立几园里百花艳

1、高 考园 地立几园里百花艳2003年高考立体几何题赏析(广州市从化中学 510900 ) 杨仁宽打开2003年高考的全国、广东、新课程等卷，你会发现：今年考题的立体几何部分，材料新、情景新、题型新、设问新，使立体几何园里百花齐放、百花争艳，成为今年内高考卷中亮丽的见景线！分类赏析如下1 返璞归真，考查数学基础与机智例1 一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为(A) 3 (B)4 (C)3 (D)6这是全国(文、理科)卷、广东卷、新课程卷的一道选择题，许多同学不知所措地在草稿纸上左画右算，也没弄出个准确答案，只好“蒙”一个选择支！略解 在正方体中，不是常有这样的四面体吗

2、！此题源于课本立体几何教材P103页，有习题1：如图1，从一个正方体中，截去四个三棱锥后，得到正的三棱锥ABCD求它的体积是正方体体积的几分之几？ 图1 设正方体的棱长为1，三棱锥ABCD即为考题中的四面体，正方体的体对角线长=2R，是此四面体的外接球直径！此球的表面积是4R2=3，故应选(A)赏析 此题源于课本习题、考查基础知识，凭借数学经验与数学机智，返璞归真：通过适当联想与简单构造，将三棱锥补成正方体，既找回了考题中四面体的原始生长点，又获得了巧解，轻而易举地搞定了选择支！再看下列例2 棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为(A)a3 (C)a3 (B)a3

3、 (D)a3这是新课卷的理科第(6)题，不少同学因不知此八面体是个啥样子而束手无策！略解 如图2，依题意可知，此八面体是两个共底面的正四棱锥：底面正方形的对角线长为a，高为a，至此，可口算出正确答案(C)! 图2赏析 此题以正方体为载体，情景十分熟悉、考查基础知识，但题型很新颖、有创意！只有当你返璞归真：找回了此八面体的原始生长点后，才能使作答易如反掌！一个小小的选择题，充分体现出了知识的发生与发展、问题的思考与解决的全过程2 体现课改，研究性学习进入考场例3 在平面几何里，有勾股定理：“设ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥

4、的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥ABCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则”这是几种试卷中为数不多的共用题此题也源于课本，在立几教材P103页，有练习题1：如图3，将长方体沿相邻面的三条对角线截下一个三棱锥 图3此三棱锥的体积是长方体体积的几分之几？ 略解 凭数学直觉和“类比”联想，易猜想结论：“+=”既可特例验证：取AB=AC=AD=2，则三个侧面面积的平方和为48，底面三角形面积是4，其平方也为48也可一性般探求：思路1 如图3，设AB=b、AC=c、AD=d，由勾股定理易求BCD的边长，用余弦定理和SBCD=BC×BDsinB可得思路

5、2 如上得到BCD的三边之长后，用海伦公式求其面积思路3 利用多边形的面积射影公式：，得到简证：如图4，设ABC、ACD、ABD及BCD的面积为S1、S2、S3、S，侧面与底面所成角是、，设点A在底面上的射影是O，过O作OEBC于E，则AEO=，OE=AEcos，SBOC= S1×cos，再结合S1= S×cos，得 SBOC= ，同理SDOC=， SBOD=， 相加即得 图4赏析 由上可见，此题思路宽、途径多，选择性大、研究性浓，较好地支持了新课程改革，体现了新课程理念，既保持了2002年 “让研究性学习走进高考” 的创新作法，又较好地考查了数学直觉、探究能力、创新精神等

6、，具有良好的导向作用，是“在知识网络交汇点处命题”的一个范例！3 有机相融，实现新旧教材的和谐统一与平稳过渡例4 在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是等腰Rt，已知ACB=900,侧棱A1A=2，D、E分别是C1C与A1B的中点，点E在平面 ABD上的射影是三角形ABD的重心G 图5()求A1B与平面ABD所成角的大小(结果用反三角函数表示)；()求点A1到平面AED的距离这是全国理科、新课程卷的立体几何大题，并置于第2个解答题略解 解法1(旧教材方法)，见“标准答案”，此处略解法2(新课程方法)：()连BG，则BG是BE在面ABD上的射影，A1BG=是所求直线与平面成的角以C为原点，以CA

7、、CB、CC1所在直线为x、y、z轴建立坐标系，设CA=2a，则A(2a，0，0)，B(0，2a，0)，D(0，0，1)，A1(2a，0，2)，B(a，a，1)，G，=，= (0，2a ，1)，由·=a2+=0得a=1从而=(2，2，2)，=由·=|BA1|BD|cos，得cos= =arccos为所求；() 由()知，A(2，0，0)，A1(2，0，2)，E(1，1，1)，D(0，0，1)，·=(1，1，1)·(1，1，0)=0，同理·=0， ED面AA1E， 由ED面AED，得面AED面AA1E，又面AED面AA1E=AE， 点A1在面ADE的射影K在AE上，设，则由=+=(，2)和·=0，得+2=0，即=2÷