大物(2)期末复习.

1、练习一静电场中的导体三、计算题1. 已知某静电场在xy 平面内的电势函数为U =Cx/(x2+y2)3/2 ,其中 C为常数 . 求 (1)x轴上任意一点 ,(2) y 轴上任意一点电场强度的大小和方Q向 .解： .x 轴上点 (y=0)y 轴上点 (x=0)Ex=U/ x= C1/( x2+y2)3/2 +x(3/2)2x/(x2 +y2)5/2222 25/2图 5.6= (2xy )C /(x +y )Ey=U/ y= Cx( 3/2)2y/(x2+y2)5/2 =3Cxy/(x2+y2)5/2Ex= 2Cx2/x5= 2C/x3Ey= 0E = 2Ci/x3Ex= Cy2/y5= C/

2、y3Ey= 0E = Ci/y32如图 5.6, 一导体球壳A(内外半径分别为R2,R3),同心地罩在一接地导体球B(半径为 R1)上 ,今给 A 球带负电Q, 求 B 球所带电荷 QB 及的 A 球的电势 UA. 静电场中的导体答案解：2. B 球接地 ,有 U B=U= 0, UA=U BAUA= ( Q+Q B)/(40R3)U BA= QB/(40)(1/ R21/R1)得QB=QR 1R2/( R1R2+ R2R3R1R3)UA= Q/(40R3)1+R1R2/(R1R2+R2R3 R1R3)= Q(R2R1)/40(R1R2+R2R3R1R3)练习二静电场中的电介质三、计算题1.

3、如图 6.6 所示 ,面积均为 S=0.1m 2 的两金属平板A,B 平行对称放置 ,间距为 d=1mm, 今给 A, B 两板分别带电Q1=3.54 × 109C, Q2=1.77× 10 9C.忽略边缘效应 ,求： (1) 两板共四个表面的面电荷密度1,2,3,4;(2) 两板间的电势差 V=UA U B.解： 1. 在 A 板体内取一点 A, B 板体内取一点 B,它们的电场强度是四个表面的电荷产生的 ,应为零 ,有ABQ1Q2图 6.6EA=1/(20)2/(20)3/(20 )4/(20)=0EA=1/(20)+ 2/(20)+3/(20)4/(20)=0而S(1

4、+ 2)= Q1S( 3+4)=Q2有1234=01+2+ 34=01+ 2=Q1 /S3+ 4=Q2 /S解得1= 4=(Q1+Q2)/(2 S)=2.66108C/m22=3=(Q1Q2)/(2 S)=0.89108C/m2两板间的场强E=2/0= (Q1Q2)/(20S)V=U AUBBdlEA=Ed= (Q1Q2)d/(20S)=1000V四、证明题1. 如图 6.7 所示，置于静电场中的一个导体，在静电平衡后，导体表面出现正、负感应电荷 .试用静电场的环路定理证明，图中从导体上的正感应电荷出发，终止于同一导体上的负感应电荷的电场线不能存在.解： 1.设在同一导体上有从正感应电荷出发，

5、终止于负感应电荷的电场线 .沿电场线 ACB 作环路 ACBA ,导体内直线 BA的场强为零 ,ACB 的电场与环路同向于是有E dlE dlAdl = E dl 0E 2lACBBACB与静电场的环路定理E dl0 相违背 ,故在l同一导体上不存在从正感应电荷出发，终止于负感应电荷的电场线 .导体图 6.7B CA练习三电容 静电场的能量三、计算题1. 半径为 R1 的导体球带电 Q ,球外一层半径为 R2 相对电容率为 r 的同心均匀介质球壳 ,其余全部空间为空气 . 如图 7.1 所示 .求 : (1) 离球心距离为 r 1(r 1<R1), r 2 (R1<r1<R2

6、), r 3(r 1>R2)处的 D 和 E；(2)离球心 r1, r 2, r 3,处的 U； (3) 介质球壳内外表面的极化电荷 .R2解：1. (1)因此电荷与介质均为球对称,电场也球对称 ,过场点作与金属球同心的球形高斯面 ,有图 7.1D dSS24 r D=当 r= 5cm<R 1,q0i=0 得D 1=0,E1= 0当 r= 15cm( R1<r<R1+d)q0i=Q= 1.0 ×10 8C得D2=Q/(4282r )=3.54 × 10 C/mE2=Q /(40 r r2)=7.99 10×3N/C当 r= 25cm( r

7、>R1+d )q0i=Q= 1.0 ×10 8C得D3=Q/(4r 2)=1.27 × 10 8C/m2E3=Q /(40r2)=1.44 10×4N/Cq0iq0iD 和 E 的方向沿径向 .(2) 当 r= 5cm<R 1 时U1=EdlrRR dE3drE1drRE2 drrR d=Q/ (40rR)Q/ 40r (R+d )+ Q/40(R+d )当 r= 15cm<R 1 时=540VE dlR dE3 drU2=E2 drrrR d=Q/ (40rr)Q/40r (R+d )+ Q/ 40(R+d )当 r= 25cm<R 1

8、时=480VU 3=EdlrE3 dr =Q/ (40r)=360Vr(3)在介质的内外表面存在极化电荷,Pe= 0 E= 0( r 1)E= Pe·nr=R 处 , 介质表面法线指向球心=Pe·n =Pecos =0( r 1)Eq =S=0 ( r1) Q/(40rR2)4R2= (r 1)Q/ r=0.8 ×108Cr=R+d 处 , 介质表面法线向外=Pe·n =Pecos0=0( r 1)Eq =S=0( r1) Q/(40 r (R+d )24(R+d)2=( r 1)Q/ r=0.8 ×108C2.两个相距很远可看作孤立的导体球，

9、半径均为10cm，分别充电至 200V 和 400V ，然后用一根细导线连接两球，使之达到等电势.计算变为等势体的过程中，静电力所作的功.解 ;2. 球形电容器C=40RQ1=C1V1= 40 RV1Q2=C2V2= 40RV2W0 =C1V12 /2+C2V22/2=20R (V12+V22)两导体相连后C=C1+C2=80RQ=Q 1+Q 2= C1V1+C2V2=40R(V1 +V2)201220R)=0R(V1+V2)2W=Q /(2C)= 4R(V+ V) /(16静电力作功 A=W 0W= 222220R (V1 +V2 )0R(V1+V2) =0R(V1 V2)=1.11 

10、15;10 7J练习六磁感应强度毕奥萨伐尔定律三、计算题1. 如图 10.7 所示 , 一宽为 2a 的无限长导体薄片 , 沿长度方向的电流 I在导体薄片上均匀分布 .求中心轴y线 OO上方距导体薄片为a 的磁感强度 .PO解： 1.取宽为 dx 的无限长电流元r2adI=I dx/(2a)zdB=0dI/ (2r)图 10.7=0Idx/(4ar)dBx= dBcos=0Idx/(4ar)( a/r)y dB=0Idx/(420Idx/422r )=(x +a )Px xdBy= dBsin=0Ixdx/4a(x2+a2)0 I dxxBxdBxaxa 4x2a 2Ixxaa =0I/(4)

11、(1/ a)arctan(x/a)dIx0I/ (8a)a0 IxdxBydByxa 4 a x 2a2=0I/(8a= 0a)ln( x2+a2) a2. 如图 10.8 所示，半径为 R 的木球上绕有密集的细导线，线圈平面彼此平行，且以单层线圈覆盖住半个球面. 设线圈的总匝数为 N，通过线圈的电流为I . 求球心 O 的磁感强度 .解： 2. 取宽为 dL 细圆环电流 , dI=I dN=I N/(R/2)Rd=(2IN/)dOIxROdB=0 dIr 2/2( r 2+x2)3/2图 10.8r=R sinx=R cosdIdB=0NI sin2d /( R)BdB0 NI sin 2

12、dx2Rd= 0NI/ (4R)练习七毕奥萨伐尔定律 (续) 磁场的高斯定理三、计算题1.在无限长直载流导线的右侧有面积为S1 和 S2 的两个矩形回路 ,S1S2 b回路旋转方向如图 11.6 所示 , 两个回路与长直载流导线在同一平面内,且矩形回路的一边与长直载流导线平行. 求通过两矩形回路的磁通量aa2a及通过 S1 回路的磁通量与通过 S2 回路的磁通量之比 .图 11.6解：1.取窄条面元 dS=bdr,面元上磁场的大小为B=0I/(2r ), 面元法线与磁场方向相反.有2a0bI ln 21=0 I bdr cosa 2 r24a0 bI ln 22=0 I bdr cos2a 2

13、 r21/2=12. 半径为 R 的薄圆盘均匀带电，总电量为Q . 令此盘绕通过盘心且垂直盘面的轴线作匀速转动，角速度为，求轴线上距盘心x 处的磁感强度的大小和旋转圆盘的磁矩.解 ;2. 在圆盘上取细圆环电荷元 dQ=2r dr ,=Q /(R2) , 等效电流元为dI=dQ/T=2r dr/(2/)=r dr(1)求磁场 , 电流元在中心轴线上激发磁场的方向沿轴线,且与同向 ,大小为dB= 0 dIr 2/2( x2+r2)3/2=0r3 dr /2(x2+r2)3/2BR0r 3 dr0R r 2 d r 2x 20R r 2x 2 d r 2x202 r 2x2 3 / 240r 2x

14、2 3 2 =40r 2x 2 3 20Rx2 d r 2x240r 2x 23 2Rx2R0r 2x 2=20r2x20=0QR22x22x2 R2R2x2(2)求磁距 . 电流元的磁矩dPm= dIS=r drr 2=r2drPmRr 3 dr =R4/4=QR2/40练习八安培环路定律三、计算题1. 如图 12.5 所示，一根半径为 R 的无限长载流直导体，其中电流I 沿轴向流过， 并均匀分布在横截面上 . 现在导体上有一半径为 R 的圆柱形空腔，其轴与直导体的轴平行，两轴相距为 d . 试求空腔中任意一点的磁感强度 .解：1. 此电流可认为是由半径为R 的无限长圆柱电流 I1 和一个同

15、电流密度的反方向的半径为R 的无限长圆柱电流I2 组成 .R2RO Od图 12.5I1=J R2I2=JR2J=I/ (R2 R2)B y它们在空腔内产生的磁感强度分别为IBB1= 0r1J/2B2=0r2 J/2rrxOO方向如图 .有dRBx=B2sin 2B1sin1=( 0J/2)(r 2sin2r1sin 1)=0RBy =B2cos 2 B1cos 1=( 0J/2)(r 2cos 2 r1cos1)=( 0J/2)d所以B = By=0 dI/2(R2R2)方向沿 y 轴正向2. 设有两无限大平行载流平面 ,它们的电流密度均为 j ,电流流向相反 . 求：(1) 载流平面之间的

16、磁感强度；(2) 两面之外空间的磁感强度 .解 ;2. 两无限I1大平行载流平面的截面如图.平面电流在空间产生的磁场为B1= 0J/2I2;在平面的上方向右 , 在平面的下方向左电流在空间产生的磁场为B2= 0J/2在平面的上方向左 , 在平面的下方向右 .(1)两无限大电流流在平面之间产生的磁感强度方向都向左,故有B=B 1+B2=0J(2)两无限大电流流在平面之外产生的磁感强度方向相反,故有B=B 1B2=0练习九安培力三、计算题1. 一边长 a =10cm 的正方形铜导线线圈(铜导线横截面积S=2.00mm 2, 铜的密度=8.90g/cm 3 ), 放在均匀外磁场中 . B 竖直向上

17、, 且 B = 9.40 10 3T, 线圈中电流为 I =10A . 线圈在重力场中 求 :(1) 今使线圈平面保持竖直 , 则线圈所受的磁力矩为多少 .(2) 假若线圈能以某一条水平边为轴自由摆动,当线圈平衡时 ,线圈平面与竖直面夹角为多少 .解： 1. (1) Pm=IS=Ia 2方向垂直线圈平面.线圈平面保持竖直 ,即 Pm 与 B 垂直 .有 M m=P m×BMm=P mBsin(/2)=Ia 2B 4= 9.4× 10 m NBnmgmg(2)平衡即磁力矩与重力矩等值反向mg/2mm2M =P Bsin(/2 )=Ia BcosMG=MG1+M G2+MG3=

18、 mg(a/2)sin+ mgasin + mg(a/2)sin= 2(Sa)gasin= 2 Sa2gsinIa2Bcos = 2 Sa2gsintan=IB/ (2 Sg)= 0.2694= 152. 如图 13.5 所示，半径为 R 的半圆线圈 ACD 通有电流 I2, 置于电流为 I 1 的无限长直线电流的磁场中 , 直线电流 I1 恰过半圆的直径 , 两导线相互绝缘 . 求半圆线圈受到长直线电流 I 1 的磁力 .解： 2.在圆环上取微元ydFRI2dl= I 2Rdx该处磁场为I 1I2B=0I 1/(2Rcos)I2dl 与 B 垂直 ,有 dF= I 2dlBsin(/2)dF

19、=0I1I 2d/(2cos)dF x= dFcos=0I1 I2d/(2)dF y= dFsin=0I 1I2sin d/(2cos )20 I 1 I 2dFx0I 1I 2/22=2因对称 F y=0 . 故F=0I 1I 2/2方向向右 .I1I2图 13.5练习十洛仑兹力三、计算题1. 如图 14.6 所示，有一无限大平面导体薄板， 自下而上均匀通有电流，已知其面电流密度为 i(即单位宽度上通有的电流强度 )(1)试求板外空间任一点磁感强度的大小和方向.iv(2) 有一质量为 m，带正电量为 q 的粒子，以速度 v 沿平板法线方向向外运动 . 若不计粒子重力 .求：(A)带电粒子最初

20、至少在距板什么位置处才不与大平板碰撞.图 14.6(B)需经多长时间，才能回到初始位置.解： 1. (1) 求磁场 .用安培环路定律得B= 0i/2在面电流右边 B 的方向指向纸面向里,在面电流左边B 的方向沿纸面向外 .(2)F =qv×B=ma2qvB=ma n=mv /R带电粒子不与平板相撞的条件是粒子运行的圆形轨迹不与平板相交,即带电粒子最初位置与平板的距离应大于轨道半径 .R=mv/qB= 2mv/( 0iq)(3) 经一个周期时间，粒子回到初始位置.即t=T= 2 R/v= 4 m/(0iq)2.一带电为 Q 质量为 m 的粒子在均匀磁场中由静止开始下落,磁场的方向 (z

21、 轴方向 ) 与重力方向 (y 轴方向 )垂直 ,求粒子下落距离为y 时的速率 .并讲清求解方法的理论依据 .解： 2.洛伦兹力 Qv×B 垂直于 v,不作功 ,不改变 v 的大小；重力作功.依能量守恒有mv2/2=mgy，v=(2gy)1/2 .得练习十一磁场中的介质三、计算题1.一厚度为 b的无限大平板中通有一个方向的电流,平板内各点的电导率为,电场强度为 E,方向如图 15.6 所示 ,平板的相对磁导率为r 1,平板两侧充满相对磁导率为r 2 的各向同性的均匀磁介质 ,试求板内外任意点的磁感应强度.解： 1.设场点距中心面为x,因磁场面对称以中心面为对称面过场点取矩形安培环路，

22、有Hdl =I02LH= I0l(1)介质内 ,0<x<b/2.I0=2xlJ=2 xlE,有lH=xEB=r1H=r1xE00H×H(2)介质外 ,x >b/2.I0=blJ =blE,有EH=bE/2B=0r2H=0r2bE/22. 一根同轴电缆线由半径为R1 的长导线和套在它外面的半径为R2的同轴薄导体圆筒组成，中bO R1ER2间充满磁化率为m 的各向同性均匀非铁磁绝缘r 2r2m介质，如图15.7所示. 传导电流沿导线向上流去 ,r1II由圆筒向下流回，电流在截面上均匀分布. 求介质图 15.6图 15.7内外表面的磁化电流的大小及方向.解： 2. 因磁场

23、柱对称取同轴的圆形安培环路，有H dl =I0l在介质中 (R1r R2)，I0=I ，有2rH = IH = I/(2 r )介质内的磁化强度M=mH =m I/(2 r)介质内表面的磁化电流JSR1= M R1×nR1 = MR1 =mI/(2 R1)ISR1=JSR1 2R1=mI(与 I 同向)介质外表面的磁化电流JSR2= M R2×nR2 = MR2 =mI/(2 R2)ISR2=JSR2 2R2=mI(与 I反向)练习十二电磁感应定律动生电动势三、计算题1. 如图 17.8 所示， 长直导线 AC 中的电流I 沿导线向上， 并以 dI /dt = 2 A/s

24、的变化率均匀增长 . 导线附近放一个与之同面的直角三角形线框，其一边与导线平行，位置及线框尺寸如图所示 . 求此线框中产生的感应电动势的大小和方向 .aBl20cmbd5cm 10cmc图 17.8图 17.9解： 1. 取顺时针为三角形回路电动势正向 ,得三角形面法线垂直纸面向里 .取窄条面积微元 dS=ydx=( a+b x)l/b dxm=B dSSaba bx ldx=0 I2 xba=0 Ilabab lnb2 bai=m0 la bdId /dt=b ab lndt2ba= 85.18× 10V负号表示逆时针2. 一很长的长方形的U形导轨，与水平面成角，裸导线可在导轨上无

25、摩擦地下滑，导轨位于磁感强度 B 垂直向上的均匀磁场中，如图17.9 所示 . 设导线 ab 的质量为 m，电阻为R，长度为 l ，导轨的电阻略去不计 , abcd 形成电路 . t= 0时， v= 0. 求： (1) 导线 ab 下滑的速度v 与时间 t 的函数关系 ; (2)导线 ab 的最大速度 vm .解： 2. (1) 导线 ab 的动生电动势为 i =l v×B·dl= vBlsin(/2+)=vBlcosi i/R= vBlcos /RI =方向由 b 到 a. 受安培力方向向右 ,大小为F=l(I idl ×B) = vB2l2cos/RF 在导轨

26、上投影沿导轨向上,大小为F= Fcos=vB 2l 2cos2 /R重力在导轨上投影沿导轨向下,大小为 mgsinmgsinvB2l 2cos2 /R=ma=m dv/dtdt= dv/ gsinvB2l2 cos2 /(mR)tvg sinvB2 l2 cos2mRdv0vmgR sin1 eB 2l 2 cos2 tmRB 2l 2 cos2mgR sin.(2) 导线 ab 的最大速度 vm=2l 2 cos2B练习十三感生电动势自感三、计算题1. 在半径为 R 的圆柱形空间中存在着均匀磁场B,B 的方向与柱的轴线平行.有一长为 2R的金属棒 MN 放在磁场外且与圆柱形均匀磁场相切,Ra

27、切点为金属棒的中点 ,金属××2aOz棒与磁场 B 的轴线垂直 .如图 18.6 所示 .设 B 随时间的B ××变化率 dB/dt 为大于零的常量 .求 :棒上感应电动势的大2RL图 18.6图 18.7小 , 并指出哪一个端点的电势高 .(分别用对感生电场的积分 i=lEi·dl 和法拉第电磁感应定律 i =d/dt 两种方法解 ).解： (1) 用对感生电场的积分 i=lEi·dl 解 :在棒 MN 上取微元 dx(R<x<R ),该处感生电场大小为i2××E = R /(2r)(d B/dt)与

28、棒夹角满足 tan=x/RBONN××i =E idl =Ei dx cosMMRR2 dddRR3dRd=BtxBx=d22R2rr2RxRt= R3(dB/dt)/2(1/ R)arctan(x/R)RR= R2(dB/dt)/4因 i=>0, 故 N 点的电势高 .(2) 用法拉第电磁感应定×B ×律 i = d/dt 解 :O沿半径作辅助线OM,ON 组××成三角形回路MONMNdl =Mdli=E iE iMNMdl +ONE i dl=E iE idl +NMO= ( dmMONM /dt) =dmMONM /dt而mMONM =B dS = R2B/4S故i=R2 (dB/dt)/4N 点的电势高 .2. 电量 Q 均匀分布在半径为a,长为 L(L>>a)的绝缘薄壁长圆筒表面上,圆筒以角速度绕中心轴旋转 .一半径为 2a,电阻为 R 总匝数为 N 的圆线圈套在圆筒上,如图 18.7 所示 .若圆筒转速按 =0 (1t/t0) 的规律 (