小升初数学整数问题1

1、实用标准小升初数学整数问题1时间：2009 年 08 月 27 日作者：匿名来源：网络3943 人正在讨论相关问题第五讲整数问题之一整数是最基本的数，它产生了许多有趣的数学问题 . 在中、小学生的数学竞赛中，有关整数的问题占有重要的地位 . 我们除了从课本上学习整数知识以外，还必须通过课外活动来补充一些整数的知识，以及解决问题的思路和方法。对于两位、三位或者更多位的整数，有时要用下面的方法来表示：49=4 × 10+9，235=2 × 100+3× 10+5，7064=7 × 1000+6× 10+4，就是5.1整除整除是整数问题中一个重要的基

2、本概念. 如果整数 a 除以自然数b，商是整数且余数为0，我们就说 a 能被 b 整除，或 b 能整除 a，或 b 整除 a，记作 b 丨 a. 此时， b 是 a 的一个因数（约数）， a 是 b 的倍数 .1. 整除的性质精彩文档实用标准性质 1如果 a 和 b 都能被 m整除，那么 a+b， a-b 也都能被 m整除（这里设a>b） .例如：3 丨 18， 3 丨 12，那么 3 丨（ 18+12）， 3 丨（ 18-12 ） .性质 2如果 a 能被 b 整除， b 能被 c 整除，那么 a 能被 c 整除。例如：3 丨 6，6丨 24，那么 3 丨 24.性质 3如果 a 能同

3、时被 m、 n 整除，那么 a 也一定能被 m和 n 的最小公倍数整除 .例如：6 丨 36， 9 丨 26，6 和 9 的最小公倍数是18，18 丨 36.如果两个整数的最大公约数是1，那么它们称为互质的 .例如：7 与 50 是互质的， 18与 91 是互质的 .性质 4整数 a，能分别被 b 和 c 整除，如果 b 与 c 互质，那么 a 能被 b× c 整除 .例如：72 能分别被3和 4整除，由 3与 4互质， 72能被 3与 4的乘积 12整除.性质 4中，“两数互质”这一条件是必不可少的.72 分别能被 6 和 8 整除，但不能被乘积48 整除，这就是因为6 与 8 不

4、互质， 6 与 8 的最大公约数是 2.性质 4可以说是性质3 的特殊情形 . 因为 b 与 c 互质，它们的最小公倍数是b× c. 事实上，根据性质4，我们常常运用如下解题思路：要使 a被 b×c 整除，如果 b 与 c 互质，就可以分别考虑， a 被 b 整除与 a 被 c 整除 .精彩文档实用标准能被 2， 3， 4， 5， 8， 9， 11 整除的数都是有特征的，我们可以通过下面讲到的一些特征来判断许多数的整除问题 .2. 数的整除特征（ 1）能被 2 整除的数的特征：如果一个整数的个位数是偶数，那么它必能被2 整除.（ 2）能被 5 整除的数的特征：如果一个整数的

5、个位数字是0 或 5，那么它必能被5 整除 .（ 3）能被 3（或 9）整除的数的特征：如果一个整数的各位数字之和能被3（或 9）整除，那么它必能被3（或 9）整除 .（ 4）能被 4（或 25）整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被4（或 25）整除，那么它必能被4（或 25）整除 .（ 5）能被 8（或 125）整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被8（或 125）整除，那么它必能被8（或 125）整除 .（ 6）能被 11 整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被 11 整除，那么它必能被 11 整除 .是什么数字？解： 18=2×

6、 9，并且 2 与 9 互质，根据前面的性质4，可以分别考虑被2 和 9 整除 .要被 2 整除， b 只能是 0，2， 4， 6， 8.精彩文档实用标准再考虑被9 整除，四个数字的和就要被9 整除，已有7+4=11.如果 b=0 ，只有 a=7 ，此数是 7740 ；如果 b=2，只有 a=5，此数是7542；如果 b 4，只有 a 3，此数是7344 ；如果 b 6，只有 a 1，此数是7146 ；如果 b 8，只有 a 8，此数是7848.因此其中最小数是7146.根据不同的取值，分情况进行讨论，是解决整数问题常用办法，例1 就是一个典型.例 2 一本老账本上记着： 72 只桶，共 67

7、.9 元，其中处是被虫蛀掉的数字，请把这笔账补上 .解：把 67.9 写成整数679，它应被72 整除 .72 9× 8， 9 与 8 又互质 . 按照前面的性质 4，只要分别考虑679 被 8 和被 9 整除 . 从被 8 整除的特征，79 要被 8 整除，因此b 2.从 6792 能被 9 整除，按照被9 整除特征，各位数字之和+24 能被 9 整除，因此a3.这笔帐是367.92 元 .例 3 在 1，2，3，4，5，6 六个数字中选出尽可能多的不同数字组成一个数（有些数字可以重复出现），使得能被组成它的每一个数字整除，并且组成的数要尽可能小.解：如果选数字5，组成数的最后一位

8、数字就必须是5，这样就不能被偶数2，4，6 整除，也就是不能选2， 4， 6. 为了要选的不同数字尽可能多，我们只能不选5，而选其他五个数精彩文档实用标准字 1， 2，3， 4， 6.1+2+3+4+6 16，为了能整除3 和 6，所用的数字之和要能被3 整除，只能再添上一个2，16+2 18 能被 3 整除 . 为了尽可能小， 又要考虑到最后两位数能被4 整除 .组成的数是122364.例 4 四位数 7 4能被 55 整除，求出所有这样的四位数.解： 55 5×11， 5 与 11 互质，可以分别考虑被5与11整除.要被 5 整除，个位数只能是0或 5.再考虑被11 整除 .（

9、7+4） - （百位数字 +0）要能被11 整除，百位数字只能是0，所得四位数是7040.（ 7+4） - （百位数字 +5）要能被11 整除，百位数字只能是6（零能被所有不等于零的整数整除），所得四位数是7645.满足条件的四位数只有两个：7040 ，7645.例 5 一个七位数的各位数字互不相同，并且它能被11 整除，这样的数中，最大的是哪一个？，要使它被11 整除，要满足（ 9+7+5+b） - （ 8+6+a） =（ 21+b） - （ 14+a）能被 11 整除，也就是7+b-a 要能被 11 整除，但是a 与 b 只能是 0， 1， 2， 3，4 中的两个数，只有b4， a 0，满

10、足条件的最大七位数是9876504.精彩文档实用标准再介绍另一种解法.先用各位数字均不相同的最大的七位数除以11（参见下页除式）.要满足题目的条件，这个数是 9876543 减 6，或者再减去 11 的倍数中的一个数，使最后两位数字是 0，1， 2， 3， 4 中的两个数字 .43-6 37， 37-11 26， 26-11 15， 15-11 4，因此这个数是9876504.思考题：如果要求满足条件的数最小，应如何去求，是哪一个数呢？（答： 1023495）例 6 某个七位数 1993能被 2， 3，4， 5， 6， 7， 8， 9 都整除，那么它的最后三个数字组成的三位数是多少？与上例题一

11、样，有两种解法.解一：从整除特征考虑.这个七位数的最后一位数字显然是0.另外，只要再分别考虑它能被9， 8，7 整除 .1 9 9 322，要被 9 整除，十位与百位的数字和是5 或 14，要被 8 整除，最后三位组成的三位数要能被8 整除，因此只可能是下面三个数：1993500 ，1993320 ， 1993680，精彩文档实用标准其中只有199320 能被 7 整除，因此所求的三位数是320.解二：直接用除式来考虑.2 ， 3， 4， 5，6， 7， 8， 9 的最小公倍数是 2520，这个七位数要被 2520 整除 .现在用 1993000 被 2520 来除，具体的除式如下：因为 25

12、20-2200 320，所以 1993000+320=1993320 能被 2520 整除 .例 7 下面这个41 位数能被 7 整除，中间方格代表的数字是几？解：因为111111 3× 7× 11× 13× 37，所以555555 5×111111 和 999999 9× 111111都能被 7 整除 . 这样， 18 个 5 和 18 个 9 分别组成的18 位数，也都能被7 整除 .右边的三个加数中，前、后两个数都能被7 整除，那么只要中间的55 99 能被 7 整除，原数就能被7 整除 .把 55 99 拆成两个数的和：55A

13、00 B99，其中 =A+B.因为 7 丨 55300， 7 丨 399，所以 =3+36.注意，记住111111 能被 7 整除是很有用的.例 8 甲、乙两人进行下面的游戏.两人先约定一个整数N. 然后，由甲开始，轮流把0， 1， 2，3，4， 5， 6，7，8，9 十个数字之一填入下面任一个方格中每一方格只填一个数字，六个方格都填上数字（数字可重复）后，就形成一个六位数. 如果这个六位数能被N 整除，就算乙胜；如果这个六位数不能被N 整除，就算甲胜.如果 N 小于 15，当 N 取哪几个数时，乙能取胜？精彩文档实用标准解： N 取偶数，甲可以在最右边方格里填一个奇数（六位数的个位），就使六位数不能被N整除，乙不能获胜.N 5，甲可以在六位数的个位，填一个不是0 或 5 的数，甲就获胜.上面已经列出乙不能获胜的N的取值 .如果 N 1，很明显乙必获胜.如果 N 3 或 9，那么乙在填最后一个数时，总是能把六个数字之和，凑成3 的整数倍或9 的整数倍 . 因此，乙必能获胜.考虑 N 7，11，13 是本题最困难的情况. 注意到 1001 7× 11× 13，乙就有一种必胜的办法. 我们从左往右数