过其焦点 F 的直线交曲线于A 、 B 两点，若直线ABk k0 AFFBC的离心率 e 满足等式1，的倾斜角为，则曲线esin，斜率为 （），1e 111 k 21（推论的证明从略，读者可

14、以自行完成）二结论的应用例 1（ 2008 年全国卷）已知F是抛物线Cy24x的焦点，过F且斜率为 1 的直线交C于A，：B 两点设 FAFB ，则 FA 与 FB 的比值等于解析： 焦点弦所在直线的倾斜角为45，FAFB ，则由定理可得 cos451 ，1所以3 22 例 2（2008 年江西卷） 过抛物线 x22 py ( p0) 的焦点 F 作倾斜角为 30 的直线， 与抛物线分别AF交于 A 、 B 两点（ A 在 y 轴左侧），则FB解析： 根据抛物线的对称性知|AF | |FB |，设AF，由推论2 可得 sin 301，FB1所以13例 3（ 2009 年全国卷） 已知双曲线x2

15、y21 a0, b0的右焦点为 F ，过 F 且斜率为3C： 22ab的直线交 C 于 A、 B 两点，若 AF4FB ，则 C 的离心率为（）A 6B 7C 5D 95585解析： 由推论 1 得 e1 （2416，故选 A3）415x2y21ab03，过右焦点 F 且斜例 4（ 2010 全国卷文理） 已知椭圆 C：2b2的离心率为a2率为 k （ k0 ）的直线与 C 相交于 A、 B 两点若 AF3FB ，则 k（）A 1B2C 3D2解析： 由推论1 得31k 231 ，解得 k2，故选 B231例 5（2010全国卷文理）已知F 是椭圆 C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段B

16、F 的延长uuuruuur线交 C于点 D，且 BF2FD ，则 C 的离心率为解析： 如图 4，由题意可得 |OF |c， | BF |a ，y设直线 BD 的倾斜角为，则 coscBe ，a由定理可得 e2211 ，FOx213D3所以 e图 43由此可见，本文的结论在解决与圆锥曲线焦点弦相关的问题时非常快捷，既避免了繁琐的代数运算，又节省了不少时间，可谓是圆锥曲线有力工具之一直线与圆锥曲线的关系问题典型例题：例1.（2012 年辽宁省文5 分）已知 P，Q为抛物线2x2y上两点， 点 P，Q的横坐标分别为4，2，过、分别作抛物线的切线，两切线交于，则点A的纵坐标为【】P QA(A) 1(

17、B) 3(C)4(D)8【答案】 C。【 考点】利用导数求切线方程的方法，直线的方程、两条直线的交点的求法。【解析】点P， Q的横坐标分别为4，2，代人抛物线方程得P， Q的纵坐标分别为8， 2。由 x22y 得 y1 x2 ， yx 。过点 P， Q的抛物线的切线的斜率分别为4， 2。2过点 P， Q的抛物线的切线方程分别为y 4x8,y2x2 。联立方程组解得x1, y4 。点 A 的纵坐标为4。故选 C。22例 2. （ 2012 年湖北省理5 分）如图，双曲线 x2- y2 =1 a> b>0的两顶点为 A1,A2 ，虚轴两端点为abB1 ,B2 ，两焦点为 F1,F2 。

18、若以 A1 A2为直径的圆内切于菱形F1 B1F2 B2 ，切点分别为 A， B， C，D。则（）双曲线的离心率 e=；（）菱形 F1B1F2 B2 的面积 S1 与矩形 ABCD 的面积 S2 的比值 S1=。S2【答案】（）5+1 ；（）5+2 。22【考点】双曲线的离心率及实轴虚轴的相关定义，一般平面几何图形的面积计算。【解析】（）由已知 bc=ab2 +c2b2 c2 =a2 b2 +c2c2 -a2c2 =a2 2c2 -a2c4 -3a2c2 +a4 =01+52e4 -3e2 +1=0 ，解得 e2 = 3+5e=3+5= 6+2 5=5+1。42242（）由已知得S1=2bc

19、，又直线 B2 F2 的方程为 y=- bx-c，而直线 OA 的方程为 y= c x ，cbx=2b2 c2联立解得b +c，y=bc222b +cS2 =4b2 cbc2，2+c22+c2bb22222222S12bcb +c2c -a2e -15+2 。= 2 c2 -a2 c2 = 2 e2 -1 e2 =S2 =4b2c bc2 =2b2c22222+c2b +cb例 3.（ 2012 年全国大纲卷理12 分）已知抛物线 C : y(x1)2 与圆 M : (x1)2( y1)2r 2 (r0)有一个公共点 A ，且在 A 处两曲线的切线为同一直线 l 。2（ 1）求 r ；（ 2）设 m 、 n 是异于 l 且与 C 及 M 都相切的两条直线，m 、 n 的交点为 D ，求 D 到 l 的距离。【答案】解： （ 1）设 A(x0,( x01)2 ) ，对 yx ( x1)2 求导得 y2( x1) 。直线 l 的斜率 k2( x01)，当 x01时，不合题意， x0 1。圆心为 M (1,1 ) ， MA 的斜率 k(x01) 21x012 ，2( x01)21由 lMA 知 kk1，即 2( x0 1)x0121，