一类有限时间稳定的输出反馈预测控制算法

1、Hans汉斯Dynamical Systems and Control 动力系统与控制,2017, 6(2|, 43-53Published Online April 2017 in Hans, /joumal/dsc http5：doiorfi/H)J2677/d5C201762006A Class of Algorithms of Output Feedback Predictive Control of Finite-Time StabilityXiulan Liang, Xiaohua LiuSchool of Mathematics and

2、Statistics Science, Ludong University, Yantai ShandongEmail: 1517768434Received: Apr. 4th, 2017; accepted: Apr. 26： 2017; published: Apr. 30： 2017AbstractThis paper researches the finite-time stable predictive control problem for a class of discrete-time linear time invariant system Firstly, the def

3、inition of finite-time stable predictive control is given. Then by constructing Lyapunov function, minimizationoptimization problems of finite-time do main are converted into positive semi-definite programming problems with linear matrix inequality constraints. Using linear matrix inequality approac

4、h, a sufficient condition for the existence of output feedback control law is presented. It is proved that the optimization problems is finite-time stable when the feasible condition of closed-loop systems is guaranteed. Finally, a simulation example demonstrates the effectiveness of the proposed me

5、thod.KeywordsModel Predictive Control, Finite-Time Stability, Dynamic Output Feedback, Linear Matrix Inequality一类有限时间稳定的输出反馈预测控制算法梁秀兰，刘晓华鲁东大学数学与统计科学学院，山东烟台Email: 1517768434收稿日期:2017年4月4日:录用日期:2017年4月26:发布日期:2017年4月30口摘要本文针对一类离散时间线性时不变系统，研完其有限时间稳定预测控制问题。首先给出了有限时间稳定 预测控制的定义，然后，通过构造Lyapunov函数，将有限时域的最小化

6、优化问题转化为具有线性矩阵不 等式约束的半正定规划问题.并采用线性矩阵不等式的方法，给出了输出反馈控制律存在的充分条件。证文章引用：梁秀兰，刘晓华.一类冇限时间稳定的输出反馈预测控制算法J.动力系统与控制,2017, 6(2)： 43-53. /10.12677/dsc.2017.62006梁秀兰.刘晓华明了优化问题在满足可行性条件下闭环系统是有限时间稳定的。最后仿真算例验证了所提方法的有效性关键词模型预测控制"有限时间稳定.动态输出反馈，线性矩阵不等式Copyright © 2017 by authors and Hans Publishers

7、 Inc.This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).http:/crQativecommons.Org/licenses/bY/4.0/Open Acceu1.引盲系统稳定性是控制理论研究中最基本和最重要的问题。传统的稳定性，如Lyapun。v稳定、BIBO稳 定和实用稳泄性等稳定性概念，关注的是无限长时间区间的系统行为1。然而，在很多实际应用中，人 们关注的是某一有限时间区间内的系统行为(如工作时间有限的导弹和卫星系统控制2、飞行控制3等丿 或需要维持系

8、统状态不超出给定的界(如系统存在饱和现象4、超调过大5等).在这些应用中，有限时 间稳定性概念比上述传统的稳定性概念更能满足实际需要，因此也更有实际意义。由此提出了系统有限 时间稳定的问题。关于有呎时间控制问题的研处垠早始于20世纪60年代，Weiss和Infoate在文献6中忡次提出有限 时间稳定的概念。文献7总结了有限时间稳定控制的发展历程，提出了线性、非线性以及随机系统有限 时间控制问题的分析设计方法。文献8针对线性系统有限时间稳定鲁棒控制设计问题，引入线性矩阵不 等式技术，提出了状态反馈有限时间镇定控制算法。然而，实际系统中的状态往往不易直接测戢或者测 戢代价很高。文献9提岀了使闭环系

9、统有限时间有界的动态输出反馈控制器设计方法。对于线性时变系 统输出反馈有限时间控制问题,文献10给出了系统有限时间稳定的充要条件。由于文献7 8 9 10 设讣的控制器只能保证系统有限时间镇宦，而没有考虑系统的伺服性能，文献11定义了有限时间稳立最 优反馈拧制.提出了可使系统部分状态有限时间稳定的最优反馈控制器设计方法。文献12则针对网络系 统，计计了系统有限时间鲁棒稳定控制器。文献13提出了线性随机系统有限时间控制问题，给出了随机 系统有限时间氏控制器有解的充分条件。预测控制是一类应用广泛的先进控制算法，其稳定性一直是学术界关注的热点14,但是，对于有限 时间稳定的预测控制研究成果还不多见。

10、本文研尢一类离散时间线性时不变系统的冇限时间稳定预测控制问题，给出系统有限时间稳定预测 控制的概念，考虑系统状态不可测的借况，给出输出反馈预测控制器设计方案。并基于线性矩阵不等式 方法，研究优化问题可行解存在的条件。证明优化问题在给定的初始条件下闭环系统是有限时间稳定的。 通过仿貞实验验证所提方法的有效性。2 问题描述考电如下离散时间线性时不变系统：x(* + l)= A 心)+ B“(R),x(O)»o小" ,1-1)y(k)=Cx(k)其中x(k)eRn是系统状态，x(0)=.q是系统初始状态，“e/T是系统控制输入，是系统输出，A、和C是相应维数的常数矩阵对于系统(U

11、,选择有限时域优化性能指标为：N7其中a>o,>o是给泄的加权矩阵，“(&+半)是&时刻基于模型的&+,时刻的状态预测值， u(kik)是k时刻使性能指标最小的控制信巧在斤+ ,时刻的值，N为控制时域。当系统的状态变最不完全可观测时，考虑如下结构的动态输出反馈预测控制器：斗a+1)=人兀a)+以 >，(灯u(k)=Ckxc(k)其中：兀(灯是控制器状态，人,Bk,q是待定的控制器系数矩阵. 将式代入(1)式中，得到闭环系统x(k+t) = Ax(k)心)xc(k)A BC"C Ak ； 假设系统状态的系数矩阵和控制器状态的系数矩阵不包含交叉耦

12、合项。 对于闭环系统(4),相应的滚动优化性能指标为AT-1眯厶(灯二常若产仏+半)JV-1其中.Ae Rlfl o0 0-0 C；Q2Ck_梁秀兰.刘晓华=mLn JtT (R +半)”£>£(& + 半)其中.x(k+ik) = 1 Cf 0xc(k + ik)1 。.0 Qg.l6丿定义1： 15考老如下离散时间线性时不变系统x(k + l) = Ax(k), R el,N x(0)=勺其中AeIR*n是常数矩阵，x(k)eRn是系统状态，j(0)=是系统初始状态。当xt(0)Ry(0)<J;时，如 果有xr(k)Rx(k)<e2J&

13、立，则称系统(6)关于(6,£,/?”)是有限时间稳定的。其中,氏,£为给定常数 (0<氏<£), R为给定正定矩阵，N为给定的正整数。H-： 1：有限时间稳宦9渐近稳定的上婆区别一是有限时间稳定关注的是系统在特宦时间内的暂态性 能，而渐近稳定则是考察系统在无穷时间区间内的稳态性能：二是有限时间稳定针对在给定界内的初始 条件，渐近稳定则是针对在吸引域下的初始条件：三足有限时间稳定耍求系统状态轨迹在预先设定的界 内，渐近稳定要求系统状态渐近收敛。定义2：对于受控系统(1)以及相应的闭环系统(4丿，给定正常数cp c2(0<c,<c2)和正定矩

14、阵斤，如 果肖产(0)居(0)Sq时,都有")居弘成立,则称闭环系统(4)关于(cg,R,N)是有限时间稳定 的，也即受控系统(1)是有限时间稳定的。本文解决的主要问题是：在每一采样时刻斤，求解闭环系统优化问题(5丿得到动态输出反馈预测控制 器(3),使得闭环系统(4)在满足可行性条件下是有限时间稳定的。引理115：系统(6)有限时间稳定等价条件：0系统(6丿关于(gR,N),是有限时间稳定的：11)(”)加 <訐,血1,".:id)对于辰1,N,若有«(灯",人二人冷(力+ 1)人处0,1, 1 则A(o)<#R成立。IV)对于辰1,N,存

15、在对称矩阵函数人()力0丄,R-斤e/T”满足:(/ + !) A Pk (/) <0,/i e O,!,A: -1 : P# (k) n R ：(0)<-rR 引理2： (Schur补丿16对给定的对称矩阵,其中几是 u 维的.以下三个条件等价3 22(0 5 <0 :(ii) Sn < 0, S22 - S'S；：S门 < 0 :(ill) S22 < 0. Sn - SSjJS： < 0 o引理3： 1刀给定对称矩阵F e严和G e旷"以下两个条件是等价的：存在对称矩阵T E R" Z E盯和矩阵M E Rf , N

16、E Ri,使得G N，Nt ZF /(U)> 0'丿G3基于有限时间稳定输出反馈预测控制3.1.优化问题分析求解系统输出反馈预测控制器的关键是：在每一采样时刻，求解优化问题(5)得到输出反惯控制律 人“占,。为此，采用文献18的方法，利用假定的不等式条件，先求得JN(k)的一个上确界，然后 将最小化性能指标JN (灯转化为对上确界的垠小化。在控制区间0,N内选择如下多Lyapunov函数Vx(kk)= xJ (kk)P(k)x(kk)其中，P(R)是对称正定加权矩阵。为了导出性能指标(5丿的上确界，在每个采样时刻R和ino,实施以下稳定性约束：V(i(+< + l|jl)-

17、V(x(jt+/|jl)-(iT(jl+i|jl)DTDi(jl + j|jt)(8)加入终端等式约束.v(A- + Af|A-)=O，则冇V(x(k + Nk)=Q.将不等式(8丿从2 0叠加到i=N-l从而 得到：厶"何从)(9丿显然，V(i()为性能指标JN(k)的上确界，由此将对性能指标最小化问题转化为对上确界珂上（屮）的最小化问题。如果存在非负变量7（灯满足V（i（A|it）/（；:）,则优化问题可进一步转化 为半正定规划问题。32优化问题求解定理1：考虑系统（1八采用输出反馈控制（3）,假设在每一采样时刻存在对称正定矩阵值函数 0（.）,S（J,可逆矩阵（.），矩阵值函数

18、人（）,&（）,/（）以及待定变戢X約，若不等式约束（8）成立， 则优化问题（5丿可转化为以下优化问题即min . y(k)>0(10)0(灯/Q(k)x(kk)Sl * S(R)丘仲)* /-Q(k)-/*-S 伙)* *2(Jt)AT+Cf (A:)Btat5+1)ArS(k + l)+CrB(k)_/-S(R+1)<00仏)l-Q(k)R 0(灯庐 U(k)R* S(R)斤00* */0>0(12)0(0)/ <殳p2(0)屜(0) + /(0)几/(0) 0(0)/?* s(o)m*斤证明：最小化“G（屮）二产（來）p（灯列*）等价于踽7$/*（屮）尸（

19、灯丘（屮）"（R）（(14丿令申）*p"/）则（14）等价于护（屮）沪（灯壬（屮）vl则根据引理2（式等价于将矩阵P（k）R沪（灯作如下分解s伙）MgP(k)列屮)* 1M)#心）(16丿(17®#部分与证明无关.定义矩阵：由上述定义知:nn =s(R)MT (灯丿n.oS(k)Q(k)M(k)Ux(k) = lQ(k)S(k) + U(k)MT(k)=lm=n2将（16丿式左乘口：右乘口门得心）1* S0）* *Q(k)x(kk)列即)（灯5（邯）00即式（10）成立。由引理1UV丿知，如果存在对称矩阵P（R）和矩阵人,玄，d，使得5)<0-F(k + 1

20、)P(k)> blockdiag(斤浪人)，k G 1,2, N,P(0) <-=- blockdiag()q>0(17b)(18a 丿(18b)(18c 丿(19丿(20)(21)(22丿成立，则系统是有限时间稳定的。将式（20）左乘块矩阵（口：（灯,口：/+1）、右乘块矩阵（口心）,口（+1）,得:心(Z1) + CT册 <()-/仏)-/ Qtk)+Ck)BT* _s (灯at* *一 0(k+l)-S(R+1)其中：(23a)(23b 丿(23c)入(R) = Ma+l)A(/(R) + S(R+l)3CeT(A) + M(R+l)$C0(R) + S(R+1)

21、A0(約必(R) = M(R+1)$Ck(k)=CkUT(k)即式（11丿成立。将（21丿式左乘块矩阵口：（灯、右乘块矩阵口（約，可得：Q（k）-Q（k）RQ（k）-U（k）RKUT（k） l-Q（k）R*s（«）-R由引理2,iiQ（k） fQ（k）R Q（k）R U（k）Ri>0* s （灯-Ro o* * / 0即式（成立。将（22丿式左乘块矩阵口：（灯、右乘块矩阵口灯，得到:0（°）s（o）C0（O）斤 0（0） + /（0）总"（0） 0（0） A< G*R即式（13丿成立。定理证毕。 注：由（10）式知，在每一采样时刻有。伙）；>0,

22、根据引理3,可以由S（k）yQ（k）yU（k）构IS （A ）建出P 进而出（23）式中的A （灯，&，4（灯确定矩阵和q 由此得到控制器（3丿的系数矩阵 OO为Ak =仏+1）入（灯一 （k+l）S（k+l）BCk 一 BkCQ（k）U （灯（24a） -Ml （知 1）S（R +1） A0（町（灯Bk =Ml（k+l）Bk（k）（24b）Ck=Ck（k）U-T（k）（24c丿根据定理1，输出反馈预测控制算法如下：Stepl：选择时刻&和控制时域N,给定常数勺,$以及矩阵R °Step2：在R,N时间内求解优化问题（10小13儿得出变星0（R）,S（灯山,入（灯,必

23、（灯乙（R）,并 111 M（k） = （/-S（k）Q（k）UT （k）得到矩阵M（約，使有限时域优化性能指标在线最小化。Step3：将矩阵0（R）,S（R）0（R）,Ma），A（R）,&a）C（R）。代入式（24丿，确定出控制器（3丿的系数 矩阵 .Bk,Ck oStep4：将人,以,C；代入式，计算出在*时刻基于模型（1丿的状态预测值/（21从），以及输出反馈 控制器状态王仏+ 1比）Step5：基于丘和y（k）的测量值,令R = R+1，重复steplStep4。4. 有限时间稳定性分析定理2；对于系统（1丿，若N理1中的优化问题（10） （13丿在初始时刻存在可行解，则闭环系

24、统（4丿关于 g,c,R,N）是有限时间稳定的。证明：由定理1知，在对称矩阵值函数P(.)使电:(25a)(25b 丿(25c)AP(k+l)A-P(k)<Q, 辰0,1,N-1P(k)>R“0)仝斤由(25a)可得(k +l)P(k +l)x(k +1)-(k)P(k)x(k)=xT (R)(”P(R +1)人一 P(R)天(R)(26)<0将(26丿式由 0 叠加到1 得xT(i)P(/l)x(jl)-xT(0)P(0)x(0)<0F (灯衣(灯-F (灯尸(0并伙)sF (灯尸伙)巩約-F(R)P(0)(&)<0由(25b)和(25c)可得卫(灯居a

25、)*t (R)p(0)F(R) 2(0)2居(o)q当 h (0)衣(0) S C时,有 F (R)居(R) v c2 成立.根据宦义2可知，闭环系统关于(SJ，&N)是有限时间稳定的。5. 仿真算例考虑离散时间线性系统,0-1 4 = 01英系统参数选取初始状态J(0) = l 111, c1 = 19c1=9N = 1Q,R = Rk=I.性能指标的加权矩阵为= 0.5/, (?：=/，采样间隔为Is。根据本文提出的动态输出反馈预测控制算法，运用LMI T.具箱求解优化问题，进而得到满足条件的 预测控制器。仿貞结果如下：图1给出了系统在1,10区间内系统的状态运动轨迹，表明系统的状

26、态是有界的。图2和图3容易看出系统的输入和输出在有限时间内无较大的超调。图4表明在控制器的作用下，只要系统的初值满足iT(0)(0)l,则在1,10时间内，闭环系统 的轨迹必满足F居4。即闭环系统(4丿关于(1,4,/,10)有限时间稳定的。图5可以得出系统的性能指标在1,10是递减的。综上所述，系统在状态不完全可测时，采用本文提岀的动态输岀反馈预测控制方法，得到的闭环系 统是有限时间稳定的，并能够保证有限时域优化性能指标在线最小化。仿貞结果可说明所述算法的有效 性。6.结论本文研究了一类离散时间线性系统的冇限时间稳定预测控制问题，给出了冇限时间稳定预测控制的梁秀兰.刘晓华梁秀兰.刘晓华20芍

27、s0) 币 c5x1 x2 x30.5Time Step kFigure 1 State trajectory of the closed-loop svstem 图1.闭环系统状态轨迹Time Step kF igure 2. Control signal 图2.控制信号Figure 3 Output trajecton* 图3输岀轨迹梁秀兰.刘晓华梁秀兰.刘晓华C25 0 5 a 0 Nxaz.x梁秀兰.刘晓华梁秀兰.刘晓华5678910Time Step kFigure 5 Performance changes图5.性能指标变化情况51o1 eouecuojjo)d5-1-1.5

28、9;21 2figure 4 x1 (灯虽(R) trajectory 图4. P (灯居仏)轨迹20定义：并利用线性矩阵不等式方法，得到优化问题可行解存在的条件；提出了有限时间稳定的输出反馈 预测控制的设计方法，证明了闭环系统在给定的初始条件下是有限时间稳定的。仿貞结果验证了所提算 法的有效性。參考文献(References)L Xue, WP and Mao, W J (2013丿 Asymptotic Stability and Finite-Time Stability of Networked Control Systems Analysis and Synthesis Asian

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