第六章数理统计的基本概念

1、第六章 数理统计的基本概念前面五章我们研究了概率论的基本内容，从中得知：概率论是研究随机现象统计规律性的一门数学分支。它是从一个数学模型出发(比如随机变量的分布)去研究它的性质和统计规律性；而我们下面将要研究的数理统计，也是研究大量随机现象的统计规律性，并且是应用十分广泛的一门数学分支。所不同的是数理统计是以概率论为理论基础，利用观测随机现象所得到的数据来选择、构造数学模型(即研究随机现象)。其研究方法是归纳法(部分到整体)。对研究对象的客观规律性做出种种合理性的估计、判断和预测，为决策者和决策行动提供理论依据和建议。数理统计的内容很丰富，这里我们主要介绍数理统计的基本概念，重点研究参数估计和

2、假设检验。§ 1 总体与样本、统计量一、总体与个体1、总体：试验的全部可能的观察值称为总体.2、个体：总体中的每个可能观察值称为个体3、样本：设X是具有分布函数F的随机变量,若Xi, X2, L , Xn是相互独立并具有 同一分布函数F， 则称X1, X2,L , Xn 为从分布函数F (或总体F、 或总体 X )得到的容量为n 的简单 随机样本, 简称样本. ， 它们的观察值x1, x2, L , xn称为样本值, 又称为 X 的 n 个独立的观察值.注： 若X1,X2,L ,Xn 为 F 的一个样本, 则 X1,X2,L , Xn 的联合分布函数为nF*( x1, x2, L ,

3、 xn)F(xi).i1又若 X 具有概率密度f , 则 X1, X2,L , X n 的联合概率密度为nf *( x1, x2, L , xn)f (xi ).i1例 1 设总体 X 服从参数为(0) 的指数分布 , (X1,X2,L ,Xn) 是来自总体的样本，求样本(X1, X2,L ,Xn) 的概率密度.exx0解：总体X的概率密度为f(x) ,因为X1,X2,L ,Xn相互独立，0, x 0,n且与X同分布，所以(Xi,X2,L ,Xn )的概率密度为nnxin _ i 1 fn(, X2, L , Xn)f (Xje , X 0,i 10,其他.例2设总体X服从两点分布 B(1,p

4、),其中0 p 1, (Xi,X2,L ,Xn)是来自总体的 样本，求样本(Xi,X2,L ,Xn)的分布律.解：总体 X 的分布律为 PX i pi(1 p)1 i (i 0,1),因为 X1,X2,L,Xn相互独立，且与 X有相同的分布，所以(Xi,X2,L ,Xn )的分布律为PXi X,X2 X2, L , Xn Xn PX XiPX? XL PXn %nnXin Xipi1 (1 p) i1 1其中X1, X2,L , Xn在集合0,1中取值.5、统计量：设X1,X2,L , Xn是来自总体X的一个样本，g(X1,X2,L , Xn)是X1,X2,L , Xn的函数，若g中不含未知参

5、数，则称g(X1,X2,L , Xn)是一个统计量。设Xi, X2,L , Xn是相应于样本Xi,X2,L , Xn的样本值，则称 g(X1,X2,L , %)是 g(X1,X2,L , Xn)的观察值.例3设Xi, X2, X3是来自总体N( ,2)的一个 样本，其中 为已知，2为未知，判断下列各式哪些是统计量，哪些不是？工Xi,T2 Xi X2eX3,1八，T3 -(Xi X2 X3), T4 max(X1,X2,X3),T5 Xi X2 2 ,(是)31 o o o T6 二32 X22 X32)(不是)注：常用的统计量定义设Xi,X2,L , Xn是来自总体的一个样本，Xi,X2,L

6、, Xn是这一样本的观察值.1 n1 n(1)样本平均值X - Xi;其观察值X 1 Xn i 1n i 1 c1 n c1n c c(2)样本万差 S (Xi X) Xi nX .n 1 i 1n 1 i 1其观察值S21 n / Fi1(x(3)样本标准差、s2,1nxi,n 1 i 1其观察值1 n /d (xi x).n 1 i 1样本k阶(原点)矩An1 Xik , kn i 11, 2, L ;，.一、一 1其观察值k -nXik , k1,2, L .(5)样本k阶中心矩Bk1 nk1 (Xi X)k , n i 1k 2, 3, L ;其观察值bk 1(Xik_=x) , k

7、2, 3, L_、212 2x) x nxn 1 i 1经验分布函数1.定义：设(X1,X2,Xn)是来自总体X的样本，用S(x)表示：X R,Xi,X2,L ,Xn中不大于X的随机变量的个数，定义经验分布函数为1 cFn(x)S(x) x R on设(x1,x2, ,xn)是样本的一个观察值，令这n个数值由小到大的顺序排列后* 一* 一* 一一*尸一为：x1 < x2< x3 << xn ,对 xCR由定义很容易得到经验分布函数的观察值： * 0x x1_ * . .k*Fn (x)xk x xk 1 k 1,2, , n 1n*1 x xn通常也称Fn (x)是总体

8、X的经验分布函数，在不至于混淆的情况下统一用 Fn(x) 来表示总体X的经验分布函数。显然，Fn(x)是单调非降右连续的跳跃函数(阶梯函数)，在点x xk处有问1一断，在每个间断点的跃度为一，(k=1,2,3,，n)且0 Fn(x) 1,limFn(x) =0,limFn(x)=1,它满足分布函数的三个性质，所以必是一个分布函数。 x一般地，随着n的增大，Fn(x)越来越接近X的分布函数F(x),关于这一点，格列汶科(Glivenko)在1953年给了理论上的论证，即：2 .定理l(Glivenko-Th):若总体X的分布函数为F(x),经验分布函数为Fn(x),则对 x R,有：P lim(

9、 sup |Fn(x) F(x)|) 01nxFn(x)晨 F(x)定理表明，Fn(x)以概率1 一致收敛于F(x),即：可以用Fn(x)来近似F(x),这也是利用样本来估计和判断总体的基本理论和依据。三、常见分布1、2分布：设Xi, X2, L ,Xn是来自总体 N(0, 1)的样本，则称统计量2=X2 X2 L X：服从自由度为n的 2分布，记为 2 2(n).自由度：指 2 X12 X2 L X；中右端包含独立变量的个数12 1 )n y2 e 2, y 0注：(1)2(n)分布的概率密度为f (y)2 修)0其他.(2)可加性 设12 2(n)； 2(1),并且12,2独立，则有222

10、 /、1 2(» %).(3)若 2 2(n),则 E( 2) n, D( 2) 2n(4) 分位点对于给定的正数，01,称满足条件 P 22(n)2(n)f(y)dy的点 2(n)为2(n)分布的上 分位点。对于不同的，n,可以通过查表求得上分位点的值X2、t分布：设 X N(0, 1), Y 2(n),且X, Y独立，则称随机变量tY/n服从自由度为 n的t分布，记为tt(n). t分布又称学生氏(Student)分布.注：(1) t(n)分布的概率密度函数为h(t) nn 1t2 -t分布的概率密度曲线图形是关于t 0对称的.(2)分位点：对于给定的 ，01,称满足条件Pt(n

11、) t(n)h(t)dt的点t (n)为t(n)分布的上分位点，由分布的对称性知ti (n)t (n).3、F分布：设U 2(n1), V 2(n2),且U, V独立，则称 随机变量U /n1V/n2服从自由度为(n1,1)的F分布，记为 F(n1，1).nn2n121y2注：(1) F(n1，1)分布的概率密度为(y)0,n1n2nyn20,其他.1(2)若F Fg,叫),则 FF(n2, 4)(3)分位点对于给定的1,称满足条件PFF (n1, M(m)(y)dy 的点F (n1，出)为F(n1，出)分布的上F分布的上分位点具有如下性质：F1 (n1，1) 1F (n2, n)例4、设X1

12、,K ,X4是来自正态分布总体N(0,4)的简单随机样本，已知222Xa(X1 2X2) b(3X3 4X4) :(n),求 a,b,n解：X1 2X2 : N(0,20),3X3 4X4 : N(0,100)X: n(0,1),3X3i04X4： n(0,1)所以由定义(X1j2)2 (%4汨：2比较得 a .l,b _±,n 220100三、正态总体的样本均值与样本方差的分布定理1设 Xi, X2, L , Xn是来自正态总体N( , 2)的样本，X是样本均值则有 X N( , 2/n).定理2设 Xi, X2, L , Xn是来自正态总体N( , 2)的样本，X是样本均值一 XWJZ -:N(0,1) / . n定理3设Xi, X2, L , Xn是