同济第六版高等数学教案WORD版第12章微分方程

1、第十二章微分方程教学目的：1 了解微分方程及其解、阶、通解，初始条件和特等概念。2熟练掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。3会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。4 会用降阶法解下列微分方程：y(n)f(x) ， y f (x, y ) 和 y f (y, y )5 理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。6 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。7 求自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。8 会解欧拉方程，会解包含两个未知函数的一阶常系数线

2、性微分方程组。9会解微分方程组(或方程组)解决一些简单的应用问题。教学重点：1 、可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法2、可降阶的高阶微分方程y(n) f (x) ， y f (x, y )和 y f (y, y )3、二阶常系数齐次线性微分方程；4、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程；教学难点：1 、齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程；2、线性微分方程解的性质及解的结构定理；3、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。4、欧拉方程§12 1微分方程的基本概念函数是客观事物的内部联

3、系在数量方面的反映利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究因此如何寻找出所需要的函数关系在实践中具有重要意义在许多问题中 往往不能直接找出所需要的函数关系但是根据问题所提供的情况有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式这样的关系就是所谓微分方程微分方程建立以后对它进行研究找出未知函数来这就是解微分方程例1 一曲线通过点(1 2)且在该曲线上任一点M(xy)处的切线的斜率为2x求这曲线的方解 设所求曲线的方程为y y(x)根据导数的几何意义可知未知函数y y(x)应满足关系式(称为微分方程)dy 2xdx此外未知函数y y(x)还应满足下列条件x 1时y 2简记为y|x 1 2把(1)式两

4、端积分 彳#(称为微分方程的通解)y 2xdx 即 y x2 C其中C是任意常数把条件“ x 1时y 2”代入式得(2)(3)2 12 C由此定出C 1把C 1代入(3)式 得所求曲线方程(称为微分方程满足条件yx 1 2的解)y x2 1例2列车在平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶当制动时列车获得加速度0 4m/s2问开始制动后多少时间列车才能停住解设列车在开始制动后t秒时行驶了s s(t)应满足关系式会0.4dt2此外未知函数s s(t)还应满足下列条件以及列车在这段时间里行驶了多少路程？s米根据题意反映制动阶段列车运动规律的函数(4)1 / 41把(4)式两端积分一次

5、再积分一次ds ” 入20间记为s|t 0=0 dts |t 0=20(6)(5)0 2t2 Cit C2这里Ci C2都是任意常数把条件v|t 0 20代入(6)得20 Ci把条件S|t 0 0代入得0 C2把Ci C2的值代入(6)及式得0 4t 20(8)在(8)式中令0 2t2 20t(9)v 0得到列车从开始制动到完全停住所需的时间0450(s)再把t 50代入(9)得到列车在制动阶段行驶的路程s 0 2 502 20 50 500(m)解设列车在开始制动后t秒时行驶了 s米0 4 并且 s|t 0=0 s |t 0=20把等式s 04两端积分一次得0 4t Ci即v 0 4t Ci

6、 (Ci是任意常数)再积分一次0 2t2 Cit C2 (Ci C2者BCi是任意常数)由 v|t 020得20 Ci于是v0 4t 20由 s|t 0是 s 0 2t2 20t得t 50(s)于是列车在制动阶段行驶的路程 0 2 502 20 50 500(m)几个概念叫微分方程微分方程表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程常微分方程未知函数是一元函数的微分方程叫常微分方程偏微分方程未知函数是多元函数的微分方程叫偏微分方程微分方程的阶微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数叫微分方程的阶x3yx2 y 4xy 3x2y 4y I0y 12y 5y sin2x严1 0一般n阶

7、微分方程F(x y yy(n) 0y(n) f(x y y y(n 1)微分方程的解满足微分方程的函数(把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式)叫做该微分方程的解确切地说设函数y (x)在区间I上有n阶连续导数如果在区间I上Fx (x)(x)(n)(x) 0那么函数y(x)就叫做微分方程F(x y yy(n) ) 0在区间I上的解通解 如果微分方程的解中含有任意常数且任意常数的个数与微分方程的阶数相同这样的解叫做微分方程的通解初始条件用于确定通解中任意常数的条件称为初始条件如x x0 时 y y0 y y 0一般写成y x x0 ycy x x0 yq特解确定了通解中的任意常数以后就得到微分方

8、程的特解即不含任意常数的解初值问题求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题如求微分方程y f(x y)满足初始条件yx x0 yo的解的问题记为y f(x, y) y x xo yo积分曲线微分方程的解的图形是一条曲线叫做微分方程的积分曲线例3验证函数x Cicos kt C2sin kt7 / 4i是微分方程d2x dt2k2x 0的解解求所给函数的导数dxdtkC1sin kt kC2 cosktd2x dt2k2C1coskt k2C2 sinktk2(Gcoskt C2sinkt)将dx及x的表达式代入所给方程得dt2k2(Ci cos kt C2sin kt) k2(Cicos

9、kt C2sin kt) 02这表明函数x Cicoskt C2sinkt满足方程 号k2x 0因此所给函数是所给方程的解dt2例4已知函数x Cicoskt C2sinkt(k 0)是微分方程吗 k2x 0的通解求满足初始条件dt2x| t 0 A x | t 0 0的特解解 由条件 x| t 0 A 及 x Ci cos kt C2 sin kt 得Ci A再由条件 x 11 0 0 及 x (t)kCisin kt kC2cos kt 得C2 0把Ci、C2的值代入x Cicos kt C2sin kt中 得x Acos kt§i2 2可分离变量的微分方程观察与分析i求微分方程

10、y 2x的通解为此把方程两边积分得y x2 C一般地 方程y f(x)的通解为y f(x)dx C (此处积分后不再加任意常数 )2求微分方程y 2xy2的通解因为y是未知的所以积分 2xy2dx无法进行方程两边直接积分不能求出通解1x2 C1是原方程的通解 x2 C为求通解可将方程变为J2dy 2xdx两边积分得 y1 x2y可以验证函数y般地如果一阶微分方程y (x, y)能写成g(y)dy f(x)dx形式则两边积分可得一个不含未知函数的导数的方程G(y) F(x) C由方程G(y) F(x) C所确定的隐函数就是原方程的通解对称形式的一阶微分方程一阶微分方程有时也写成如下对称形式P(x

11、 y)dx Q(x y)dy 0在这种方程中 变量x与y是对称的若把x看作自变量、y看作未知函数则当Q(x,y) 0时有dyP(x, y)dxQ(x, y)若把y看作自变量、x看作未知函数则当P(x,y) 0时有dxQ(x, y)dyP(x, y)可分离变量的微分方程如果一个一阶微分方程能写成g(y)dy f(x)dx (或写成 y (x) (y)的形式 就是说能把微分方程写成一端只含y的函数和dy另一端只含x的函数和dx那么原方程就称为可分离变量的微分方程讨论 下列方程中哪些是可分离变量的微分方程？(1) y 2xy是 y 1dy 2xdx(2)3 x2 5x y 0 是 dy (3x2 5

12、x)dx(3)(x2 y2)dx xydy=0 不是(4)y 1 x y2 xy2 是y (1 x)(1 y2)(5)y 10xy 是10 ydy 10xdx(6) y Xi 不是 y x可分离变量的微分方程的解法第一步分离变量将方程写成g(y)dy f(x)dx的形式第二步两端积分 g(y)dy f(x)dx设积分后得G(y) F(x) C第三步求出由G(y) F(x) C所确定的隐函数y (x)或x (y)G(y) F(x) C y (x)或x (y)都是方程的通解其中G(y) F(x) C称为隐式(通)解例1求微分方程dy 2xy的通解 dx解此方程为可分离变量方程分离变量后得1 .八.

13、 dy 2xdxy两边积分得1 . dy 2xdxy即 ln|y| x2 C1从而 yex2 C1eC1ex2因为 eC1仍是任意常数把它记作C便得所给方程的通解2y Cex解此方程为可分离变量方程分离变量后得1 .-dy 2xdx y两边积分得1 . 八. dy 2xdxy即ln|y| x2 InCv2从而y Cex例2铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比 已知t 0时铀的含量为 Mo求在衰变过程中铀含量M(t)随时间t变化的规律解 铀的衰变速度就是M(t)对时间t的导数dMdt由于铀的衰变速度与其含量成正比故得微分方程17 / 41dM M dt其中(>0)是常数 前的曲面号

14、表示当t增加时M单调减少即dM dt由题意初始条件为M|t 0 Mo将方程分离变量得dtdMIM两边积分得dM ( )dtM即InM t InC 也即 M Ce t由初始条件得Mo Ce0 C所以铀含量 M(t)随时间t变化的规律 M Moe例3设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度成正比并设降落伞离开跳伞塔时速度为零 求降落伞下落速度与时间的函数关系解设降落伞下落速度为 v(t)降落伞所受外力为F mg kv( k为比例系数)根据牛顿第二运 动定律F ma得函数v(t)应满足的方程为一 dv 一 ,mdt mg kv初始条件为v|t o 0方程分离变量得dv dt mg kv m两边积分得

15、 dv dtmg kv m1tln(mg kv)kmk .Cle kC1)将初始条件v|t 0 0代入通解得mg C Tv mg Ce m (Ck(于是降落伞下落速度与时间的函数关系为v mg(1k例4求微分方程dy 1 x y2 xy2的通解 dx解方程可化为y2)dy (1 x)(1 dx分离变量得(1x)dx两边积分得1 2(1 x)dx 即 arctany jx2于是原方程的通解为y tan(2x2 x C)例4有高为1m的半球形容器水从它的底部小孔流出小孔横截面面积为1cm2开始时容器内盛满了水求水从小孔流出过程中容器里水面高度h随时间t变化的规律解 由水力学知道 水从孔口流出的流量

16、 Q可用下列公式计算Q dV- 0.62S、2gh其中0 62为流量系数 S为孔口横截面面积 g为重力加速度现在孔口横截面面积 S 1cm2故dVdt0.6272gh 或 dV 0.62V2ghdt另一方面dVr2dh设在微小时间间隔t t dt内水面高度由h降至h dh(dh 0)则又可得到其中r是时刻t的水面半径 右端置负号是由于 dh 0而dV 0的缘故 又因r , 1002 (100 h)2 >200h h2所以 dV (200h h2)dh通过比较得到0.62. 2ghdt (200h h2)dh这就是未知函数h h(t)应满足的微分方程此外开始时容器内的水是满的所以未知函数h

17、 h(t)还应满足下列初始条件ht 0 100将方程0.62商hdt(200h h2)dh分离变量后得dt(200h2 h2)dh0.62、, 2g两端积分得1(200h20.62, 2g3h2)dh(驷h20.62* 2g 3其中C是任意常数由初始条件得0.623100251002) C(400000 200000) 14 1050.62 .,2g 35)0.62,2g 1535因此(7 105 103h2 3h2) 0.62 2g上式表达了水从小孔流出的过程中容器内水面高度h与时间t之间的函数关系§12 3齐次方程齐次方程如果一阶微分方程 dy f(x,y)中的函数f(x, y)

18、可写成 dxY的函数 即f(x,y)(丫)则称这方程为齐次方程xx下列方程哪些是齐次方程？(1) xy y Jy2 x2 0是齐次方程dy y r2 x2dx xdy y dx x(2八1 x2y.Jy2不是齐次方程dydx1 y21 x2(x2 y2)dx xydy 0是齐次方程dy x2 y2 dx xydy x _ydx y x(4)(2 x y 4)dx (x y 1)dy 0 不是齐次方程dy 2x y 4dx x y 1(2xsh" 3ych)dx 3xch dy 0 是齐次方程 x xx, 2xsh y 3ych -dy x_,_xdy 2th、dxydx 3 x x3

19、xchx齐次方程的解法在齐次方程dy (')中令u y 即y ux有 dx xxduu 7 (U)分离变量得du dx(u) u x两端积分得dudx(u) u x求出积分后再用y代替u便得所给齐次方程的通解x例1解方程y2 x2 dy xydydx dx解原方程可写成dy y2 交dx xy x2 _y 1 x因此原方程是齐次方程令义u则xdyduy ux u x dxdx于是原方程变为du u2 xdx u 1即 x电。dx u 1分离变量得(1 -)du dx u x两边积分得u ln|u| C ln|x|或写成ln|xu| u C以乂代上式中的xu便得所给方程的通解ln|y1/

20、C例2有旋转曲面形状的凹镜假设由旋转轴上一点O发出的一切光线经此凹镜反射后都与旋转轴平行求这旋转曲面的方程解 设此凹镜是由xOy面上曲线L y y(x)(y>0)绕x轴旋转而成 光源在原点 在L上任取一点 M(x, y)作L的切线交x轴于A点。发出的光线经点M反射后是一条平行于 x轴射线 由光学及几 何原理可以证明OA OM因为 OA AP OP PM cot OP 、x y而 OM , x2 y2于是得微分方程x x2 y2 y整理得dx xj(2)2 i这是齐次方程dy y y问题归结为解齐次方程 dx - h (x)2 1 dy y y令v 即 x yv 得 v ydv v Jv2

21、 1 ydy即 ydv .,v2 1 dy分离变量得dyxv2 1 yv)2 v2 1,两边积分 得 ln(v Jv2 1) In y InC, v Wv2 1C耳吆1C2 C以yv x代入上式得y2 2C(x C)这是以x轴为轴、焦点在原点的抛物线它绕x轴旋转所得旋转曲面的方程为y2 z2 2C(x C-)这就是所求的旋转曲面方程例3设河边点O的正对岸为点A河宽OA h两岸为平行直线水流速度为a有一鸭子从点A游向点O设鸭子的游速为b(b>a)且鸭子游动方向始终朝着点O求鸭子游过的迹线的方程例3设一条河的两岸为平行直线水流速度为a有一鸭子从岸边点 A游向正对岸点O设鸭子的游速为b(b&g

22、t;a)且鸭子游动方向始终朝着点O已知OA h求鸭子游过的迹线的方程解 取O为坐标原点河岸朝顺水方向为 x轴y轴指向对岸设在时刻t鸭子位于点P(x, y)则鸭子运动速度故有dx dyvxvy另一方面va b (a, 0) b(yy2) v(abxbyy2)因此dx vx dy vy粉2即 dy bj(_x)2问题归结为解齐次方程dx dy令- yduy - dy即x yu得分离变量”.u2 1 b得du.u2 1dy by两边积分得 arshulnC)x代入上式并整理 y11六(Cy)2Ci(Cy)ab以x|yh 0代入上式得C故鸭子游过的轨迹方程为ab 0yh代入 arshu b(ln y

23、alnC）后的整理过程arsh-b(ln y lnC)shln(Cy)2(Cy)b(Cy)ab(Cy)a1-x 白cy)2C1 b1a (Cy)ba§12.4线性微分方程线性方程线性方程方程dy P(x)y Q(x)叫做一阶线性微分方程 dx如果Q(x) 0则方程称为齐次线性方程否则方程称为非齐次线性方程方程dy P(x)y 0叫做对应于非齐次线性方程dy P(x)y Q(x)的齐次线性方程dxdx下列方程各是什么类型方程？(x 2)dy ydy，y 0是齐次线性方程 dx x 2y(2) 3x2 5x 5y 0 y 3x2 5x 是非齐次线性方程y y cos x e sin x是

24、非齐次线性方程(4) dy 10x y不是线性方程dx32(5) (y l)2dy x3 0 dy -2 0或 dx (yr)-不是线性方程dxdx (y 1)2 dy x3齐次线性方程的解法齐次线性方程dy P(x)y 0是变量可分离方程分离变量后得dxdy P(x)dx y两边积分得ln|y| P(x)dx C1或 y Ce P(x)dx (CeCi)这就是齐次线性方程的通解(积分中不再加任意常数)例1求方程(x 2)学y的通解 dx解这是齐次线性方程分离变量得# / 41dy dx y x 2两边积分得ln|y| ln|x 2| InC方程的通解为y C(x 2)非齐次线性方程的解法将齐

25、次线性方程通解中的常数换成x的未知函数u(x)把P(x)dxy u(x)e设想成非齐次线性方程的通解代入非齐次线性方程求得P(x)dxP(x)dx_ 一P( x) dx -u(x)e u(x)e P(x) P(x)u(x)e Q(x)化简彳导u(x) Q(x)e P(x)dxP(x)dxu(x) Q(x)e dx C于是非齐次线性方程的通解为P(x)dxP(x)dxy e Q(x)e dx C或 y Ce P(x)dx e P(x)dx Q(x)e P(x)dxdx非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和例2求方程曳也(x 1)5的通解dx x 1解这是一个

26、非齐次线性方程先求对应的齐次线性方程半空 0的通解dx x 1分离变量得dy 2dxy x 1两边积分得ln y 21n (x 1) In Cy C(x 1)2用常数变易法 把C换成u即令y u(x 1)2代入所给非齐次线性方程得u (x 1)2 2u (x1) 2 u (x 1)2 (x x 151)2u (x11)2# / 41两边积分得23u 3(x 1)2 C再把上式代入y u(x 1)2中即得所求方程的通解为3y (x 俨2(x 1)2 C25解这里 P(x)-2 Q(x) (x 1)2x 1因为 P(x)dx ( -2-)dx2ln(x 1)x 1P(x)dx ee21n(x 1)

27、(x 1)2P(x)dxQ(x)e dx5(x 1)2(x 1) 2dx12(x 1)2dx -(x331)万所以通解为3y e P(x)dx Q(x)e P(x)dxdx C (x 1)22(x 1)2 C3电阻R和电感L例3有一个电路如图所示 其中电源电动势为 E Emsin t(Em、都是常数)都是常量求电流i(t)解由电学知道当电流变化时 L上有感应电动势L型由回路电压定律得出dtE Ldi iR 0 dt即 di Ri E dt L L把E Emsint代入上式得didtRiEmsin初始条件为i|t o 0其中方程电Ri Emsin t为非齐次线性方程 dt L LP(t) R由通

28、解公式得Q(t) EmsintR . 一i(t) e P(t)dt Q(t)e Pdtdt C e T ( ELmsinRdtte L dt C)EmLRte L ( sin teL dtC)2 Em2 2 (Rsin tR22L2RtLcos t) Ce L其中C为任意常数将初始条件i|t o 0代入通解LEmR2-2L2因此所求函数i(t)为LEm-tEmi(t) .；” L i Em.1(RsintR22L2 R22L2L cos t)、伯努利方程伯努利方程方程dy P(x)y Q(x)yn (n 0 1) dx叫做伯努利方程下列方程是什么类型方程？dy 1y 1(1 2x)y4是伯努利

29、方程dx 33(2) dy yxy5dy yxy5是伯努利方程dxdxy区'y - yxy1是伯努利方程yxx(4) dy 2xy 4x是线性方程 不是伯努利方程 dx伯努利方程的解法 以yn除方程的两边得y ndy P(x)y1n Q(x) dx21 / 41令z y1n得线性方程dzdx(1 n)P(x)z (1 n)Q(x)例4求方程dy y a(ln x)y2的通解 dx x解以y2除方程的两端得2 dydxaln x1、.即-(-y-) 1 y 1 aln xdx x令z y 1则上述方程成为dz 1 zdx x这是一个线性方程aln x它的通解为z MC 2(lnx)2以y

30、1代z得所求方程的通解为yMC |(lnx)2 1经过变量代换某些方程可以化为变量可分离的方程或化为已知其求解方法的方程例5解方程学dx x y解若把所给方程变形为dx dy但这里用变量代换来解所给方程即为一阶线性方程则按一阶线性方程的解法可求得通解令x y u则原方程化为亚1 1即du心dx u dx u分离变量得urdu dx u 1两端积分得u ln|u 1| x ln|C|以u x y代入上式得y ln|x y 1| ln|C| 或 x Cey y 1§12 5全微分方程全微分方程一个一阶微分方程写成P(x, y)dx Q(x, y)dy 0形式后如果它的左端恰好是某一个函数

31、u u(x, y)的全微分du(x, y) P(x, y)dx Q(x, y)dy那么方程P(x, y)dx Q(x, y)dy 0就叫做全微分方程 这里P(x,y) Q(x, y) xy而方程可写为du(x, y) 0全微分方程的判定若P(x, y)、Q(x, y)在单连通域G内具有一阶连续偏导数且P Q y x 则方程P(x, y)dx Q(x, y)dy 0是全微分方程全微分方程的通解若方程P(x, y)dx Q(x, y)dy 0是全微分方程且du(x, y) P(x, y)dx Q(x, y)dy 则u(x, y) C一xy 一即 P(x, y)dxQ(x0, y)dx C(xQ,y

32、o) G)x0y0是方程P(x, y)dx Q(x, y)dy 0的通解例 1 求解(5x4 3xy2 y3)dx (3x2y 3xy2 y2 )dy 0 解这里上 6xy 3y2 -Q yx所以这是全微分方程取(x0, y0) (0, 0)有u(x,y)；(5x4 3xy2 y3)dx；y2dyx5 2x2y2 xy3 §y3于是方程的通解为2 y2X3-2c3y1-323 / 41积分因子 右方程P(x, y)dx Q(x, y)dy 0不是全微分方程但存在一函数(x, y) ( (x, y) 0)使方程(x, y)P(x, y)dx (x, y)Q(x, y)dy 0是全微分方

33、程 则函数(x, y)叫做方程P(x, y)dx Q(x, y)dy。的积分因子例2通过观察求方程的积分因子并求其通解：(1)ydx xdy 0(2)(1 xy) ydx (1 xy)xdy 0解(1)方程ydx xdy 0不是全微分方程因为ydx xdyy2所以12是方程ydx xdy 0的积分因子于是yydx 2xdy 0是全微分方程 所给方程的通解为 -Cy2y(2)方程(1 xy)ydx (1 xy)xdy 0不是全微分方程将方程的各项重新合并得(ydx xdy) xy(ydx xdy) 0再把它改写成d(xy) x2y2(-dx 立)0 x y这时容易看出行为积分因子乘以该积分因子后

34、方程就变为(xy)2d(xy)(xy)2dx dy 0x y积分得通解1ln|-| lnC 即Ce对xy yy我们也可用积分因子的方法来解一阶线性方程y P(x)y Q(x)在一阶线性方程的可以验证(x) e P(X)dX是一阶线性方程y P(x)y Q(x)的一个积分因子两边乘以(x) e P(x)dx得P(x)dxP(x)dxP(x)dxye yP(x)e Q(x)e即 ye P(x)dx yeP(x)dx Q(x)e P(x)dx亦即ye P(x)dxQ(x)e P(x)dx两边积分便得通解P(x)dxP(x)dxye Q(x)e dx C或 y e P(x)dx Q(x)e P(x)d

35、xdx C例3用积分因子求dy 2xy 4x的通解dx解方程的积分因子为(x)2xdx eex§12 6可降阶的高阶微分方程25 / 412方程两边乘以ex得22222y ex 2xex y 4xex 即(ex y) 4xex.222于是 ex y4xex dx 2ex C2因此原万程的通解为y4xex dx 2Ce x237 / 41、y(n) f (x)型的微分方程解法 积分n次y(n 1) f(x)dx C1y(n 2) f(X)dx C1dx C2例1求微分方程ye2x cos x的通解解对所给方程接连积分三次得2e2xsinxC14e2xcosx C1x C2y 1e2x

36、sinx 1C1x2 C?x C3 82这就是所给方程的通解1e2x21e2x41e2xe8sinxcosxsin x2C12Gx C2C1x2 C2x C3这就是所给方程的通解例2质量为m的质点受力F的作用沿Ox轴作直线运动 设力F仅是时间t的函数F F(t)在 开始时刻t 0时F(0) F0随着时间t的增大此力F均匀地减小直到t T时F(T) 0如果开始 时质点位于原点 且初速度为零求这质点的运动规律解设xx(t)表示在时刻t时质点的位置根据牛顿第二定律质点运动的微分方程为m吟 F(t) dt2由题设 力F随t增大而均匀地减小且t 0时F(0) F0所以F(t) F0 kt又当t T时F(

37、T) 0从而F(t) Fo(1 T)于是质点运动的微分方程又写为d2x F0 t、/ m(1 T)其初始条件为x|t 0 0把微分方程两边积分dxi 0dt" 0得dx Fodt m(t 易C1由初始条件x|t 0 0 dxlt 0C1t C2得 C1 C2 0于是所求质点的运动规律为x且(1t2止)m'2 6T7t时质点的位置解设x x(t)表不在时刻根据牛顿第二定律质点运动的微分方程为mx F(t)由题设F(t)是线性函数且过点(0F0)和(T 0)F(t) tF。T1 即 F(t) F0(1 |)再积分一次于是所求质点的运动规律为于是质点运动的微分方程又写为x m(1

38、f)其初始条件为x|t 0 0 x |t 0 0把微分方程两边积分得F0(t枭C1得x -F0(1t2 ) 0 t Tm2 6T二、y f(x y )型的微分方程 解法设y p则方程化为p f(x p)设p f(x p)的通解为p(xC1)则dx(x,C1)原方程的通解为y (xG)dx C2例3求微分方程(1 x2)y 2xy 满足初始条件y|x o 1 y |x 0 3的特解解所给方程是y f(x y)型的设y P代入方程并分离变量后有汽2 dxdp P 两边积分得即由条件 所以InlPl p y y lx 0ln(1 x2) CC1(1 x2) (C1 eC)3 得 C1 3y 3(1

39、x2)两边再积分 得y x3 3x C2又由条件yx o 1得C2 1于是所求的特解为y x3 3x 1两端固定绳索仅受重力的作用而下垂试问该绳索在平衡例4设有一均匀、柔软的绳索 状态时是怎样的曲线？三、y f(y y)型的微分方程解法设y p有dp dp dydpyp -dx dy dxdy原方程化为dpp f(y, p) dy设方程pdp f(y, p)的通解为y p (y Ci)则原方程的通解为 dydy(y,Ci)x C2例5求微分yy解设y py 2 0的通解dpp 一dy代入方程得p2dpyp -dy在y 0、p 0时 约去p并分离变量 得dyydpp两边积分得ln|p|ln|y|

40、 lncp Cy 或 y Cy(C c)再分离变量并两边积分便得原方程的通解为ln|y| Cx Inciy CieCx(Cici)例5求微分0、设y pdpyp 一 dyp 0时yy y2 0的通解则原方程化为p2 0dpdy求它落1P 0 y1dy1y gyy Ciy 0从而原方程的通解为C d dxy C2e 1C2eClX例6 一个离地面很高的物体 受地球引力的作用由静止开始落向地面 到地面时的速度和所需的时间(不计空气阻力)、二阶线性微分方程举例例1设有一个弹簧上端固定平衡位置为坐标原点给物体一个初始速度vo 0后x是t的函数x x(t)设弹簧的弹性系数为§12 7高阶线性微

41、分方程下端挂一个质量为m的物体取x轴铅直向下物体在平衡位置附近作上下振动在振动过程中c则恢复力f cx又设物体在运动过程中受到的阻力的大小与速度成正比比例系数为并取物体的物体的位置由牛顿第二定律得cxdxdt移项并记2n则上式化为md2x dt这就是在有阻尼的情况下2ndx k2x 0 dt物体自由振动的微分方程如果振动物体还受到铅直扰力F Hsin pt的作用则有d2x其中hdt2H一: mdx 22nm k x hsin pt这就是强迫振动的微分方程2 设有一个由电阻 R、自感L、电容C和电源E串联组成的电路其中R、L、及C为常数电源电动势是时间t的函数 E Emsin t这里Em及也是常

42、数设电路中的电流为i(t)电容器极板上的电量为q(t)两极板间的电压为uc自感电动势为El由电学知道dq i dtucq E C ElLdt根据回路电压定律得其中d2uc 2 due出2dtR12L 0 JCE Ldi q Ri 0dt C.2.即 LC 驾 RCduc uc Emsin t dt2出c m或写成(2uc Emsin t0 c LC这就是串联电路的振荡方程如果电容器经充电后撤去外电源(E 0)则上述成为d2Ucdt22 due出Ouc 0二阶线性微分方程二阶线性微分方程的一般形式为y P(x)y Q(x)y f(x)若方程右端f(x) 0时方程称为齐次的 否则称为非齐次的二、线

43、性微分方程的解的结构先讨论二阶齐次线性方程_谶 d2ydyy P(x)y Q(x)y 0 即一2- P(x) Q(x)y 0 dx2dx定理1如果函数yi(x)与y2(x)是方程y P(x)y Q(x)y 0的两个解那么y Ciyi(x) C2y2(x)也是方程的解其中Ci、C2是任意常数齐次线性方程的这个性质表明它的解符合叠加原理证明Ciyi C2y2 Ci yi C2 y2Ciyi C2y2 Ciyi C2y2因为yi与y2是方程y P(x)y Q(x)y 0所以有yi P(x)yi Q(x)yi 0 及 y2 P(x)y2 Q(x)y2 0从而Ciyi C2y2 P(x) Ciyi C2

44、y2 Q(x) Ciyi C2y2Ciyi P(x)yi Q(x)yi C2y2 P(x)y2 Q(x)y2 0 0 0这就证明了 y Ciyi(x) C2y2(x)也是方程y P(x)y Q(x)y 0的解函数的线性相关与线性无关设yi(x) y2(x)yn(x)为定义在区间I上的n个函数 如果存在n个不全为零的常数ki k2kn 使得当 x I 时有恒等式k1y1(x) k2y2(x)knyn(x) 0成立 那么称这n 个函数在区间I 上线性相关否则称为线性无关判别两个函数线性相关性的方法对于两个函数它们线性相关与否只要看它们的比是否为常数如果比为常数那么它们就线性相关否则就线性无关例如1

45、 cos2x sin2x在整个数轴上是线性相关的函数1 x x2在任何区间(a, b)内是线性无关的定理2如果如果函数yi(x)与y2(x)是方程y P(x)y Q(x)y 0的两个线性无关的解那么y Ciyi(x) C2y2(x) (Ci、C2是任意常数)是方程的通解例 3 验证yi cos x 与y2 sin x 是方程 y y 0的线性无关解并写出其通解解 因为yiyicos x cos x 0y2 y2sin x sin x 0所以 yi cos x 与y2 sin x 都是方程的解因为对于任意两个常数ki、 k2 要使kicos x k2sin x 0只有ki k2 0所以cos x

46、与sin x在(，)内是线性无关的因此 yi cos x 与y2 sin x 是方程 y y 0 的线性无关解方程的通解为y C icos x C2sin x例4验证yi x与y2 ex是方程(x i)y xy y 0的线性无关解并写出其通解解 因为(x i)yixyi yi 0 x x 0(x i)y2 xy2 y2 (x i)ex xex ex 0所以yi x与y2 ex都是方程的解)内是线性无关的因为比值ex/x不恒为常数所以yi x与y2 ex在(,因此yi x与y2 ex是方程(x 1)y xy y 0的线性无关解 方程的通解为y C1x C2exyn(x)是方程an 1(x)y a

47、n(x)y 0此方程的通解为推论 如果y1(x) y2 (x)y(n) a1(x)y(n 1)n 个线性无关的解那么y C1y1(x) C2y2(x)Cnyn (x)其中Ci C2 Cn为任意常数二阶非齐次线性方程解的结构我们把方程y P(x)y Q(x)y 0 叫做与非齐次方程y P(x)y Q(x)y f(x)对应的齐次方程定理3设y*(x)是二阶非齐次线性方程y P(x)y Q(x)y f(x)的一个特解 Y(x)是对应的齐次方程的通解那么y Y(x) y*(x)是二阶非齐次线性微分方程的通解证明提示Y(x) y*(x)P(x) Y(x) y*( x) Q(x) Y(x) y*( x)Y

48、 P(x)Y Q(x)Y y* P(x)y* Q(x)y*0 f(x) f(x)因此例如 Y Ci cos x C2sin x 是齐次方程y y 0 的通解 y* x2 2 是 y y x2 的一个特解y C icos x C2sin x x2 2是方程 y y x2 的通解定理4设非齐次线性微分方程y P(x)y Q(x)y f(x)的右端f(x)几个函数之和 如y P(x)y Q(x)y fi(x) f2(x)而yi*(x)与y2*(x)分别是方程y P(x)y Q(x)y fi(x)与 y P(x)y Q(x)y f2(x)的特解 那么yi*(x) y2*(x)就是原方程的特解证明提示y

49、i y2*P(x) yi* y2* Q(x) yi* y2*yi*P(x) yi* Q(x) yi* y2*P(x) y2* Q(x) y2*fi(x) f2(x)§i2 9二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程方程y py qy 0称为二阶常系数齐次线性微分方程其中p、q均为常数如果yi、y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解那么y Ciyi C2y2就是它的通解我们看看能否适当选取r使y erx满足二阶常系数齐次线性微分方程为此将y erx代入方程y py qy 0得(r2 pr q)erx 0由此可见只要r满足代数方程r2 pr q 0函数y erx就是

50、微分方程的解特征方程方程r2 pr q 0叫做微分方程y py qy 0的特征方程特征方程的两个根ri、r2可用公式 p p2 4qri ,2 2 求出特征方程的根与通解的关系(i)特征方程有两个不相等的实根ri、r2时 函数yi erix、y er2x是方程的两个线性无关的解这是因为1人函数yi er1x、y er2x是方程的解又上1 % e(r1 r2)x不是常数y2 er2x因此方程的通解为y C1erix C2er2x(2)特征方程有两个相等的实根ri r2时 函数y1 erix、y2 xerix是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解这是因为yi erix是方程的解又(xeriX)p(xeriX) q(xeriX) (2r xri2)eriX p(i