隐函数与参数方程求导法

1、Oct.21 Mon. Reviewv导数四则运算导数四则运算).0)()()()()()()()()3();()()()( )()()2();()( )()()1(2 xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu 反函数的导数等于直接函数导数的倒数反函数的导数等于直接函数导数的倒数. .v反函数求导反函数求导v复合函数求导复合函数求导xuxuff ).()()()()(),(xufxydxdududydxdyxfyxuufy 或或导导数数为为的的则则复复合合函函数数而而设设或或v高阶导数高阶导数)()()()()1(nnnvuvu )()()()2(nnCuCu

2、)()(0)()()()2()1()()(!)1()1(! 2)1()()3(kknnkknnkknnnnnvuCuvvukknnnvunnvnuvuvu nnxnx )1()1()()4()(nnnxnx)!1()1()(ln)5(1)( )2sin()(sin)2()( nkxkkxnn)2cos()(cos)3()( nkxkkxnn)0(ln)()1()( aaaanxnxxnxee )()(1)(!)1()1( nnnxnx常用高阶导数公式常用高阶导数公式3 3 隐函数和参数方程求导法隐函数和参数方程求导法v隐函数求导隐函数求导v参数方程求导参数方程求导v导数的简单应用导数的简单应用

3、一一. . 隐函数求导隐函数求导定义定义: :.)(0),(为为隐隐函函数数称称所所确确定定的的函函数数由由方方程程xyyyxF .)(形式称为显函数形式称为显函数xfy 0),( yxF)(xfy 隐函数的显化隐函数的显化问题问题: :隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导? ?隐函数求导法则隐函数求导法则: :用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对方程两边求导. .)0(sin)(sin. 3),()0(. 20sin:. 1cos000222的导数的导数求求的切线方程；的切线方程；导数，并求它在导数，并求它在所确定的隐函数所确定的隐函数求求

4、； xxyyxMRRyxyxyequationKeplerx 例例注意：注意： 。求导式充分简化表达式求导式充分简化表达式两端求导时，始终两端求导时，始终. 2);(. 1xyy 1) 对幂指函数对幂指函数vuy 可用对数求导法求导可用对数求导法求导 :uvylnln yy 1uv ln uvu )ln(uvuuvuyv vuuyv lnuuvv 1说明说明: :按指数函数求导公式按指数函数求导公式按幂函数求导公式按幂函数求导公式注意注意:2) 有些显函数用对数求导法求导很方便有些显函数用对数求导法求导很方便 .例如例如,),(100 babaaxxbbaybax两边取对数两边取对数 yln两

5、边对两边对 x 求导求导 yybalnxa xb baxaxxbbaybalnxa xb baxln lnlnxbalnlnaxb 又如又如, )()(4321 xxxxyuuu )ln( 21 yln对对 x 求导求导 21 yy)()(432121 xxxxy 41312111 xxxx两边取对数两边取对数21 xxlnln 43 xxlnln 11x21 x31 x 41 x对数求导法则：对数求导法则：从显函数求导数比较复杂或不好从显函数求导数比较复杂或不好 求，可以化为隐函数求导，常用的方法是两边取对求，可以化为隐函数求导，常用的方法是两边取对数，再求导。数，再求导。隐函数求导法则隐函

6、数求导法则: :用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对方程两边求导. .例例4.4.解解: 142)1(3111)4(1)1(23 xxxexxxyx等式两边取对数得等式两边取对数得xxxxy )4ln(2)1ln(31)1ln(ln求导得求导得上式两边对上式两边对 x142)1(3111 xxxyy.,)4(1)1(23yexxxyx 求求设设的导数；的导数；求由方程确定的隐函数求由方程确定的隐函数例例yyxxy,5. 解解: :两边取对数，两边取对数，yxxylnln 再求导再求导yyxyxyxy lnln.)ln()ln(xxyxyyxyy 的的二二阶阶导导数数。所

7、所确确定定的的隐隐函函数数求求由由方方程程例例)(. 6arctanxyyyxexy 122解解: :将方程化为：将方程化为：xyeyxarctan 2222222yxyyx 2211xyyxxyexy )(arctan22yxyyx x两两端端对对求求导导222xyyxyx yxyxy )(1yyxyyx 求求导导：式式两两端端关关于于再再对对x)(1yxyyy 21代入上式有：代入上式有：将将yxyxy .)()(3222yxyxy 1.1. 高阶导数高阶导数)()()()()1(nnnvuvu )()()()2(nnCuCu )()(0)()()()2()1()()(!)1()1(! 2

8、)1()()3(kknnkknnkknnnnnvuCuvvukknnnvunnvnuvuvu Nove. 6 Fri. Nove. 6 Fri. ReviewReview对数求导法则：对数求导法则：从显函数求导数比较复杂或不好从显函数求导数比较复杂或不好 求，可以化为隐函数求导，常用的方法是两边取对求，可以化为隐函数求导，常用的方法是两边取对数，再求导。数，再求导。2.2.隐函数求导法则隐函数求导法则: :用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对方程两边求导. .二二. 参数函数求导法则参数函数求导法则.,)()(定的函数定的函数称此为由参数方程所确称此为由参数方程所确间的

9、函数关系间的函数关系与与确定确定若参数方程若参数方程xytytx 由复合函数及反函数的求导法则得。由复合函数及反函数的求导法则得。dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt ),()().(),(1xttxtytx 的反函数为的反函数为设设代表平面上一条曲线，代表平面上一条曲线，)(严严格格单单调调，连连续续导导法法则则并并且且设设它它满满足足反反函函数数求求1( ),( ),yyt tx 于于是是看看做做复复合合函函数数则则有有；，求，求例例dxdytytx )ln(arcsin.211解：解：dxdy)()(txty 221112ttt 22112ttt 222 2.(01

10、)sin1( );xtttyydyyy xdx 例例设设由由方方程程确确定定函函数数，求求解解: 方程组两边对方程组两边对 t 求导求导 , 得得故故 xydd)cos)(ytt 11tyddtxdd t 2yttycosdd 1222 tycos tydd0 )(dd12 ttxtyddtxdd；求求，可可导导，且且，其其中中例例030)0()1()(. 3 ttdxdyffefytfx dxdy)()(tfeeftt 31330 tdxdy)()(003ff 解：解：3 ;,)()(4.22dxydtytx求求例例 dxdy)()(tt 22dxyd dxdydxd解：解： )()(ttd

11、xd dxdtttdtd )()( )()()()()()(tttttt21 )()()()()(ttttt3 )()(ddttxy 22,)()(tt xydd已知已知注意注意 : ).cos1(),sin(tayttax如如.y 求求dxdyttcos1sin 2sin22cos2sin22ttt 2cott 22dxyddtdxdxdydtd )(.2sin414ta )cos1(/2csc212tat 例例5 5解解:.)2(;)1(,21sin,cos,002000的的速速度度大大小小炮炮弹弹在在时时刻刻的的运运动动方方向向炮炮弹弹在在时时刻刻求求其其运运动动方方程程为为发发射射炮炮

12、弹弹发发射射角角以以初初速速度度不不计计空空气气的的阻阻力力ttgttvytvxv xyovxvyv0v.,)1(00可由切线的斜率来反映可由切线的斜率来反映时刻的切线方向时刻的切线方向轨迹在轨迹在时刻的运动方向即时刻的运动方向即在在tt)cos()21sin(020 tvgttvdxdy cossin00vgtv .cossin0000 vgtvdxdytt轴轴方方向向的的分分速速度度为为时时刻刻沿沿炮炮弹弹在在yxt,)2(000)cos(0ttttxtvdtdxv cos0v 00)21sin(20ttttygttvdtdyv 00singtv 时刻炮弹的速度为时刻炮弹的速度为在在0t2

13、2yxvvv 2020020sin2tggtvv 三三. . 由极坐标确定的函数求导由极坐标确定的函数求导.),(dxdy求求曲曲线线方方程程为为 .sin)(,cos)( yx：关系给出曲线参数方程关系给出曲线参数方程利用直角坐标与极坐标利用直角坐标与极坐标然后利用参数方程求导法则。然后利用参数方程求导法则。例例. . 求螺线求螺线 r在对应于在对应于的点处的切线方程的点处的切线方程.解解: 化为参数方程化为参数方程 sincosryrx cos sin xydd ddy ddx cossin sincos 当当时对应点时对应点斜率斜率xykdd 2 2 2 , ),(20 M 切线方程为切

14、线方程为22 xy2 四四. . 导数的简单应用导数的简单应用1. 1. 切线与法线问题切线与法线问题1.sin24a 例例求求曲曲线线在在处处的的切切线线方方成成与与法法线线方方程程；极坐标方程极坐标方程参数方程参数方程解解: :极坐标化为参数方程：极坐标化为参数方程： sinsinsin)(cossincos)(22ayax为参数，切线斜率为为参数，切线斜率为 4222222 cossincoscoscossinsincosaaaadxdy1 法线斜率为法线斜率为1 1，ayax224224 )(,)( 切切点点为为法线方程为法线方程为: :axay2222 . 0 yx即即2.1xy 例

15、例证证明明：双双曲曲线线上上任任一一点点处处的的切切线线与与两两坐坐标标轴轴围围成成的的三三角角形形的的面面积积等等于于常常数数；证明证明: :.,出面积出面积轴上的截距，即可求轴上的截距，即可求求出切线方程及它在求出切线方程及它在yx),(111yxxy上上一一点点任任取取 )(12111xxxyy 切线方程为：切线方程为：2110 xyxx 过过该该点点的的切切线线斜斜率率为为)(11211xyxxy ，即，即轴上的截距乘以轴上的截距乘以所求面积为切线在所求面积为切线在21, yxXY21)(112111121xyxxy )(11211111 yxxyx211121)( yx2 轴上的截距

16、为：轴上的截距为：切线在切线在yx,.1),1(111121xyYxyxX 恒恒为为常常数数；切切线线长长交交点点至至切切点点的的距距离离轴轴的的上上任任一一点点处处的的切切线线与与证证明明曲曲线线)()0 , 0(sin)cos2tan(ln. 3xtatayttax 证明证明: :，过过该该点点的的切切线线方方程程为为设设曲曲线线上上任任一一点点),(11yx)()()()(txxtxtytyy1111 :,轴轴交交点点的的坐坐标标为为得得到到切切线线与与令令xy0 )()()()(txxtytyytx1111 )()()()()(tytytxtytxx 0)()(11tydydxtx )

17、(tx ,sincostta2 01111cotcosxxytxat ,cos)(taty )()(tyxtxd21201 1222111tatatxtxsin)cos)()( a .tantdxdy .,)()(变化率称为相关变化率变化率称为相关变化率这样两个相互依赖的这样两个相互依赖的之间也存在一定关系之间也存在一定关系与与从而它们的变化率从而它们的变化率之间存在某种关系之间存在某种关系与与而变量而变量都是可导函数都是可导函数及及设设dtdydtdxyxtyytxx )(, )(tyytxx 为两可导函数为两可导函数yx ,之间有联系之间有联系tytxdd,dd之间也有联系之间也有联系相关

18、变化率问题相关变化率问题解法解法:找出相关变量的关系式找出相关变量的关系式对对 t 求导求导得相关变化率之间的关系式得相关变化率之间的关系式求出未知的相关变化率求出未知的相关变化率2. 2. 相对变化率问题相对变化率问题.两两个个相相互互依依赖赖的的变变化化率率称称为为相相关关变变化化率率12cm18cmhrH10cm例例. . 有装满水的正圆锥形漏斗，顶部直径为有装满水的正圆锥形漏斗，顶部直径为12cm12cm，深深18cm18cm，下接直径为，下接直径为10cm10cm的圆柱形水桶，当漏的圆柱形水桶，当漏斗水深为斗水深为12cm12cm时，水平面下降的速率为时，水平面下降的速率为1cm/s1cm/s，试求此时水桶的